Galitskii-1992 (1185113), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Последнее уравнение сводится к у. Ш, для линейного осцнллятора с собственной частотой ыл = = [е[Ж/рс, н, воспользовавшись его решением, см. (П. 2), находим собственные функции и спектр гамильтониана (1) в виде троса а крн»«2пЯ [ Я э" э [ " [, еЖ еЖ»)* 1~ «Ер „сзгз рз (4) Е =Ям и+ — ~ — —— + —, п=0,1,... '»Яэ»х И ~ 2 7 Ж 2Ж» 2И ' Отметим ряд свойств полученных результатов (4). 1) Энергетический спектр частицы — непрерывный, причем он не ограничен снизу. Это означает, что любой уровень д,с. заряженной частицы в потенциале, исчезающем (У- О) на больших расстояниях, при наложении электрического поля даже совместно с магнитным, приобретает ширину и становится квазистанионарным, сравнить с б.36.
2) Собственные функции гамильтоннана (4) описывают состояния, в которых частица вдоль осн х является локализованной. Это обстоятельство при Ю ( М согласуется с фнннтным характером движеннн в направлении оси х классической частицы, см. [27, 322[ 3) Производные дЕ ьаэ»а р» дрх дЕ ч»эя» = — — с дрн М определяют соответственно х-компоненту скорости частицы и скорость ее дрейфа' ) в направлении оси у, см. [27), 7.4. Направив ось х вдоль совместного направления электрического и магнитного полей, замечаем, что гамильтониан частицы отличается от рассмотренного в 7.! лишь одним дополнительным слагаемым, равным — еюх. При этом сохраняется раз. деление «поперечного» и «продольного» движений частицы, но з) Ввиду условия о К с полученное решение (4) применимо фактически в случае, когда В' ь М.
теперь продольное движение соответствует частяце в однородном поле, а не свободной, кан в 7.1. Соответственна решение рассматриваемой задачи получается из формул задачц 7.1 заменой в них р /2р на энергию Е, продольного двнжеяия и пло. я! ской волны Ч.' (а) на волновую функцию Ч"н (х) частицы в од! народном поле, см.
241 а также (1, $24). Отметим в заключение, что как и а предыдущей задаче, энергетический спектр частицы является непрерывным и неограниченным снизу. 7.5. При выборе векторного потенциала А =(зьг)/2, гамильтоннаи частицы в цилиндрических координатах с осью з, направленной вдоль магнитного поля, принимает вид йгГ! д д 1 дг еЖг Н = — — ~ — — и — + — г — г -). —,]+ 2р (р др др р' дфг сй +( ! )рг ! Н! йг д й Й ! г 2р дхг 2 Благодаря взаимной коммутативности операторов 1а, Н! и Н с.
ф, гамнльтониана можно выбрать в виде (оператор Е~ описывает линейный осциллятор) е ! его ~лаго, = / — Ч'„,"(з)ц/р/(р), г~=О, 1, 2, ... (1) При этом у. Ш. сводится к уравнению 2, Г 2рЕг еудщ тг — 1/4 рг 1 1" + — /'+1 — + — — — — 1/=О, р ~ йг ей рг 4а 3 где Е = Š— йю(л + 1/2), е= ц/й/р, ю = )е1Я/рс, а ~ =(й/р) / (4ю +ай) . Оно лишь переобозначением вели! г 3 2 чин отличается от уравнения Шредингера, рассмотренного в задаче 4.5. Отсылая к ней за деталями решения, приведем окончательные результаты; й/р /„ж = С (р/а)! ! ехр (- р /4а ) Р ( — лп 1 ел (+ !р /2а ), (2) г, „„--г ~ э~*~~.г~~ т7ьг(гь~-1 1~.чл.
лг=б, 1,2.... ЗУО Ев тя, = й 'З/ай + 4е» (2а! + ! т ( + 1)/2 + + Яю (п + 1/2) — Яынвт/2 ! в !. (3) В случае слабого поля, когда ым «ю, отсюда имеем Е1о> ейт та+ езй(2л1+)л')+1) ввэ 2рс 8)гэсзю (4) Здесь Е~чт= йа (ЯГ+ 3/2) описывает уровик невозмущенного осциллятора, см. 4о, прп этом Е = 2л~ +)т)+ иэ. Лнаейная по М часть сдвига уровня соответствует взаимодействию магнитного момента осциллятора с магнитным полем, которое описывается выра>некием (г = — рвв, где р = гй1/2рс — оператор орбитального магнитного момента заряженной частицы. Квадратичное по вв слагаемое в (4) определяет диамагнигяую часть сдвига уровня.
В частности, для основного уровня линейный по полю сдвиг отсутствует и ЯЕс ив — кэубз/2, где уэ = — вэй/4р'сэы определяет .иагнитиую восприимчивость основного состояния осциллятора. В случае сильного магнитного поля, когда ыи)>со, из (3) следует йыэ Евиэа Ег,в+ (2п!+)т)+!)+Ег, э' ын Теперь «поперечная» часть спектра определяется в основном действием магнитного поля и Ес, = Яыв(п + !/2) воспроизводит спектр уровней Ландау, при этом и = и, +)т )/2 — вт/2)в!.
Второе слагаемое в (5) дает поправку, учитывающую влияние упругой силы на поперечное движение частицы. Наконец, последнее слагаемое, Ег „, —— йа (п + 1/2), соответствует энергии свободных колебаний вдоль направления магнитного поля. 7.6. Действительно, собственные значения гамильтониана частицы //=(р.—.вй/с)э/2т являются положительными, а при значениях энергии Е ) О на больших расстояниях, где частица является свободной, не существует убывающих пря г — ». со решений уравнения 'Шредингера.
Однако хотя истинно связанных состояний частицы в магнитном поле и не существует, тем не менее у нее могут существовать кваэистационарныг состояния (см. 3 б главы 6), время ягизяи которых в макроскопических условиях практнйески может считаться бесконечно большим, .371 Выражения (1) и (2) определяют собственные функции и спектр жамильтониаиа осциллятора в магнитном поле: 7.7.
Воспользуемсв, как и а задаче 2.3, вврнационным методом. Выбрав векторный потеицнал в виде А (йвг)(2, запишем гамильтониаи частицы И= йг+Р2,(2Р+ и(г), где /уг — поперечная часть гамильтониана в чисто магнитном поле, направленном вдоль оси х, см.
формулу (3) из 7.1. Рассмотрим теперь нормированные на единицу волновые функции вида Ч',ь=ч/ие "1 )Ч'„з (р, ~р), где 'Рь — поперечная часть в. ф, (4) из задачи 7.1. Для нее Н~Чгь, = (Яюэ/2) Ч'с ~, где ыз = (е1ээ/ггс, так что среднее значение энергии частицы в состоянии с волновой функцией (1) равна Е (и) ~ 'Р й'Чг Л' = = — + — + 3У( )е " 1(Ч' ) г()г. Тзк как по условию У(г)(0, то отсюда следует, что прн достаточно малых значениях параметра и всегда будет Е (и) ( ( йез/2. Это неравенство означает, что у рассматриваемого гамильтониана имеются с, з., меньшие Нюз/2 — минимального значения энергии частицы в однородном магнитном поле и поэтому соответствующие связанным состояниям частицы, в которых она не может уйти на бесконечность, Подчеркнем, что число таких независимых состояний бесконечно велико, как и чясло различных значений величины проекции момента лг (о возможных значениях лг в зависимости от знака заряда частицы см.
в 71). Образование связанных состояний частицы в условиях рас. сматриваемой задачи даже в случае мелкой потенциальной яиы допускает простое объяснение; в поперечном направлении частица «связывается> уже одним магнитным полем, см. 7.1, а наличие ямы приводит к сзязызаиию и в продольном направлении, как это всегда нмеет место пря одномерном движенивь см. 2.3. Обсудим случай мелкой ямы более подробно. При этом в.ф. связанных стационарных состояний приближенно вмеют внд, сравнить с в. ф.
(1): Чгл,„(г) ~ы Чго (Р. ф) ф (*) и йым/2+ а (2) Здесь учтено, что завнеимоеть с.ф. гамнльтоннана от нолерееиых координат определяется в основном действием лишь мш нитного !толя. Подставив эту в. ф. в уравнение Шрйднягера, ЯЧгк МЕЧ'з, после умножения его слева на Ч'е (Р) и интегрированна по координатам поперечного движения приходим а) уже к одномерному у. Ш. Аа в Чгет (Я) + г1Ум, эф (Я) вэг1т Чгзэг (т) О (З)~ с эффективной потенциальной энергией У,ф(я)= ~ У(г)) Ч'э (Р) ~б'Р= — У (г) Рт ! ы 1+' ехр ( — Рэ) г(р.
(4) ( эг !!,) 0 Здесь Р = Р(ЬГ2 аи, аи — — Ч~А~Рад, н прн преобразованиях использован явный вид в.ф. (см. У.1) Ч' = Р! ! ехр (ииф — Р /2)/у2и ~ лг (! аи. В случае мелкой ямы У(г) эффективный потенциал (4) отвечает также мелкой одномерной яме н энергия уровня е (отсчитываемая от основного уровня Ландау, см. (2)) определяется результатом 2.22; Р" т е„,яг — — „, ам= — ~ У,„эв(з)бя (6) (при этом зависимость в. ф. (2) от а такая же, как и в (1) с и= = Ргг /Ат).
Простая оцеяка (она предлагается читателю) показывает, что, как и следовало ожидать, энергия связи рассматриваемых. состояний мала: )еч)~кйыэ. Прн этом энергия связи для состояний с различными значениями щ проекшгн момента частицы существенно зависит от соотношения между смагнитнойь длиной аэ н радиусом )с потенциальной ямы. Особенно резкой является зависимость е от пг, когда )( ~ аы со ээ Уз. В этом э) Подобный прием преобразования уравнения Шрелннгерахарактерен для пдиабагического лриблиягеяия, см, в связи в этим. 8.6!. ЗУЗ случае в интеграле (4) можно заменить ехр( — р') единицей и -согласно (4), (5) получить тз(ы144 йуз1ы(чз так что энергия связи частицы быстро умешшается с увеличением !гл(.
В заключение заметим, что ряд обобщений полученных выше результатов на случай, когда потенциальная яма (1(г) уже не является меякой, содержатся в 8.61. 7.8. Направив ось з вдоль магнитного поля, имеем гамнльтониан частицы Н = рз/2ш — рзуббк см. (УГП. 1). Ввиду взаимной коммутативности операторов Н, р, д, сразу получаем с. ф. гамильтониана н соответствующие им значения энергии частицы Ч' = (2пй) 1 е'Р™хз, Е, = р /2т — 2рзЖзк; здесь )(з — спиновые функции, являющиеся собственнымн функциями оператора йл отвечающими с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
