Galitskii-1992 (1185113), страница 58
Текст из файла (страница 58)
с в. ф. Ч' с учетом равенства нулю второго среднего, находим при ь = И (без суммнроиания!) ~ ((и) х (пь)(пт)ьбь. (и) +(л(хь, (т)(гл)д (п)) = ьйб ь (1) здесь использовано условие иолногьь ~ ) ль)(пь(= 1). Учтем ( теперь, что р =(ьрььЯ)(Й,г,), и поэтому (пь) Р ) л) = (ср/Я) (Š— Е„)(ль(Х,) л). (2) Так как 6 = е~~/ь гьь то после умножения (1) на ез, подстановки а в него (2) и выполнения суммирования по а и Ь (по всем частицам) приходим к приведенному в условии задачи правилу сумм.
6.14. Из условия неизменности гамильтаниана следует ОН— — ЕО = О, и если записать унитарный оператор в виде (1 = = ехр(/г), где Р— уже эрмитов оператор, то, очевидно, и (Р, 8] = О. Соответственно если дР/дт = О, та Р является оператором сохраняющейся (во времени) величины — интеграла движевия системы. Подчеркнем, что существование таких интегралов движения связано именно с симметрией взаимодействия (гамильтониапа) — его неизменностью при соогветствующеьь преобразовании координат системы — и не зависят от конкретного вида вааимодействия. ЗЗЗ а) Оператор сдвига 0 = ехр(/ар/й), см.
10; его коммутативность с Н э~гвивалентна условию )Р, Н) = О, означающему сохраненке импульса системы, Р = ~ рл к б) Оператор вращения координат б = ехр Щз)), где Х= Е+ $ — оператор полного момента системы. 1Гоммутативность 0 с Н эквивалентна условию [з„Н) = О, означающему сохранение полного момента системы (если же взаимодействие ае завишп от спина, то ннвариактность гамильтониана относительно арап,ения координат приводит к сохранению как орбитального, так и спннового моментов в отдельности). в) Для преобразования отраженна координат СЧг/г„) †= = — Чг( — г„) пз копмутативностн С с Н следует сохранение чет. ности.
Гамильтопнан любой замкнутой системы частиц ннвариантеп относительно рассмотренных выше преобразований, что связано со свойствами свободного пространства: его однородностью, изотропней и эквивалентностью правого и левого (последняя инварпантность н соответственно заков сохранения четности нарушаются так называемыми глабыхщ взаимодействиями).
Внешнее поле изменяет отмеченные свойства пространства. Соответственно гамильтоннан системы во внешнем поле уже не обладает такой высокой степенью симметрия. Однако отдельные элементы симметрии п отвечающие пм интегралы движения могут иметь место и в этом случае, см, следующие задачи. 6.15. Гакнльтоннан Нэ системы в отсутствие внешнего поля имеет павболее высокую симметрию он ннварнантен относительно произвольного сдвига, вращения н отраження координат. Внешнее поле нарушает эту симметрию, так что именно симметрия потенцнальной энергии частиц во внешнем поле (гы...,г )= ~ 0„(г„) определяет симметрию гамнльтоннана свстемы Н = Не+ 0„„, в целом.
В свою очередь симметрия 0,„- однозначно определяется характером симметрии «источников» внешнего поля и для выявления ее с.чедует позаботиться о выборе системы координат, адекватном симметрии системы (проявляющейся в независимости У„„„от соответствующих координат). Имея в виду высказанные соображения, явный вид операторов проекций импульса и момента, Ра = — 16 ~ д/дал, Еа — 1 ~ д/дф», к к 334 а также сохранение энергии системы в случае д0„ел/дг = О, приходим к следующим заключениям об интегралах движения. 1) Интегралы движения: Е, Р, Е, !.
Так как для замкнутой системы движение центра масс и относительное движение независимы, то Е, Е, ! сохраняются не только для системы в целом, но н для обоих указанных движений в отдельности. 2) Систе.за трансляционно инвариантна в любом направлении, параллельном плоскости х, у, создающей внешнее поле, имеет азимутальную симметрию относительно любой оси г, перпендикулярной плоскости х, у, и зеркальную симметрию относительно этой плоскости; соответственно ивве = ~ ил() „(). л Интегралы движеаня: Е, Р, Р„, Е„!. 3) Система имеет центральную симметрию; интегралы движения: Е, 1., 1.
4) Система обладает аксиальной симметрией относительно осп, проходяшен через точки — источники внешнего поля; (Ганеш = ~ (Гл (рл, гл) и интегралами движения являются Е, л !в В случае когда точки несут одинаковый заряд, имеем') Пе= = (!л(р„)г„)) н поэтому сохраняется также и четвость !.
5) Если направление сил, действующих на частицы, зависит от времени, то никаких механических интегралов движения у системы нет. Если же от времени зависят только величины сил (но не их напраиленне, общее для всех частиц системы), то, выбрав ось г вдоль этого направления, имеем ('ввел = д', Рл (1) гл л и интегралы движения Р„, Р„, Ее (а при Ре(1) = сопш также и интеграл энергии Е).
6) Система обладает акснальной сиыметрией относительно оси г, направленной вдоль провода, и трансляционно инвариантна в этом направлении, так что ()елею — — ~ ()л (рл) и интел граламн дви кения являются Е, Р„Ел ! (сохранение четности ! отражает зеркальную симметрию относительно плоскости, перпендикулярной оси г).
7) Ось винта — ось г, шаг винта — а, угол поворота вокруг оси — ср. Функция сГвзеш = ~ (!л (рл гл Чл) ') Плоскость г = О проходит через середину отрезка, соединяющего точки. инвариантна относительно преобразования ф -э фа+ би, л,-ь -ь г, + аба/2п при фиксированных значениях рж при этом 60„,ы = О. Это означает, что оператор (Г„,ч, а потому и гамильтониан 77, коммутирует с оператором Ч~~ч( д а д ) 1(- а -) и Следовательно, интегралом движения является комбинация Ье + аРз/2Щ а также, в силу д(/.„ /д) = О, и энергия Е. 6.16. В обоих случаях ннтеграламн движения являются: энергия Е, проекции полного момента 1 = 1 -(- з и соответственно )г, а в случае а) также четность / и 1-', Так как с.ф. гамнльтопнана можно выбрать также и с.ф. коммутирующих с ним и друг с другом операторов, то, очевидно, в.
ф, стационарных состояний в случае а) имеют внд ч'Я)гк га = /(г) ч'(гкз гз где Чггг — известные спин-угловые в. ф. частнцы со спинам гг з = 1/2, см. 5.24, 1~ з = 1 ~ 1/2, при этом 1 = ( — 1) Ц З, а у. Ш. сводится к одномерному уравнению для функции /(г). В случае б) в. ф. стационарных состояний имеют вид Чгн ..
— †/, (г) Ч' ! + / (г) ЧгН , а у. Ш. сводится к системе двух линейных дифференциальных уравнений лля функций )> и /ц сравнить с 12.5. 6.17. Из условий д!к з/дг = О следует д Д,/з)/д) = О и д ()з)1)/г(г = О, так что Ц, и Яь как и указанные в условии задачи эрмнтовы комбинации этих операторов (если )ьз — эрмитовы), являются интеграламн двюкення, а) Так как Р„= 1(Р,/, — ),Р,), см. (!11. 2), то из сохранения Р, н У, автоматнчески следует сохранение н Р„. Это легко объяснить. Лействнтельно, сохранение Р„ означает, что системз обладает трансляционной инвариантностью вдоль оси х, а сохранение / свидетельствует о ее аксиальной симметрии относительно оси г.
Наличие этих симметрий автоматически влечет за собой и трансляционную симметрию вдоль оси у (и в плоскости х, у вообще). б) Интегралом движения является также и 7, = — 1(7,7„— — угу ). Сокранение У, и У„свидетельствует об аксиальной симметрии системы относительно осей х и у, что, в свою очередь, автоматически приводит к аксиальной симметрии также и от- 336 носительно любой другой оси, имеющей общую точку пересечения с указанными осями, и тем самым означает наличие у системы центральной симметрии. 6.16.
Учитывая, что Н = рту2ш — Гсг, находим д - 1 — 6 = — б + — [Н, б] = — à — — [(Г, г), р] = О, В( лт й ' а й а' так что среднее значение б = р (Г) — Гас = сопз1. Это является естественным квантовомехацическим обобщением результата классической механики, согласно которой при движении в однородном поле вектор р, = р(Г) — Гас (так иак ч(Г) = = ч(0)+ Гат/ш) является интегралом движения и равен импульсу частицы при Г = О.
6.!9. Введем сначала оператор ) (Л) = е Ве ~". Диффе. ренцирование его по параметру Л дает АехлВе хл ех4ВА -хл хл [А, В] е НЛ Лналогичпо находим произнодные второго и более высоких порядков; ) (Л) = е Л [А, [А, В]) е и т. д. Воспользовавшись теперь разложением в ряд Тейлора, приходим к аскомому соотношению. ~а[ е'1Ве = [(Л = 1) = ~~ — ( — „,„„) а В+ — [А, В] + — [А, [А, ВЦ+ 11 ' 21 6.20. Вид гейзспберговских операторов координаты и импульса согласно (Н1. 9) легко установить, если воспользоваться результатом предыдущей задачи.
При определении же вида этих операторов вторым способом следует учесть, что из-за линейности системы уравнений (в данной задаче) ее можно решать так же, как дли обычных, неопсраториых функций, так как при этом не возникает осложнений, связанных с некоммутативностью операторов.
Приведем ответ: а) для свободной частицы 2(г)=2+(г/ш)Р, й(г)=Г1 б) для частицы в однородном поле Е Рс(з Го) 2(г) = 2+ — Ф+ — ))(П=Ф+ — ' т 2т' иг 337 в) для линейного осциллятора х (() = х соз е1 + (Р(тв) з)п вй р (1) = /) соз в( — твй юп ес Здесь х, б — обычные шредннгеровские операторы, с которыми гейзенберговские операторы совпадают при 1 = О. Покажем, как определяется вид гейзеибсрговских операторов из уравнений движения на примере осциллятора. Для него Й = Рз Я(2т + й«о (Ц(2.
С учетом значения коммутатора [Р((), х(1)] = — /б уравнения движения принимают вид решение этой системы уравнений дает [в = )/й/т ): Х(1) = С~ созе(+ Со з1п вй Р(1) = — те [С~ з)п вà — С,созе(], а из условия совпадения при 1 = О гейзснберговскнх н шредиигеровских операторов следует С~ = х, Со = Р/тв. 6.21. Временная зависимость средниь значений физических величин полностью определяется зависимостью от времеви соответствующих гейзенберговских операторов. Учитывая значения следующих средних в рассматриваемом состоянии: Х=«о, Х хо+а/2 Р=ро ))'= ро+ й'/2ао ХР+ Рй = 2хоро находим, воспользовавшись результатами из 6.20: а) для свободной частицы " (П = " (/) = «о+ Рог/т Р Я = Ро* (бх (())о = ао (1+ йз(о/т ао)/2 (ЛР (1))о До/2ао б) для частицы в однородном поле х (1) = хо+ рог/т+ГоП/2лг, Р Я = ро+ Го(/т, (Лх (т))о = аз (1 + Дзот/тза')(2, (ЬР (1))з = Из(2аз; в) для осциллятора х (1) = хо соз в(+ (Ро/тв) з1п вй Р (1) = Ро соз в( — твко з1п вт, (бх (1))о = аз (созз в( -1- (Дз(тзвоао) з1пз вт)/2, (Лр (1))з = (созо в( + (товоао(йз) шло вг) до/2ао.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
