Galitskii-1992 (1185113), страница 71
Текст из файла (страница 71)
ф. Ч'( ! всегда мало, воп- Р Р рос о применимости теории возмущений (и о сходимостн ряда для А(р) вообще) существенно связан с характером убывания О(р) при р-с- сс. Как видно из (5), прн законе убывания У(р), удовлетворяющем условию ! 0 (р)! > с ехр ( — а ( р !ч), ) р ) -ь сю с т ( 1 (т. е. более медленном, чем зкспоненцияльное со е с)Р!) интеграл в (5) убывает быстрее, чем О(2р) и соответственно )Ас"//)Асм)-ь О при р-ь со (аналогичное условие имеет место и для членов Аоп более высоких порядков). Это означает, что при р — ~-со теория возмущений применима и ряд для А(р) сходится при любом значении Ус.
В случае закона убывания ( 0 (р) ! < В ехр ( — а ! р )~), и > 1, р -э со, 406 А«) = — — ч-, А<з! =— Д(р~ ' Дзр' <то полезно сравнить с разложением точного выражения для амплитуды, см. 2.30: т'а' д'р' + <та <та л( р(+ йпа й(р( В согласии с (6) теория возмущений применима при та Сй<р (для 6-потенциала а = О, а (/,а а); ряд теории возмущений для А (р) является сходящимся при выполнении условия ти/г<р (!. Для расчета амплитуды А(р) в остальных случаях будем считать р 0 и, учитывая симметричность подынтегральной функции в формуле (4], перепишем ее в виде з А<т! = — — 4- $ езглх/з!/(х) ~ (/(х') <(х'<(х.
(8) дзр б) Для указанного в условии потенциала элементарное интегрирование в выражениях (4) и (8) дает А<В <та(/о др (1 — 2!Ра/д) ' 2 2 т т а /4о й'рз (1 — <ра/Д) (1 — 2!Ра/Ь) ' Как видно, прн ра/й ! условие применимости теории возмущений, )А<э<)/)Ан<) <<1, совпадает с (6). Ввиду степенного убывания 0(р) теория возмущений применима и прн р-ь со, при этом паРаметРом РазложениЯ ЯвлЯетсЯ т(/з/Рз.
Дли РассматРи- (9) т. е более быстрого, чем экспоненциальное е (Р), наоборот, интеграл в (5) убывает более медленно, чем 0(2р) (см. ниже случай г)), так что )А<а<)/(А<н)-~ос и ряд теории возмущений расходится. Отметим, что переходным между рассмотренными случаями является режим убывания О (р) со ( р(" з "!Р! с у = 1; при у ) 1 теория возмущений применима, а при у ( 1, наоборот, уже неприменима.
В случае же у = ! интеграл в (5) убывает так же, как и О(2р). При этом вопрос о применимости теории возмущений и сходнмости ряда для А(р) зависит от числового значения параметра тату</дз. рассмотрим приложения теории возмущений к конкретным потенциалам, указанным в условии задачи. а) Для б-потенциала согласно (4) находим ваемого потенциала точное значение амплитуды А (р) = !! шэа (2К)/! ! -шва (2ой)' (16) где Я = р/Я, и = (2тао(/о/Яо) /з, !о(к) — функция Бесселя. в) Для потенциала (/ = (/о с)о-о(х/а) в первом порядке теории возмущений (11) Интеграл вычисляется с помощью вычетов замыканием контура интегрирования в верхнюю полуплоскость комплексной переменной х.
Особыми точками подынтегральной функции — полюсами второго порядка — являются х = )а(лп + и/2), где л = = О, 1, ..., а ) 6 Так как при х-ох„имеем с!1о (х/а) ов — (х — хл)'/ао + О ((х — к„) о) и соответственно при этом взор щ ш /э) аэ с)оо(х/а) ! (х — к„)' Я (х — к„) 1 то суммарный вклад всех полюсов оказывается равным э=о (12) (члены ряда представляют геометрическую прогрессию). Далее, интеграл в выражении для А~о~ согласно (8) о А! !=в 2та(/о ! з! х'т (2орх х1 сй ( — ) ехр !С вЂ” + — ! о(х (13) Я'р' 3 !о,а о! ~ Я аз! в результате простых преобразований может быть выражен че- рез интеграл (11), что позволяет получить !ра1 таУо з з э А(з) = -4п(!+в Я / Я'рай (пра/Я) ' (14) 408 Сравнение (!2) и (14) показывает, что при ра/Я ! применимость теории возмущений, как и следует, предполагает выполнение условия (6).
Что же касается случая ра/Я))1, то тео- РиЯ возмУщений пРименима лишь пРи Условии (/о~бе/тао, Такая ситуация отличается от имевшей место для двух предыдущих потенциалов и связана с экспоиенциальиым убыванием () ()т) ре-яаа/я при р-» со. Отметим, что данный потенциал допускает точное вычисление А(р), см. [1, 2 251; на основании этого результата легко прийти к заключению, что цри )О«) ) ) йз/йша» ряд теории возмущений является расходящимся даже при р- о. г) Для потенциала У = 0«е "Ю получаем А(1= — 1 Чгя — »ехр [ — — ). таУ» / р'а' ч д» ) (15) Для вычисления согласно (5) амплитуды второго приближения в случае быстрых частиц, раап/а, замечаем, что в интеграле по д доминирующую роль играет область де„йга (вклад от остальной области несушествен из-за экспоненциального убывания подыитегральной функции), так что в знаменателе можно положить д = О. После этого интеграл легко вычисляется, что позволяет получить гл'а(1 / рМ '1 л А!з) яг — 11/2л — ехр ~ — ~, р ~ —.
(16) йр' ч 28» а' 0(й) = ~ (т'(х) есьхбх = — егьх ) г(х (1) (для этого следует записать 1йем" = де'»*удх н выполнить интегрирование по частям). Для разрывного в точке х = 0 потенциала производная (г'(х) содержит слагаемое (Уз — У~) б(х) с б-функцией, которое и определяет асимптотику 0 ив(((), — 0~)/й при й-» со 409 Сравнение с (15) показывает, что !А<т!(/(А(о(-«-ео при р — »со н теория возмущений неприменима (для быстрых частиц; ряд для А(р) при этом является расходяшимся).
В заключение подчеркнем, что отмеченная в этой задаче различная роль высших порядков теории возмущений по взаимодействию при р-~ се в зависимости от закона убывания 0(р) отражает общую физическую ситуацию: при «медленном» убывании П(р) (грубо говоря, в случае ) 0() Се ел) большое изменение импульса частицы происходит в результате однократного взаимодействия, а при «быстром» убывании — в результате большого числа актов взаимодействия, каждый из которых сопровождается уже сравнительно небольшим изменением импульса, сравнить с результатами 4.18 н !3.84. 8.30.
Фурье-компоненту потенциала, определяющую амплитуду отраженной волны Ам~ согласно формуле (4) из предыдушей задачи, преобразуем к аиду (при этом вклад остальной области интегрирования несуществен нз-за быстрой осцилляпин подыитегральиой функции). Соответственно ((г, — и,) )(() ~ () ), (г) 4р а обобщение этой формулы на случай потенциала'с разрывами в нескольких точках х имеет вид !() (р) = — г- ~ ЬУ„е ", р ~, (3) = 4р ~2~ где (х()„ — скачок потенцвала в соответствующей точке х„; подчеркнем, что для разрывных потенциалов )(ос р 4 прн р — ~ ео. Согласно (2), (3) находим коэффициенты отражения зи,' 1) )( яе —, 2) )( яз — з!из ~ — ) 484 р длв нотенциала нэ 8.29б) н для прямоугольного потенциала соответственно, которые совпадают, естественно, с асвмптотнкамн точных выражений для )с(р) при р †).оа.
В связи с данной задачей см. также 8.3!. 8.31. Аналогично формуле (!) предыдущей задачи получаем г гах у(й) = — !г' ~ е ()ч(Х)((х. В случае потенциала, имеющего излом, производная У'(х) разрывна, а Ук(х) содержит б-функционнос слагаемое вида — ЬР3(х), где — Лг" = (I'(О+) — ()" (Π— ) — скачок производной потенциала в точке излома, которое и определяет асимптотику А(".
Коэффициент отражения для потенциала, име(ошего изломы в нескольких точках х„при р-»- ос равен (2) )с (Р) 18 з ~ Арке !бр' я так что при этом )! (и] см р а. В приложении к параболическому барьеру формула (2) дает В заключение сделаем замечание о связи аснмптотики при )т-).со коэффициента отражения с аналитическими свойствами потенциальной энергии ()'(х) как функции переменной х.
Если 410 потенциал имеет особые точки (синзуллрносги) на вещественной оси х, то )1(р) убывает степеннмм образом. При этом чем слабее сингулярностгч тем убывание более быстрое; сравнить результаты данной и предыдущей задач. Если же У(х) ие имеет особых точек на вещественной осн х (бесконечнократно дифференцируемая функция), то Р(р) убывает экспоненциально. 8.32.
Ввиду известного соотношения для функций Блоха— собственных функций гамильтоннана и и <у< (1) а а Ч" ю ч (к + а) = е чаЧ'„, ч (х), достаточно рассмотреть решение у. Ш. лншь на отрезке 0 < <х<а: — — Ч'„ (х) + У (х) Чг„ (х) Е„ (д) Чг„ „ ( ). (2) При этом (1) выступает как своеобразное граничное условие, определяющее самосопряженное расширение') эрмитова оператора рз/2т + У(х) на этом отрезке (для каждого значения д), см. ! 29. При фиксированном а спектр Е,(д) дискретный, а непрерывная зависимость его от у приводит к ванной структуре спектра в целом.
В пренебрежении У(х] решение уравнения (2) дает невозмущенные с. ф. и с.з. 1Ю1 1 Газ ,Ю) Г~й~ Ч"ь = е, Еь — — —. ч/а Произведем, имея в виду соотношение (1), их классификацию по значениям квазнимпульса д (и номера л зоны). Замечая, ыо (г = 2пз/а + д, где з = О, ~-1... нетрудно получить (3) ') Фактически речь идет о наложении двух граничных условий: Ч'(а) = егчаЧг(0), Чг' (а) = е'чаЧг' (0) в соответствии с тем, что индексы дефекта этого оператора суть (2,2). 411 Этот спектр «собран» нз участков невозмущенного спектра Еь11, см. штриховые линии на рнс.
35, так что соседние зоны касаются друг друга (нет запрещенных значений Е). Связь ~ нл/а+ д, д > О, ( — нл/а + д, д < О, й= -н(п+1)/а+д, д > 0„ л = 1, 3, 5, ..., н(я+1)/а+д, д С О, (4а) (46) из которых следует явный вид Игл!1о — — ег «/1/а невозмушенных с. ф. гамильтоннана, удовлетворяющих условию (1). Из выражений (3) или (4), см, также рнс. 35, видно, что при фиксированном д невозмущениые уровни Е„(д) разделены, (о1 вообще говоря, конечным интер- Е„/ ) валом.
Поэтому для вычисления -„(д) их сдвигов под влиянием (/(х) ! можно воспользоваться формул=у лами (Н1!!. 1) теории возмуше- Ъ,, «' ~ ннй в отсутствие вырождения. '1/ 1 ",' 1 В частности, поправка первого / порядка ' ,/у о (в этом приближении сдвиг одипмд иаков для всех значений л и — д1). Условием применимости (5) -," 'а () Гуа -у является Рис. 35 !ею) (д) — Е'.", (д) ~ » ЕО)(д). Как видно нз (3) и рис. 35, оно нарушается при следующих значениях д: 1) дизО и 2) дж~п/а, когда происходит касание соседних энергетических зон при значениях энергии, равных со- ответственно 1) Е!о1(0) Е(о1 ! (0) и 2) Ееш (~ н/а) = Е1,! 1 (щи/а), причем здесь в обоих случаях л = 1, 3, 5, ...
При указанных вмше значениях д для вычисления сдвигов Е! (д) следует использовать теорию возмущений для близких уровней, сравнить с 8.б. Теперь, как и в случае строгого вырождения уровней, возмущение сильно «перепутывает» невозмущенаые с. ф. с близкими эиергяями, так что Ф (х) С 'Р! 1„ (х) + СзЧ'яш1„! (х); л = О, 1, 2, ... (6) 412 импульса свободной частицы с квазинмпульсом определяется соотношениями Возмущенные уровни и коэффяциенты Сьт, определяющяе правильные функции нулевого приближения, находятся так же, как и в теории возмушеняй при налячии вырождения. Секулярное уравнение принимает вид ! й+ Е>" (д) — Е и„„„ =О, (7) здесь учтено значение (5) для и, . В матричном элементе и„> „можно воспользоваться с.ф. Чга!аь» а(х) при зиаче!о> иии ф отвечающем непосредственно условию совпадения рассматриваемых уровней. Значения соответствующих импульсов равны йй = 2;л(л + 1)3/а (подчеркнем, что обсуждается случай пересечения л и л + 1 зон), так что в (7) а г хч ) и„+, „ ) = — ~ охр ~~ 2!л (л + !) — 3! и (х)>(х — = Ьл (8] о (от выбора знака ~ величина Ь„не зависит).
Решение уравнения (7) дает Е» (а+» (О) = и + + 2 )Ейш(7) + Еа»(р) ~Л//>Еи~> (Ч) — Ей (Д)) + 4>>Д (9) (зиак ( — ) отвечает нижней зоне л, а (+) — верхней зове л+!) График зависимости Е (г/) согласно (3), (5), (9) представлен иа рис. 35 (сплошная линия, причем для определенности вы. брано и = О). Учет взаимодействия приводит к появлению зонной структуры с энергетической щелью в спектре. Ширина щели — расстоя>ше между соседними зонами л и л+ ! — равна 23,, Коэффициенты Сь з в (6) находятся обычным образом: С,- Сзи„„~ДŠ— й — Е'„'> ®) (10) (два значения Е здесь определяются соотношением (9)). В частности, непосредственно в точке квазипересечеиня невозмущенных уровней С, = ~ С, = 1/З/2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
