Galitskii-1992 (1185113), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Мы не будем подробно исследовать этот спектр, предоставляя это читателю, а ограничимся лишь несколькими замечаниями. Прежде всего отметим, что при () = О, когда нет связи между каналами (т. е. взаимодейстнне между частицами пе оказывает влияния на <внутреннее» движение составной частицы), рассматриваемая система имеет два дискретных уровня: по одному в каждом вз каналов. Это — обычные уровни д. с.
в б яме.Г!рн этом в случае Езжу = Я>+ Е(оа>,» О, где Е>>~> = Еэ> ~= з) 2 = — ша у26, дискретный уровень во втором канале лежит непосредственно на фоне непрерывного спектра первого канала. В такой ситуации включение даже слабой связи между каналами, (>«сг, приводит к появлению у этого уровня ширины, а соответствующее состояние становится квазистацнонарным.
Прн этом из (3) для энергии Ез этого состояния получаем Еа = — Š— — Г 2 () +Е(е> 2 >Е(о»г с +, ~( о а Вз ( Е>о> )>(() >Е>а»)>Е(о>~) ~>о так что уровень сдвигается вверх и приобретает ширину (дискретный же уровень Е(» из первого канала испытывает лишь не<с> большой сдвиг вниз). В заключение на примере рассматриваемой системы продемонстрируем возможность введения оптического потенциала. 'з) При этом в случае закрытого канала волновая функция убывает на больших расстояниях.
Эбй Считая, что во втором канале система может оказаться лишь в результате перехода нз первого канала, запишем в. ф. стационарного состояния системы с (вещественной!) энергией Е в виде Чт /ф, (х) ,) Условия сшивания в.ф. в точке х = 0 С, ехр (йт ) х ) )' приводят к соотношениям (сравнить с (2)) — — бтР, (0) = аф! (0) + 6Сз, 1 — !й С = аС + ()ф! (0), (б) т здесь бф!(0) — скачок производной функцнн в точке х = О, Исключая Сз из этих соотношений, получаем — — бф! (0) = !ча — ) ф (О).
! т / 2 ' ч а+!йт (6) Так как при х ть 0 функция ф,(х) по-прежнему удовлетворяет уравнению (!), то условие сшивания (6) (совместно с условием непрерывности ф1(х)) означает, что эта функция является решением стационарнога у.Ш. с «потенциалом» ((опт(х, Е) = — понт(Е) б (х), (7) где шрз аопт(Е) = а — ! 8»й (8) Таким образом, динамика в одном из каналов исходной двухканальной системы может быть рассмотрена на основе волновой функции только этого канала 'и), причем соответствующее уравнение имеет вид стационарного уравнения Шредингера с одноканальным гамильтонианом.
Отметим следующие свойства эффектииного (оптического) потенциала в таком гамилыониане 'о). 1) Он сам зависит от энергии, так что соответствующий «гамильтониан» не является самосопряженным оператором. 2) Как видно из (7), (8), при значениях энергии в рассматриваемом канале, превышаюпгих порог другого канала (т. е. в случае Е » Ео), оптический потенциал приобретает мнимую часть, причем знак мнимой части потенциала — отрицательный. Это соответствует тому, что с точки зрения исходного канала переход системы в другой, открытый канал выступает как поглощение, сравнить с 6.38. 869 '") Несмотря на взаимодействие между каналами системы, в том числе и переходы между каналами! зо) Такой простой вид эффективного (оптического) потенциала (7), (8) явлается спецификой рассматриваемой системы с точечным взаимодействием. В общем случае такой эффективный потенциал нвляется нелокальным оператором, зависящим от' энергии системы.
б.40. Понятия кэалиэиэргии и кваэизиэраетического состояния (КЭС) возникают при рассмотрении квантовой системы, гамильтоииаи которой является периодической (с периодом Т = 2п/ы) функцией времени. КЭС определяются как такие состояния системы, волновые функции которых являются решением времеиибго уравнения Шредингера и удовлетворяют условию Ч'е (г + Т, д) = с ' ) Чге (С ч), при этом е называется квазизнергией (сравнить с понятиями квазиимпульса и с блоховскими функциями для частицы в пространственно периодическом потенциале, см, 2.53). Волновую функцию КЭС можно записать в виде ейе(( д) = е гебьие () д) (2) где и (С д) — уже периодическая функция времени.
Ее разложение в ряд Фурье ие(Г ч)= ~ г ' Се,ефе,з(ч) (з) Š—. — ее определяет кзазлзкергегкчгскнг гармоники <ре з (д), Квазизнергия (как и квазнимпульс) определена не однозначно, а лишь с точностью до слагаемого, кратного +бы, Для однозначного определения обычно используется либо усгювпе приведения ее значения к одной зоне, например — ды/2 ( г щ. ( Ды/2, либо условие, требующее, чтобы при адиабатнческом выключении зависящей от времени части гамильтоннана квази- энергии совпадала с соответствующим значением энергии Е~к~ <ог стационарного гамнльтониана. Понятие КЭС является естественным обобщением понятия стационарного состояния, а система волновых функций КЭС обладает свойствами, во многом аналогичными с.
ф. стационарного гамильтониана. Так, волновые функции КЭС с различными квазнэнергиими ортогональны, причем в любой момент времени: они образуют полную систему. Соответственно аналогичное (И. 2) разложение по волновым функциям КЭС с постоянными коэффициентами определяет общее решение временного уравнения Шредингера. Существенное различие между КЭС и стационарными состояниями проявлнется, однако, в вопросах об излучении системы и о резонансном воздействии возмущении иа иее. Если для системы со стационарным гамильтоннаном Не частоты излучаемых фотонов (при спонтанных переходах между стационарными состояниями) и частоты гармонического возмущения, вызывающего резонансные переходы в системе, опрвделяются лишь частотами перехода, Ла»г — — Е)~~ — Е~г~», то для КЭС ситуация иная.
Соответствующие частоты для инх определяются соотношением Яшааз — — ва — ва ~ зЯФ, з = О, 1, 2, где ек — уровни квазиэнергин, при этом возможны и значения л = й. Интенсивности же переходов для разных з зависят от амплитуд квазнэнергетвческнх гармоник в (3). Перейдем к решению задачи. Гамильтониан частицы имеет вид 1 / е Н (() = — ~р — — А (1)~ . йт ч с Так как оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, то обобщенный импульс является интегралом движения.
При этом его с.ф., ехр()рг/Я), является также собственной функцией мгновенного гамильтониана, отвечающей с, з, ЕЯ, получающемуся нз Н(/) заменой в нем оператора р на импульс р. Это позволяет сразу записать решение уравнения Шредингера: г т . с.а- (à — Г~.-(те>э)~, 1 в ее ' (йий)з»т з (5) Е(() = — (р — — 'А (г)), которое прн периодической зависимости з') векторного потенциала А(Г) от времени описывает КЭС с квазиэнергвей (ниже для определенности считаем, что А (1) = О) Г р+рт в = Е(() — ~ Е(1) г()в т ~ 2т е 3 ро — — ', Аз(1) (О) (равной среднему значению энергии частицы за период). В отношении физического смысла р и рз заметим, что так как р — еА(1)/с = тт(Г) и А (1) =О. то р тт (т, е.
сохраняющийся импульс частицы определяет среднюю скорость). Далее, из пряведенных соотношений следует е ез — А(1) =и(и — т(1)), — А'(1) = шз(в — ч(1))е, с сз 361 з') При этом существенно, что для электрического пола й(1) = О. так что рд/2т определнет среднюю кинетическую энергию осциллнций частицы в электрическом ноле (на фоне равномерного движения ее со скоростью ч). Дли линейно-поляризовааной монохроматической волны имеем э 24Г2 ер — — — —— 2т 4таз (7) Гйф = Уа э1п (а() фз 161рэ — Уэ з)п (а1) фь Отсюда имеем У(1) = — сова) )го йа ф~ ч фэ = А ехР (щ;((1)) и :оответственно Каждое нз двух слагаемых в волновой функции (1) описывает независимое КЭС, при этом квазиэнергии обоих состояний одинаковы и равны ек Разложение (см.
133, с. 9871) ехр ((л соз а1) = ~~~ гауа (г) азам~, а —— г= щ —, (2) ро йа ' где Уэ — функция Бесселя, позволяет определить в соответствии с формулой (3) из 6,40 амплитуды квазиэнергетических гармоник полученных КЭС. Их интенсивности, оо Ха(я), осциллируют а по мере увеличении рэ. 362 (при движении частицы в поле циркулярной волны в правую часть следует ввести дополнительный множитель 2). Расходимость е„при а — ~.0 соответствует неограниченному увелнчснио скорости частицы в постоянном однородном электрическом поле. Зависимость же Ье оз а ' для изменения квазнэнергип под влиянием поля прн значениях частоты а -~ сю носат общий характер н справедлива для частицы, находящейся з достаточно произвольном потенциале, сравнить с результатом нз 8.42.
6.41. Записав в. ф. системы в виде Ч' (Г) = ( ) е *д)~, фю (г) т - гэ,г а = ф()у где функцнн фь э(1) являются амплитудами 1(2)-го стационарных состояний невозмущенного гамнльтониана Вэ с энергией ем д находим, что уравнение Шредингера гй — Ч' = (Нэ+ 'г') Ч' сводг дится к системе уравнений Отметим в заключение следующее обстоятельство. Если у гамильтониана )4 имеютси и другие уровни е(,), то резонансному переходу в невозмущенной системе с частотой ее — — еа— — е„ояри наличии возмущения Р будет соответствовать серии 1О резонансных переходов с частотами, равными юо = юо ~ йе, где й = О, 1, ... Амплитуды таких переходов определяются хвазиэ~ергетическими гармониками.
6.42. Доказательство утверждения задачи основано на пе'реходе во вращающуюся с угловой скоростью ы систему координат, в которой гамильтониан системы Е,р уже не зависит от времени н энергия сохраняется, см. задачу 6.29. Прн этом ста. ционарное состояние н его энергия во вращающейся системе являются КЭС и квазиэнергией относительно исходной системы координат, а соотнетствующие волновые функции связаны соотношекнем (1) из 6.29. Глава 7 ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 7.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
