Galitskii-1992 (1185113), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Интеграл же от первого слагаемого преобразуем с помощью теоремы Остроградского — Гаусса: В двумерном случае и"г' = ЫЯ, с(8 — 81 = п Н!т). Так как при к-»О имеем Кр(х) нз!п 2/ух, то тКз(нр) яэ — Р/Р' при р-»О и в результате внтегрнрования получаем пйзс/р = 1, так что окончательное выражение для 6з имеет внд ын(Р Р ) =РКо(н) Р— Р'))/нйз. (Зу 4.36. Рассмотрение, аналогичное проведенному в предыдущей задаче, приводит к следующему виду функций Грина: б(нэ) (Р, Р') = ~ 1РЕОП"1 (й ) Р— Р') )/2йт, (1у где й= ~/2РЕ/д > О, а Нй~ т)(з) — функции Ганкеля. ') Обращаем внимание на то, что орт и (орт евнешней нормали») перпендикулярен контуру интегрирования, В данной задаче л)=п,(1 Р рбр-риф (р=)р — Р')-е).
Р 4.37. Функция Грина удовлетворнет уравнению йа Г и'э — — 1ч — э+и ) 0В(ф, ф') 3(ф-ф'), (1) здесь х- .ч)2)Е)ВТ. Из соображений симметрии очевидно, что бг является функцией вида бг = бг((ф — ф'(). При этом из уравнения (1) при ф Ф ф' следует 0 =Ссоз[х(ф — ф')+а!. Значение С = )/хйэ з1п сс вытекает из условия сшивания функции бг в точке ф = ф' (сравнить с 2.6), а величина а находится нз условия равенства функции Грина и ее производной по ф в точках ф — ф' = ~п, соответствующих одной и той же точке пространства, н равна а = †.
Таким образом, функция Грина имеет вид О, (ф, ф') = — !сов (х( ф — ф') — хп)/хйэ з!пхп. (2) Она имеет полюсы в точках и = ~т (т — целые числа, т = = О, 1, 2, ...), т, е, в точках Е = йэтэ)21 плоскости комплексной переменной Е. При этом, как н следовало ожидать, поло. ження полюсов совпадают со значениями энергетических уровней ротатора. 4.38. Функция Грина является решением уравнения г Ма(тт' — Е) 6 — = ~ — 1э — Е ) 6 = 3(п — п'). (1) В 'ч21 у В Из соображений симметрии представляется очевидным, что бг является функцией вида бг — = бг(пп'), т. е, зависит только от угла между векторами и и п'.
Соответственно, выбрав направление полярной оси пз вдоль п' и введя обозначения г = ппэ = = соз О и Е ~ А'»(» + 1)/2/, перепишем уравнение (1) в виде (1 — г ) бг (г) — 2гбя (г) +» (» + 1) 0В (г) = — -у 3 (п — по). (2) При О»ь О (т. е. при г»ь 1) правая часть (2) равна нулю; решение такого уравнения, как известно 133), можно представить в виде 0 (г)=еУ ( — г)+еУ (г), (3) В 1» э» аде У» (г) — сферическая функция Лежандра 1-го рода. Так «шс У„(1) 1, а У»(г)-ьос при г-ь — 1, тон (3) следует положить еэ = О; значение же е, определяется 3-фуикционным слагаемым в (2). Для оиределеиня с, рассмотрим предел г-с1. положив аем! — 8'/2.
Уравнение (2) при этом принимает вид 1 — — т 1 б ч 21 ~~д + 8 йб + ч (ч + 1)!! 6п а 6 (п пэ) (4) совершенно аналогичный уравнению для функции Грина свободной частицы в двумерном случае') (см. 4.36). Так кака) У„( — х) иа (2/и) з!и (пч)!и 8 при я= 1 — 8т/2-ь1, то, имея в виду результат задачи 4.35, накодим значение с, = = — !/26з з!п пт и окончательный внд функции Грина 6 = — .
У ( — пп). 1 2йа Мп пч (6) Нахождение функпни Грина по общему методу сводится в данной задаче к вычислению суммы у! (п) у! (п') ын(п, «') =- ' =-Х (6) К гз где Е~ = Ьт!(! + 1)/2! — уровни энергии ротатора, Уь„ — соответствующие с. ф. гамильтавиана. Воспользовавшись теоремой сложения для шаровых функций (см. (П1.6)), выражение (6) можао преобразовать к виду / Чч (2! + 1) Р! (пп') ~п 2пйз ~ !(!-(-!) — ч(ч-)-!) ! Используя также соотношение (см.
!33, с. 1033)) ~~~ ( ', — ',,)Р,(.)= —." У,(-*), (6> замечаем, что выражение (6) совпадает с (6). з 2 ( соз (ч + 1/2) 8 У„(соа 8) = — т Ч/2 (соз р — соз 8) О эамечан, что прн 8-~.п интеграл расходится на верхнем пределе и вычисляя его расходящуюся часть. ') Такая аналогия не случайна, так как оператор †!а является лапласианом на сфере, а малая часть сферы совпадает с касательной плоскостью.
При этом вектор п — п, приближенно перпендикулярен п, и )п — п,) яа 8 является аналогом переменной !ь ) Этот результат легко получить из известного соотношения [33) Глава 5 спин / а 'т 6.1. С. ф. Ч', =( ) и с. з. зх оператора Лх =а /2 нако- ~Ь) х х дятся из решения уравнении ЬхЧ' =х Чг хх эх или Ь = 2э„а, а = 2з„Ь. Нетривиальное решение втой системы уравнений существует при условии 4з =1, определяющем возможные значения (спектр) величины э = ш1/2. При этом а=Ь для з = 1/2 н а = — Ь длн з, = — 1/2.
Нормированные на едн. ницу, так что(Ч.', ~Ч' )=~а!з+!Ь!э=1, с. ф. Ч.' имеютвид ~~„-э!~з ~о ( ) ~~„- — Ыз= /2 ( ). Аналогично находим Ч'знее!~э= „/2 (! ) =(') 5.2. Оператор спина з = и/2 является оператором векторной (точнее, псевдовекторной) величины и поэтому оператор проекции его й„ на произвольное направление п(пэ = !) должен выражаться через операторы компонент йв и„, э' так же, нак и в случае обычного (неоператорного) вектора, т. е. 1 1 У = па= — по = — (з!п 8 сов ~р ох+э!п В зрл о ° да+сов О ° Вх), 2 2 где В, ф — полярный и азимутальный углы направления п.
Ис- пользуя явный вид матриц Паули !'т'. 2), имеем ! (созВ е ~вз!пВ У 2 ч е!В з!п Π— соз 0 3 иачеиие з„в состоянии Ч', !!з ( ) равно / соз О е ~в з!п 8'! / ! т йн=(Чт~ Я„~Чг) — (10)~ ) ( ) — соз О. 'ч е!в зш 8 — соз 8 ) ч.й х 1 г !х 1 = ю (+) — + ю(-) ° 1х — — ) — [2ю (+) — 1) =з соз8„ п 2/ 2 и ю (+) = — (1+ 2зп сох 8), 1 2 1 ю ( — ) = — (1 — 2зп соз 8) 2 /ац 5.3. Найдем сначала с.ф.
Ч»,1/2 =~ ~ оператора проек- ~Ь/ ции спина на каправлеиие п. Используя явный вид операторз Мп, установленный в предыдущей задаче, из уравнения на с. ф. 1 ~п»п 1/2 2 1»п 1/2 получаем соотношение аз!и (8/2) = Ье гесоз(8/2). Отсюда, выбрав а = соз(8/2), находам Ь = егв з(п (О/2), так что спиновая функция ЧГ 1,2 принимает вид, указанный в условии задачи; »п / при этом 0 = 2сг н ф = () определяют искомые полярный и азимутальный углы. Выбрав 8 = 2сг = и/2 и ф = 8 = 8, находим с.ф. Ч' При 0 = и/2 и ф = и получаем с.
ф. Чг 1/2 и т. дл сравнить зл с результатами нз 5.1. 5А. Взяв шкур от обеих частей приведенного в условии соотношения между матрицами и воспользовавшись тем, что $р о; = О, Яр! = 2, находим ао = (1/2) Зр А. Далее, умножив обе части указанного соотношения на матрнцуоасправа, опять вычислим шнур. Используя при этом соотношение (У. 3), находим аа = (1/2) Вр (Аоа) (1/2) 5р (ЬаА).
(ап)" а" — ' (аи), если 5.5, (ап)"=а"1, если и четное, и и нечетное. 5.5. !) Оператор имеет всего два с Соотватствующие им с. ф. определяются чем теперь и = шЬ/Ь. з., равные /1,2 = а-ь Ь- результатом из 5.3, при- Аналогично для состоянии с з, = — !/2 находим з» вЂ” (сов О)/л (отметим, что соотношение Уп = а соз 8 аналогично РезУльтатУ 3.11). Обозначим ю(-(-) вероятность значения зп = -(-1/2, при этом ю( — ) 1 — ю(+) — вероятность значения з = — 1/2. ' Увитые °, -Ьп-;-.8, ° д 2) Вид оператора г Р(/) следует из результата 1.22: 1 1 7 — [г" (а+ Ь) + Р (а — Ь)[ + — [г (и+ Ь) — Р (а — Ь)) Ьй. 2 2Ь В частности: /7 (фо) = соз (фа/2)+/яп (фо/2) [ — 'й). Чтобы х 'Ро сливовые функции 'У !/х в результате вращения системы координат перешли в Ч', е!/х, вехтор ф следует выбрать равоп иым фа=(В з!и ф, — Ввоз ф, 0), см.
3.24, где В, ф- полярный и азимутальный углы вектора п. Прн этом /7(фо) = сов(В/2) -|- + ! яп (В/2) (яп ф 6» — соз ф бн), так что у соз (В/2) ~ -'О'=""(,О./ ~" ( 1 оп 1, О ) 'х е Е з!и (В/2) Х в согласии с 5.3. 5.7. Из преобразования (по= фа/фо) » Ч" = ~ )=схр !х!фо — ~Ч'= !хсоз — '+! з!п — пой) Ч' (1) 2 следует закон преобразования комплексно сопряженной спинозой функции Ф [ф1 фз)' °, .... ° ф. фо Ф (...)=Ф ~сов — гз!п — п,о!.
(2) 2 2 Отсюда сразу находим, что Ф*'Ч" = Ф*Ч'. Используя (1), (2) и соотношение (Ч. 3), после простых преобразований находим Ч'= Ф*'пЧ" =соя фо ° Ч вЂ” з!и фо [поЧ) + 2 з!по — ' по(поЧ), (3) 2 что представляет закон преобразования вектора при повороте системы координат на угол фо.
В частности, прн по = (О, О, 1) г (поворот относительно оси з) из (3) следует У = 1' и г Р У„=созфо '1»»+з!пфо Уа, Ун= — з!пфа У»+созфо ° Уж 5.8. Выражение АпрВтз можно рассматривать как матрицу ') Мпз(у, () ), завнсяшую от В и у как от параметров, и записать ее в виде з Мпз(у, Р) ~', Со(у, В) (о!)пж !=о ') Т. е. положить М Е(Ъ |!) = .4 В З. пб тз' 301 где значения С~(у, В) определяются результатом 5А. Точно так же можно разложить и С~(у, О). Таким образом приходим к соотношениям з А„рВтз = 2„С>а (а>)па (аь)тй, >, а=о 1 с>ь = хэ (6>)ап (аа)рт АпаВте.
орта Используя (1), нетрудно получить з) (Чг!т) ) Ф(0) (Ф!т) ( Чг(>)) = — ((Ч!э> ) Ч('>) (Ф !э> ) Ф>'>) + (Ч!т> ( а ( Ч(") (Ф!т> ( а ! Ф 1' >)), (Чг!х>(а ) Ф!») (Ф(т)(а) Чгй)) = = ! (3(Ч ! > (Ч ! >)(Ф!т) (Фи>) — (Ч«т) ) а(чг('))(Ф!э)) а) Ф!пД (обратить внимание на скалярньсй характер всех фигурирующих в этих соотношениях матричных элементов, см. в связи с этим 5.7) . 5.9. Внд искомых операторов непосредственно следует из результата 1.35: Р я (>~а)/2 и Ра еИз — — (!~па))2, здесь пз = 1.
Подействовав оператором Р >>х на пронзвольап ную спинозу>о функцию Ч', получаем с.ф. оператора Яп, отвечающу1о с.з. зп — — 1/2. Выбрав для простоты вычислений Чг Г 1'\ имеем (,О,) С - /1~ У- (О>'2) Чг ->>з = СР, >>зЧг = — (! + па)~ зп зп 2 е э з>п (О)2) / здесь О, ~р — полярный и азнмутальный углы направления п, а значение С = соз '(О/2) выбрано для нормировки спинозой функции на 1; сравнить с 5,3.
5.10. Внд спиновых функций для 8 = 1 и 8, = ~1 очевиден: э) Подчеркнем, что здесь индексы 1 и 2 нумеруют различные спнноры, а не различные компоненты одной н той же спинозой функции! 302 1 3.12. 1) Так как Зз= — (и, +аз)з, то и,п, — 3+)'= О) 4 с. ф. оператора Зз являются также собственными функциями н оператора а,п„отвечающими с. з., равным — 3 (при 5 = О) и +1 (при 5 = !). 2) Так как у эрмнтова оператора о~аз только два разлнчных с. з., имеет место соотношение (о,оз — 1) (и,из+ 3) = 0 (сравнить с !.21); отсюда (о1оз)з = 3 — 2а,йз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
