Galitskii-1992 (1185113), страница 60
Текст из файла (страница 60)
При унитарных преобразованиях волновые функции и операторы преобразуются следующим образом: Ч" = бЧг, "1 — Г' = й1'й+. В частности, для гамнльтоииана системы имеем й'=бйб, Выясним, какой вид принимает уравнение Шредингера при унитарном преобразовании, зависящем явно от времени. Подсйствовав на обе части исходного у.Ш. оператором 0(1), получаем -дЧ' . д -,, /дУх 1ЛУ вЂ” = — 16 — (01У) — Сб ~ — ) 'Р = УНгР, д1 д1 к д1 ) Подставав сюда Чг' = 0Ч' и учтя, что 0ь0 = 1, приходим к уравнению 16 ~~ ч = -)~ бйб + 16 ( ~, ) б' ~ Ч ', представляющему уравнение Шредингера с гамнльтоннаном дм=ййбе и(ф) б =й +~6( — '„) б", (2) что и решает поставленную задачу (Н" — эрмнтов оператор).
Итак, при зависящем от времени унитарном преобразовании в соответствие гамнльтоннану системы Н можно поставить два оператора: Н' и Н". Для понимания полученного результата и выяснения роли этих операторов необходимо иметь в виду следующее обстоятельство. Гамильтоннан системы играет, вообще говоря, двоякую роль: (] оп определяет временную эволюцию волновой функцни в соответствии с уравнением Шредингера н 2) в случае его независимости от времени он является интегралом движения, при этом его с.з. имеют непосредственный физический смысл, определяя энергетический спектр системы.
Если исходный гамильтониан Н не зависит от времени, то при зависящем от времени унитарном преобразовании отмеченные его роли распределяются между операторамн Н" и Н'. оператор Н" определяет временную эволюцию волновой фунн- 344 ции системы, а оператор Н' принимает иа себя роль интеграла движения (спентры с.з. Н и Н'(1) совпадают). Если же Н(1) зависит от времени, то гамнльтониан утрачивает роль интеграла движения (энергия уже не сохраняется). При этом с.з. *мгновенных» гамильтонианов Н(1) и Н'(1) в обшем случае не имеют глубокого физичесиого смысла.
Оператор же Л"(1) по-прежнему определяет временную эволюцию ю). Иллюстрацией проведенного рассмотрения является переход к гейзенберговскому представлению в случае дЛ/д1 = О, осуществляемый унитарным оператором (? = ехр(?Н1/й). Прн этом Л' = Н, Л" = 0 н из у.Ш. в новоы представлении следует, как и должно быть, независимость в. ф.
системы в гейзенберговском представлении от времени. Унитарные преобразования в квантовой механике являются аналогом канонических преобразований в классической механике. При этом соотношение (2) для гамильтониана системы является квантовомеханнческим обобщением формулы Н" (Р, ь), 1) = Л (Р, О, 1) +— д[ д1 классической механики [26, с.
18Ц, выражающей преобразование функции Гамильтона при каноническом преобразовании, осу~цествлясмом зависящей явно от времени производящей функцией [(1). 6.26. Вид унитарного оператора 0 = схр(1(.юг), осуществляющего рассматрявасиое преобразование, определяетси известным из теории углового момента законом преобразования волновой функции при повороте системы координат; здесь ю — угловая скорость врашаюшейся системы координат относительно исходной ннерциальной системы отсчета. Прн этом закон преобразования в. ф.
имеет впд Ч"' (г, 1) = ехр (Л.ю1) Ч' (г, 1) = Ч' (г', 1), (() где Ч" (г,г) — в. ф. во врашаюшейся системе, а Ч'(г',1) — исходная в. ф. в неподвижной системе координат. При этом г — радиус-вектор относительно вращающейся системы, а г' = ??г— радиус-вектор точки пространства в неподвижной системе, которая в момент времени 1 совпадает с точкой г. Равенство (1) означает, что значенне в. ф.
системы не зависит от того, 'э) Если же Н", и отличие от Н (1), не зависит от времени, го он выполняет обе отмеченные выше роли гамильтоииана, см. в связи с этим 6.29. 346 в переменных накой системы ноординат (неподвижной г' или вращающейся г) она описывается и), Найдем вид операторов фнзичесиих величин в новом пред. ставлении, т. е. во вращающейся системе координат, н их связь с операторамн в исходной, неподвижной системе координат. Определим сначала вид операторов радиуса-вектора г„,(Г) и импульса р„,„(() относительно исходной системы. Используя результат задачи 6.!9 и известные значения коммутаторов компонент г и р с Е, см. (Ш.2), согласно обшей формуле преобразования опе+ раторов )'= (7)(7, находим; 2 (Г) = (72(7 = Ох(7 = х соз ю( — у з)п ИГ, (2) уаепР)=кзшы(+усозют знеп(О=з а танже б» агв (Г) = (7 ( — пй — ) (7~ = Р„соз ю( — бв з1п юй лх) = к (з) лгг,ага(Г) = Рх з|п юГ+ Рг сов мй Фз, неп (Г) = Фа* здесь р = — рйд/дк и т.
д., а ось г направлена вдоль вектора ек Соотношения (2) имеют очевидный смысл и означают'з), что оператор радиуса-вектора частицы является умножением на г как во вращающейся, так и в неполвижпой системах координат (компоненты же вектора в этих системах координат различны и связаны обычными формулами для преобразования векторов при поворотах системы координат). Аналогично соотношения (3), также имеющие вид формул преобразования компонент вектора при поворотах системы координат, означают, что и оператор импульса частицы в обеих системах координат одииаков и имеет вид р = — Уг().
Точно так же одинаковый вид в неподвижной и врашаюпзейся системах имеет оператор момента импульса ЙВ= [гр) = (гнеарнеа). и) Сравнить с задачами 6.26 и 6.27, в которых при соответствующих унитарных преобразованиях не изменялась лишь плотность вероятности. м) Во избежание недоразумений сделаем следующее разъяснение. До преобразования г является радиусом-вентором относительно исходной системы координат, при этом г = г. После выполнения преобразования это соотвошение относится уже н частице во вращающейся системе, а исходный оператор (сохраняющий свой физический смысл) преобразуется обычным образом, г' = ()г(7 ~, Это замечание остается справедливым и в отношении импульса частицы. (4) где сг'(г, г) = У(г', г) — потенциальная энергия частицы в переменных вращающейся системы координат. Теперь, имея в виду соотношение г = г =1[0, г]/Д, нетрудно найти операторы скорости частицы в неподвижной н вращавшейся системах: Р Р тнеа = увр = [юг) = унея [етг[ (5) щ и (сравшпь с результатащ; классической механики, см, [261).
Наконец, рассмотрим частицу, находящуюся во внешнем поле, источники которого вращаются с постоянной угловой скоростью относительно некоторой осн, так что потенциальная энергия в исходнов системе координат (1(г,т) зависит явно от времени. Переходя во вра)дающуюся вместе с источниками поля систему координат, согласно (4) находим дз Н„= — — Л+ и'(г) — дм).. 2т (6) Существенно, что теперь как У'(г), так п гамильтониан в целом не зависят явно от времени, так что энергия во вращающейся снстеме коордннат является интегралом движения; так, для частицы в электрическом поле циркулярно-поляризованнон монохроматпческой волны У'(г) = — ед сх, В заключение заметим, что полученные в данной задаче результаты являются естественвым квантовомеханическим обобщением соответствующих выражений классической механики, см.
[26, 6 39). 6.30. Связь волновых функций и операторов в представлении взаимодействия (онн снабжены индексом 1п1) со шредингеровскими имеет впд ч'шг (1) = ехР ((гт'з (1 — г,)/3) 'Р ((), [~а1(1) = ехр((ого(1 (е)/") 1 схр [ ггте(1 (е)/"). При этом если 7 =[(б 6 г) то 7ыг= [[Ршг. Чыг Г). Проднфференцировав (1) по времени, получаем уравнение движении для соответствуюпгего оператора д 31 "ы= 31 [м+ 3 [~о [м! (2) 347 Гамильтониан же частицы О= рзг2т+ У(г, 1) при переходе во вращающуккя систему координат изменяется и согласно формуле (2) из 6.28 имеет вид И = Ойо+ — йы). = Р + и' (г, 1) — йю)"., 2т причем гго(Р 4)=Йо.'юг=но(/)юг йюз)' /)~пз(о)=А йюс(го)=4. Изменение со временем волновой функции системы опреде.
ляется уравнением д 7 г '" — „, Ч"~вг — Н сгЧ'1аг Н1ог — ~~п~ (3) ( т такой вид гамнльтониана Нюг в представлении взаимодействия следует нз формулы (2) задачи 6.28), Проиллюстрируем использование представления взаимодей. ствня на примере осциллятора, находяшегося в одаородном, зависящем от времени внешнем поле. Прн атом ,~з Н, = — + — тызхз, Р = — Р (/) х, 2т 2 а зависимость от времени операторов координаты и импульса в представлении взаимодействия такая же, как н в гейзенберговском представлении для свободного осциллятора.
Соответственно, используя результат задачи 6.20 для х(/), получаем Р'аз= — Р(') йгл= /й д 1 = — Р (/) ~х соню(à — Г ) — — яп ю(à — Г т ° — 1. (4) о,лю о) ах! Для решения уравнения (3) с Рьп из (4) последовательными итерациями, учнтываюшими малость внешней силы г" (/), подставим в него Ч';ьс (' Г) = Ч'о (х) + Ч'П (' Г). Ч'о (х) = (па') Оч ехр ( — х'/2аз), согласно (3), (4) получаем Гй — Ч(П(х, /) — Р(Г) егмы гйхЧо(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
