Galitskii-1992 (1185113), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Если же во Ф в, то угол между вскторами а(1) и з(1) в азимутальной плоскости (перпеидикулярной магнитному палю) изменяется со временем; бар(1) = =(д — 2)ВОГ/2, ЗДЕСЬ я = 2р/ро. Эта ОбСтОятЕЛЬСтВО ЛЕжИт В основе экспеРиментального метода определения и) д-фпкгорп частицы, когда ои мало отличается от значения яо = 2, следующего из уравнения Дирака; экспериментальные данные согласуются с пРедсказываемым квантовой электродниамикой и) Изменение угла ЬФ(1) со временем — «накапливающийся» эффект.
Поэтому за достаточно большое время движения частицы Лф может стать порядка 1, что позволяет иадежио определить (и†2) в случае малого значения этой величины. 379 жебольюим отличием 8'-фактора для электрона н мюона от значения яо *2 429]. 7Л8. Функция Грина 0ор(А г') по определеимю удовлетворяет по переменным а, Г уравнению Шрйдннгера с гамнльто. мяаном Н = — ррвйз (ось я направлена вдоль магнитного поля) и при 1 Г' равна бор — - б„р. Ее явный внд (е = рэйуй): ехр ((ы (1 — 1')1 О аав(г г ) '-( 0 ехр( — (ы(à — Г )1)ар 7.17. Функция Грина получается из выражения предыдущей ! задачи заменой в нем е(1 — Г') иа 5 (А Г') = — 29(1) Ж. й г' 7.18.
В соответствии с нолучеиным ранее в 7.! 1 результатом о разделении пространственных н спииовык переменных при дви. женин частицы в однородном магнитном поле, искомая функция Грина является произведением Озр(г,т;г,т)=0(г,цг,() 6ар(АГ) временной функции Грина свободной бесспииовой частицы, см.
(У1.7), и спинозой функции Грина иэ 7.16. 7Л9. Функция Грина имеет такой же вид, как и в предыдущей задаче, ио теперь временная спииовая функция Грина в соответствующем выражении определяется результатом из 7.17. 7.20. Учитывая явный вид в. ф. Ч'„мр (см. формулы (4)— ~Юз (6) из 7.1), используемую при этом калибровку векторного потенциала А = [Уээг)!2 и выражение (УП. 5) для плотности тона заряженной бесспнновой частицы в магнитном поле, находим ) =О, 1 = — 1Чг Р, ) =~ — — — )~ 1зыр Р ' з р 1 "юва1' Е К рр 2рэ ! з здесь использованы цилиндрические координаты. Подчеркнем, что (Чт(з для рассматриваемых состояний зависит только от ра.
диальной переменной р. 7.21. Волновые функции рассматриваемых состояний имеют вид зжг э = птэ кз аз 3 3' где )( . — спиновые с.ф. оператора Яы см. 7.9, а также предызг пущую задачу. Прн этом роччгч'=~0,0,2роз ~Ч ~з)' учитывая, что значение [чге, (з зависит только от перемена! ной р, согласно (ЧП.б) находим (в цялнндряческих координатах) компоненты плотности тока, связанного со спиновым магнитным моментом частицы: )св р )сп г' ' (ся ре~ з ~ ежр д 1 ! [) (г), (Й вЂ” г)[ с 3 [(! — г(' В отсутствие внешнего магнитного поля плотность тока определяется выражением (УП.
б) с А = О. Для стационарных з-состояний в.ф. являются вещественными, так что [ = О и гь" = О. Волновая функция наиболее общего 2р-состояния частицы имеет вид 'Узр (32чл') Ыт(ег) е гГт", а = дз(Хе р, ) е [з = 1 (по поводу угловой зависимости в. ф. см. 3.42). Согласно (1) и (У11. 5) прн А = О получаем (заряд частицы обозначен через — е) !ей Г гг гз"(О) = — 3! — [г, е* (ег) — е (е'г)[ Ю)г (2) ба)газе з г (заметим, что при вычислении тока следует действовать оператором 7 лишь на сомиожнтелн ег и в*г в в.
ф., так как [г'г[(г)[ О; (г(ег)=е). Вводя вектор Ь =[в е[, замечаем, что внтеграл в выражении (2) принимает вид — е 'Г [г (гЬ) — Ьг ) и'У вЂ” 1. гз (3) Для его вычисления рассмотрим сначала интеграл — е кгхь о)' = Сбор 1 — г/а гз (4) Выполнив здесь свертку по индексам 1 н й, получаем 3С ~ — е ( ДУ 4 Г ! 3 г (б) 381 Результирующая плотность тока определяется суммой (2) и соответствующих компонент орбитального тока частицы из предыдущей задачи. 7.22. Согласно известной формуле классической электродинамики [27[ имеем Из (3) †(5) следует значение ! = — йпазй/3 и окончательное выражение для магнитного поля «на ядре» (6) уе (0) = , [е"е]. 24рсаз Отсюда, используя явньзй вид векторов в(т), см.
3.42, находим ез (0),„о — — О, ез (0),ч е з = (О, О, ч- ей/24рса'). (7) Заметим в заключение, что если атомное ядро обладает магнитным моментом, то взаимодействие его с магнитным полем ез (0) приводит к сеерхгонкому расщеплению атомного уровня. 7.23. Волновая функция рассматриваемого состояния электрона имеет вид Ч' = (па')-'"е †'~'Х, где Х вЂ” его спиновая функция, а = Лз/Уезр. Плотность тока, связанного с орбитальным движением электрона, равна нулю, так что ток определяется спиновым магнитным моментом. Согласно (ЧП.6) имеем ] =1„= — р,с [арр]; а= у*а)(, р (г) = —,е яа Имея в виду выражение для векторного потенциала [27] выволним в нем следующее преобразование: и =~~~[Ч "'), — рч „,]~а = Р (') 'У (2) "3 ])1 — г! (здесь использована теорема Остроградского — Гаусса и соотношение Ч и(К вЂ” г) — — Ч, д(4( — г)).
Входящий в (2) интеграл был вычислен в 4.6 и равен ( + ) е — = (()7), (3) р (г) П' 1 Г 1 1 Х ]!1 — г] Р [,Я а,] Таким образом, получаем А(г)= — рз[аЧ1(г)]. Приведем также предельные выражения для магнитного поля 76 = го1А: е» (0) з ' ез (г) ер 3 (рг) г — ргз р = р,а За' ' г -» г (на больших расстояниях это — поле магнитного диполя). 2.24. Исходим из формул (1), (2) предыдущей задачи; А (И) = — ро'(арл/(Е)1, /(Р) = ~ ) г/У, (1) где ф(г) — в.ф. рассматриваемого з-состояния. При этом магнитное поле (и = рса) ул ()4) = го1 А (И) = — )ь А/ (/г) + ))гр) ~/ (И)' так что для его компонент имеем дэ а()а дХ дХ у (2) Рассмотрим теперь выражение дэ дх.
дх а %=0 (З) сравнить с предыдущей задачей, а также с результатом 7.22. Глава 8 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД. ВНЕЗАПНЫЕ И АДИАВАТИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ 8.1. Собственные функцни невозмущенного гамильтониана имеют вид ч (с) = э/2/а ип (л (л + 1) х/а) (при 0 < х ( а). заменяя в матричном элементе <л)У(х))л) быстро осцнллирующий при л»1 квадрат синуса его средним значением, равным 1/2, получаем ') Е),! = (л )У (х) ( л) ян — ~ У (х) дх.
и) 1 о 8.2. Возмущение У= — ед'х н очевидно Е„)')=б, Для вычисления поправки второго приближения согласно (УП1. 1) ') Состояния квантовых систем с л » 1 являются квази- классическими. Теория возмущений для таких состояний рассмотрена в задачах 9.10 — 9.12.
888 Выполнив в нем свертку по индексам 1 и й, получаем ЗС = Л/(/г))„=м а учти явное выражение (1) для /(/() н соотво. шение Ь ! = — 4лб(И вЂ” г), находим ЗС = — 4л)ф(О) )э. )К вЂ” г) С учетом этого значения, из формул (2) и (3) следует уд (о) = л )ь ) р (о) 1э, воспользуемся известными значениями матричных мементов координаты осциллятора, см. (П.З). Учитывая также вид спектра Е(а ) иевоамущенного осциллятора, получаем Еи ~ Е(е) + Е()) + ЕП~ й(е (и + 1/2) з ' (1) так что поляризуемость для всех состояний осциллятора одинакова и равна Зс = ез/твз.
Результат (1) совпадает с точным, см. 2.2. Поэтому представляется очевидным, что поправки третьего и более высоких порядков теории возмущений равны пулю. 8.3. Возмущение (г = — ед'х. Используя вид с.ф. невозмущенного гамильтониана, см. 8.1, н симметричность ~Ч'„(х)1 (э) в относительно центра ямы, находим (л(х(п) = а/2, так что в первом порядке теории возмущений для всех уровней Е(, = 0) = — ед'а/2. Далее, вычислив матричный элемент координаты (для л Ф О): 2 (, пх . п(а+1) х 4(( — 1)" — 1)(а+1)а хзл = — ~ х з(п — ° з1п а 3 а а Ех = пзпз(л+2)' о (он отличен от нуля лишь для нечетных значений л) и учтя вид невозмущенного энергетического спектра частицы в яме, см.
2,1, согласно ( 1(П!. 1) находим поправку второго приближения Еэ = — Рзб /2, ОПРЕДЕЛЯЮШУЮ ПОЛЯРИаУЕМОСтЬ ОСНОВНОГО СО- (2) 2 стояния 1024 та(ее чч (й+ 1)з й ~ (йй+ И (28+3)з а -0 Этот ряд быстро сходится и его значение определяется практи- чески лишь первым членом, так что рэ=4,39 1О-'тела'/й'. Сде- лаем замечание по поводу числовой малости коэффициента здесь. Естественная оценка для поляризуемости имеет вид () — е /тв , где вс — характерная частота (сравнить с поляризуе- 2! 3 мастью осцнллятора из 8.2).
Б свою очередь, оценка для в, следует из соотвошения йвэ = ЬЕ, где ЛŠ— расстояние до со- седнего уровня (противоположной четности). В рассматривае- мой задаче следует считать вэ=(Е, — Е(э'//й=Зп й/2та, при этом согласно (1) получаем ))э м0,9бе/тва. 84. Собственные функции н спектр невозмущенного тампль. тониаиа рассмотрены в 248 и имеют вид чг(0) т)го«а ( ) «рь«п ( ) е(О) е(О) й (~ < + !) й<=п«+по=О, 1, 2, ... вид —Е<(() аб/2ты аА =0 Е<) ((з) = — (1) 0) ад/2те — Е<,') так что вырождение уровня снимается. Правильно<с функции нулевого приближения ч'<О), а = [«рю) т- ч'<о)) <а/2. б) Этот уровень с )У = 2 трехкратно вырожден.
Ему отвечают с. ф. Ч", — = Ч'эо, Ч'з — Ч',(, Ч'з =— Ч"оз. Отличные от <о) <о) <щ <о) <о) <о) нуля матричные элементы возмущения равны: !'тз = Уьт — — ай/У2гпо). Решение секулярного уравнения дает следующие значения поправок первого порядка: Ео з=О, О) Е<'), = — ай/гпю, 13 В. М. Гэлнцкнв н др. Ея. з = а"/глы (2) 385 Сдвиг основного уровня в первом порядке теории возмущений отсутствует, Е< = О. При вычислении поправки второго прибли- О) жения согласно (УП1. 1) под гл теперь следует понимать набор из днух чисел (пыле), определяюн(нй невозмушенные с,ф.
(1). Воспользовавшись известными зяачениями для матричных элементов координаты линейного осциллятора, см, (!!. 3), находим, что (п,пт~ У(00) отличао от нуля лишь прн и« = пэ = 1, причем (Н ) У(00) = ай/2теь и получаем Е< )= — а~3/Зп) ю~, Условае применимости теории возмущений (УН1. 3) в рассматриваемой задаче принимает вид (а( «Стыэ = А. Согласно 2.49 точвое значение энергии основного состояния Е, = /мо [Х/! + а/й + )/! — а/А)/2 Разложение его по параметру а/й соответствует ряду теории возмущений. Как видно, в случае (а//г(«1, соответствующеи применимости теории возмущений, ряд быстро сходится.
При (а/Я(» ~1 в рассматриваемой задаче уже не возникает кваятования энергетического спектра, а ряд теории возмущений оказывается расходящимся. 8.3. а) Невозмущеиный уровень осциллятора с /«« = 1 нвляется двукратно вырожденным. Отвечающие ему невозмущенные с.ф. Ч'<„)„, см. предыдущую задачу, обозначим как Ч'<() =— = — Ч'<)о и Ч'<з Ч",)(. Матричные элементы возмущения с такими с.ф. с учетом (П,З) равны: Ун = Ум = О, Уа = Уэ~ = =ай/2ты. Секулярное уравнение (Ч1П. 5) и его решение имеют так что уровень расщепляется на три подуровня и вырождение полностью снимается. Отвечающие расщепленным уровням (2) правильные функции нулевого приближения имеют вид р1О1 (т) що ~ „(2 орш>+ птов1) т2 вт1О) (ортв1 вт(О1) т 72 Читателю предлагается сравнить полученные по теории возмущений результаты с точным решением, см. 2.49. 8.6.
Сдвиги уровней в первых двух порядках теории возмущений равны; е,— е, Условие применимости: [Уд(, ( Уго(, (Уи('й ет — еь Эти результаты полезно сравнить с точным решением задачи, состоящим в диагоналнзации оператора (матрнцы) Н=Н,+ У=[ /е, +Ум 1'„ 12! ео+ 12о Эта матрица является гамвльтонианом нозмущенной двухуровневой системы в энергетическом представлении для невозмущенного гамильтоннана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
