Galitskii-1992 (1185113), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

ф. Фо(р) при р = ро, т. е. именно при таком импульсе, который должна иметь свободная частица в классической механике, чтобы за время 1 сместигься на расстояние х. Прн этом выражение аод знаком экспоненты в (2) есть 15(х, 1)/й, где 5 — действие для такой частицы. 6.8. Функция Грина по переменным х, Е удовлетворяет у.

Ш. .для свободной частицы и граничному условию б(х = 0,1; х', 1) = = О. Имея в виду ((г!.7), нетрудно сообразить (по аналогии с методом изображений в электростатике), что «т (х, 1; х', 1') =. т [ ет (х — х')о ет (х + х')' 21пй (1 — 1') [ 2Я (Š— 1') 2Я (Š— 1') ) ' Подставив это выражение н Ч'о из условия задачи в (Л. 5) н вычислив получающийся интеграл, находим тао ( Г ! »Р (х, 1) = А = ~/ таз+ ЕЯЕ [ [ 2 (1 -)- й'1*/т'а') а' -[ ехр [ Х Х (-(х+ хо — роЕ/т)»+ Ей!(х+ хо)'/таз+ 2(роао(х+ хо)/й— — Роа 1/тЯ вЂ” 2(рохо (а + й 1 /т а )ЕЯ) ~ — ехр [(х -« — хЦ ~, (1) 327 где ехр[(х-ь — х)) означает выражение, получающееся из первого экспоненциального слагаемого заменой в нем х на — х.

В ф, (1) представляет суперпозицию двух волновых пакетов, первый из котоРых описывает падающие на стенку частицы, а второй — отраженные. В начальные моменты времени в (1) наиболее существенным является первое слагаемое, а при 1) )тхо/ро в случае ') роФй/а, наоборот, доминирующим является второе слагаемое. 6.7. Сначала рассмотрим нормированный на 1 волновой пакет для свободной частицы, а котором представлены с одинаковой амплитудой импульсы р = йй из иятервала (йо — но, йо+но): сооб ( и, г, Рй! йи = — ') сир [ 1(йо + и) " (йо + ") 1 = .~/2;т 2 1 '~/2~~ При значении но«йо и для моментов времени таких, что [1[ « « Т = т/йно, под знаком экспоненты можно опустить член 2 оо н' и найти 'ч' (х, Г) гн чт/ ехр ((йох (ййо(/12т) / а, . о шп [(х — оо1)/а) (2) ч оо( здесь оо = ййо/!и, а = 1/ко. Согласно (2) !су„,о(х, 1) !о аписы. вает волновой пакет, центр которого движется со скоростью оо (находясь в точке х = О при Г = О); ширина пакета Ьх = = [х — оо![ а, причем он пс расплывается (в течение лшпь рассматриваемого времени!).

Переходя к рассмотрепшо отражения пакета от «ступеньки», пригедем с. ф. гамнльтопизна для Е = йойо/2т « (/о прн х « О: »Р» (х) (осй» оно!о!о — !ох) о = /— ') Отметим, что именно в случае род й/а и имеет смысл характеризовать исходный волновой пакет как описывающий падающую па стенку частицу. В противном случае (при ро ~(й/а) уже в исходном состоянии частица с заметной вероятностью ( 1) имеет отрицательное значенке импульса (сравнить с !67), как и отраженная частица; соответственно характеризовать первое слагаемое в (1) как отвечающее падающим на стенку частицам буквально лишено смысла.

Отмеченное различие между случаями род»й/а и раей/а проявляется в том, что при ро ~й/а первое слагаемое в (1) не является пренебрежимо малым по сравнению со вторым даже при 1-ь со. 326 где Ч (й) 2 агс(й ЧуЕ)((у, — Е) Чэто следует из сшивания (3) с в, ф. Ч'а А екр ~- чуйт (Уо — Е) х/Я~ при х ) О).

Составим теперь из функций (3) волновой пакет Ч'(х, Г) таким же образом, как и в (1). В результате в.ф частицы(уже с учетом наличии потенциальной ступеньки) при к~~О запишется в виде Ч (х, () = Чгв,л(х, Г) + Чготэ(х, Г). (4) Здесь Ч'... — часть пакета, связанная с первым слагаемым в (3), совпадает с (!) и (2) и описывает частицу, движущуюся к барьеру; она отлична от нуля (напомним: х «0) лишь при а ~( а/эм пока весь падающий пакет не достигает ступеньки.

Вторая часть пакета, Чт„м соответствует частице, отраженной от ступеньки (она фактически отлична от нуля лишь при ( ) 0). Если пря интегрировании по х пренебречь изменением фазы ср(й) отраженной волны, т. е. положить ср(й) Ч(йа), то для Чт,-,р придем к явному выражению, получающемуся из (2) заменой х на — х и умножением па — е . В этом приближеяии эф. г ф1ао! :фект задерлсхи частицы при отражении отсутствует. Для уточнения результата выполним разложение: ср(йэ+к) ср(йо)+ + ср'(/га)к Теперь получаем') ( ) / в го1х, г) Шп ((х 'т (йо) + оэт)ун) (6) Отсюда следует выражение для времени задержки (Ес = ро/2т) т = ср' (йо)lоо = Я) )Еэ ((Уо — Ео). (6) Так как т ) О, то при отражении частиц от барьера действительно просходит их задержка. Это можно понять, если иметь в виду, что, в отличие от классической механики, частица проникает н под барьер ').

При этом естественным является уменьшение т с увеличеннем Ум так что т = 0 при ()а = оо. В заключение отметим, что т ка/оэ, т. е. время задержки мало по сравнению со временем пролета частицей расстояния порядка ширины пакета. ') Очевидное значение фазы а(х,() мы не указываем. ') При этом т йх/ээ, где йх Я/у'т ((Г~ — Ер) — расстояние, на которое проникает частица в глубь барьера. 329 6.$. С.ф. гамильтониаиа, соответствующие падаюшим слева частицам, вне области действия потенциала имеют вид 1 (агах+ 4 (й) е-гах) ч/Ь ! В (!о) в!ах я/2л Ч'„+ (х) = (1У х>о(, где й = ч/2тЕ/йо, г( — радиус потенциала, так что можно считать (/ = 0 при [х[ ) Ы, рассмотрим нормированный на ! волновой пакет (сравнить с предыдущей задачей] на Ч' (х ') = ~ Чгь -н (х) ехР ~ — — (йо + н) ~ = (2)' т1 о(н 2т 1/2но МО При значениях хо ьйо, причем настолько малых, что можно счн. тать А (йо о: но) А (!го) и В (йо х: ио) яо В (йо), а также пренебречь членом соко в показателе экспоненты (при [![ (< Т = т/Дно), в ф.

вне области действия чотенцнала с уче- 2 тем асимптотик (!) принимает внд (х !) = 1оол(х, !)+оуотр(х, Г), х ( — г/, (з) Ч (Х !) Ч ором (Х !) х > о(, где ') , а оа!х, г! сйп [(х — оо!)/а[ х оо! а А .. еоа(-х, г1 з!и!(х+ от)/а) (4> а га!х, г! з!и [(х — оо!)/а[ Ч'„, (х, !) —— — В (йо) ег — ~ — в(й и бй х — оо а о, = ййо/т, а 1/ио. Интерпретация выражений (3), (4) представляется очевидной. При Г ( — о(/оо сушественно отлична от нуля лишь часть. в. ф Ч'„,„, описывающая падающий пакет, еше не достигшим области [х[ ( о! действия потенциала. При ! ) о(/оо, наоборот, отличны от нуля лишь части Ч'„о и Ч' ро, описывающие частицу, вылетающую из области действия потенциала. При этом ') Здесь фаза а(х, !) = й,х — ай~~!/2т, см, формулу (2) ии предыдушей задачи.

Решение ее дает «возмущенные» уровни е~ 2 и с. фс !. 2 ( ! + 2 + !! + 22 г !О1 <а! /( !е> !о! + )г 122) +4(р!2!212, (1) Ь =(е! — е!!е! — (г2!)/у!2, Л'=П + ! Ь!') „~-ь*~ 2(с. ф. Ч'е,, как и следует, взаимно орпнональны). В. ф. системы прн ! ) О имеет внд Ч'(!) = с2Ч'„е " ~ + с Чг е где значения с, 2 определяются начальными условиями. В рас- /1~ сматриваемом случае, ч'(О) = 1т ~, находим 'Х,ОЗ' ф (!) 1 е 2« г)а ! ! Ь |2 е-ге,2!а фз (!)/ 1+ ! ь )2\, ь(е-»е г!а е-гзнйа) /' и вероятность перехода системы в другое (2-е) состояние не- возмущенного гамильтониана !из (1) = !»Рз(Г) ! = з(п ! — (ез — е!) 1~. (3) 4(Ь!' !" 1 П+! Ь|2)2 )йй Ее величина осциллирует между О и ы .„= 4/6!'(1+(Ь!') 2. Значение ы,„может быть близким к 1, если матричный злемент )»!з является достаточно большим.

Такая ситуация вероятности нахождения частицы в отраженьом и прошедшем волновых пакетах равны соответствевно )с =!А(й,)!' и Р = = )В(йе) (2 — в согласии со смыслом этих велйчин в стационарном подходе. 8.9. В. ф. системы будем описывать двухкомпонентным столб- Г р, (!) т жом Ч'(!) =( у1, где ф!,, — амплитуды 1-го и 2-го собфз (!) огненных состояний невозмущенного гамнльтовнана Еь причем в отсутствие возмущения »Р! 2 — — С! 2ехр( — ге! 21)Д). При вов!е! действии на систему внешнего поля ее новые стационарные состояния (их энергии н в. ф.) апределя!отса из решения у.

Ш. (Н, + 1') Ч'« = еЧ'«, которое сводится к системе двух алгебраичеуа! 'т ских уравнений для Чге = 1 т„аз Х' '(е~! !+ (г!! — е) а!+ )г!таз =О, 1 2!а! +»(е!2»!+ )»22 — е) аз = О. реализуется, например, в случае ') а!! ! ат! ! (вырожденные уровни) прн Уп =. Ум = 6. Как видно из (1), при этом в стационарных состояниях возмущенной системы исходные состояния представлены с одинаковой, равной 1/2, вероятностью. 6.10, Имея в виду гамильтониан (1/11. 1), по формуле (У1. 4). находим з) и = г = (р — еА/с)/р, тт = т= дт/дт+ — [Й, т) = — 8+ — ([тК[ — [убт[) (2) й ' р 2рс где е' = — 7~р — дА/с дт, Ж = го! А, что представляет естественное каантовомеханнческое обобщение соответствующих выражений классической теории (прн этом прзвая часть (2) определяет оператор силы Лоренца Рл р).

6.11. Как и в предыдущей задаче, находим к=р/р, и =(р,/рз)йгаб(зЖ(г, ()), з = (1/6) [Н, 5) = ()ьа/йз) [5РЕ (г, ()! (сравнить с соответствуюптими классическими выражениями для нейтральной частицы, имеющей магнитный момент р и собственный механический момент М = нр, взаимодействие которон с электромагнитным полем описывается потенциалом (/ яв = — ркиб(г, 1); при этОИ бМ/Ж = (.эв —— [)ьЖ) ). 6.12. Усредняя оператор /, находим /=~Ч'„/Ч„бч- — „' ~Ч„'(Й/ — Р)Ч„дт=О (1> (здесь учтено, что Нтуя = ЕаЧ"я и под интегралом Чг„Н... = =(ЙЧ'я)'...

ввиду эрмитовости В). Учитывая, что дг/с(1 = р/т и бр/бт = — цгаб (/, имеем т((рг)/г(1 = рг+ р г = 2Т вЂ” т0 (2г и согласно (1) для средних значений получаем Т,» = тб,„/2, что и представляет квантовомеханнческое обобщение теоремы вириала классической механики (в которой усреднение проводится по з) Отметим почти вырожденные 2з- и 2р-состояния атома водорода, значительные переходы между которыми возникают уже в сравнительно слабом электрическом поле.

Это, в свою очередь, приводит к существенному влиянию электрического поли на время жизни метастабильного 2з-состояния, см. 11.62. ') Не путать векторное произведение с коммутатором! времени). Отметим, что полученное соотношение справедливо и для системы из произвольного числа частиц, если взаимодействие их друг с другом и с внешним полем описывается степенными потенциалами с одинаковым показателем т. Приведем еще один вывод теоремы вирнала, основанный на использовании соотношения (!. 6).

Для этого заметим, что степенной потенциал (/ = ~ аг характеризуется только одним размерным параметром а. Так как из трех размерных параметров Я, ю, ьх можно лишь единственным способом составить комбинацию, нмеюьцую размерность энергии, вь = а (И'/тп)т/1тэ тдтэз у и нельзя образовать ни одного безразмерного параметра, то для с. з.

гамнльтоннанЪ Е = — (Иь/2т)Л + (/, относящихся к д с, из сообршкений размерности следует Е„= С(л,т)ес Замечая, что (У == сьдЕУда, согласно (1. 6) получаем (7„„= и дЕ„/да = 2Е„/(т + 2). Из этого соотношения и равенства Г, = Гь„ + Дь„ яепосредстпснио следует утверждение теоремы внрнала. 6! 3. Усредняя соотношения (рьь хьь) = — сйбььбы н дхьхьь/дт= = (//ЯР) (Р хьь + хаьрза) (индексы а, Ь нумеруют частицы) по состоянию д.с.

Характеристики

Список файлов книги