Galitskii-1992 (1185113), страница 51
Текст из файла (страница 51)
н. Р. Х„ т Ел г со г, а пРи его наличии Х„>ыЕ„гаэсопз1, где <о> <о> /<л(г) определяется (1). Умножая первое из уравнений (2) на Х„ а втоРое — на Хл, почлеино вычитаЯ и интегРиРУЯ по <о> в пределах от г = 0 до г = ос, получаем [Хл Хл Хл Хл[ [ = аЕл ~ Хв (") Хл ( ) дг. (3) о Левая часть здесь равна и Ел (О)/2гпао. В правой части можно т <о>т заменить Х„(г) на Хл (г) (такаЯ замена не опРавдана пРи ма<о> лых г, но эта область не вносит существенного вклада в значение интеграла), так что интеграл приближенно равен единице.
Таким образом, из (3) следует искомое выражение для сдвига уровня: бз/(<о> т (0) йз ЬЕ яе = 2х — (Ч'лф (О)) ао. 2тае (4) /(л<>=ц/2/а (з!их~~>г)/г яе ц/2/а х<о>, г+о где х<о> х(п +!)/а (не путать радиус ямы а с длиной рассеяния аз!) и ЬЕл ям й х<о> ~>/тано = 2Е~п~~аоа что прн хл К)ао! совпадает с результатом точного решения. <о> Последнее неравенство, как нетрудно заметить, соответствует условию применимости )аеЦ ~1 формулы (4).
4.36. Применимость формулы (4) предыдущей задачи предполагает, что сдвиг уровня мал по сравнению с энергией связи частицы. Однако если невозмущеяное состояние имеет аномально малую энергию, то она допускает простое обобщение и на случай, когда сдвиг сравним с энергией связи. Это обобщение может быть получено непосредственно из формулы (3) из 4.29, если учесть следующие обстоятельства.
10» Здесь ае — 1/ае — длина рассеяния на и. н, р. (см, 13.20). Отметим, что приближение (4) для сдвига уровня называют формулой теории вовлуи<ений по длине рассеяния. Эта формула применима и в случае нецентральных потенциалов (/(г), см. 4.31, а также 8.61. Рассмотрим применение формулы (4) в условиях задачи 4.1!. Прн этом Во-первых, в. ф. невозмущенного состояния в ноле (/(г) е малой энергией связи просто связана с в.ф.
Р~(1(г) в момент появления уровня (при Е = О, сравнить с 4.27): — -х( )г ю"'-;6."' в" ( > ' ю' / ю Ж7ют щ Во-вторых, совершенно аналогична, в. ф. состояния, возмущенного и. н. р., при г)~ Е имеет вид Л„т а/2х„ /г(а1(г) е ", х„= ау — 2тЕю/3М (2) (в.ф. (1) и (2) нормированы на единицу). С учетом (1) и (2) из выражения (3) предыдущей задачи находим (у = г/г) Ел Ел — а з (а) = — (Е„''(о)) хаю! + х„2таа (3) т Г! юуа (г, Ею) = Са0ю (г, 0; Ел) = Сл —, ~ — + А (Еа) + ".~ (!) 2пйз 1, Сю — нормировочный коэффициент (при этом существенно огра. ничение г(/(г)ю-0 при г-~0 на потенциал; иначе указанное разложение не справедливо, сравнить с 4.19, и переход к прибли.
жению п. н. р. невозможен). Сравнив разложение (1) с выраже. нием, определяющим п. н.р., см. 4.10, получаем уравнение для спектра уровней (2) А (Еа) = — пю которое эквивалентно приведенному в услонии задачи. ') Заметим, что в зависимости от велячины и знака сю„ под влиянием п. н. р. виртуальный уровень в потенциале (/(г) может стать реальным или, наоборот, реальный уровень может превратиться в виртуальный. (при вычислении интеграла следует учесть, что его значение определяется, в основном, областью больших г, где подынтегральная функция свекр(-(ха+ х( 1)г)). Отсюда и следует приведенное в условии выражение для энергии уровня; при этом При х~„1лю ~ Ра(1 (0)/па~ сдвиг уровня мал н полученный результат персходнт в 4.29. Отметим в заключение, что рассматриваемое состояние является истинно свнзанным лишь прн х, ) О, в противном случае уровень является виртуальным '). 4.31.
Имея в виду уравнение для функции Грина, ее убы. ванне при г — ю.аю и поведение юю1/г при г-юО, замечаем, что в. ф. связанного состояния в потенпиале У(г) при наличии п. н.р. имеет вид В случае большого значения аэ (в пределе пч -ео) норнн уравнения (2) близки к значениям Егв), являющимся полюсами функции Грина н отвечающим спектру в изолированном потеншнале У(г). Имея в виду выражение для функции Грина -Х Ч'1 1 (г) Ч'1о1 ' (г') аэ (г, г', Е) = Е)о) — Е м эг (3) замечаем, что прн г' = О, г-г.О и Е-ь Е1 1 1о> !т<е)(О) /т Уэ (г, 0; Е„) ж — т ° — + 2яйт г Е о) Еэ (4) Отсюда А(Е ) ш 2яй~~ Ч'(е)(0) )~/т (ЕГэф — Ее/, и из (2) .приведенное в условии выражение для сдвига уровня Еэ Еэ .
1е1 4.32. Указанная в. ф. удовлетворяет уравнению — (2т/й ) У)(о — — 0 с потенциалом следует ЬЕл = йУ э(э=им — "~" ч( — '(ч-и~ ~) л 2 2.У() !Й! и а,) 2' о (2) При этом, записав У(г) = 0(г)+ 6У(г), замечаем, что 6У(г) >О, так что потенциальная яма У(г) мельче, чем У(г). Отсюда и следует утверждение задачи.
Для прямоугольной потенциальной ямы глубины У, и ширины а рассматриваемое необходимое условие принимает вид 4/э ~ Дтпэ/8~паз, что совпадает с точным условием существования связанных состояний. Для экспоневцнальной ямы, У = = — Уэе-'т', получаем татУэ/йт ) йт/32яз0,31, сравнить с 4.21. 4.33. У. Ш, в двумерном случае для состояний с т = 0 ж энергией Е о имеет вид (р — масса частицы) л ,(з 1 б 20 — + — — + — /Е о — У (Р))1Чг 0(Р) = О.
(1) бр р Фр й "о ее ') Это соотношение обеспечивает выполнение граничного УсловиЯ Ул(0)= 0; об Условии нв бесконечНости см. 4,26. и отвечает условию появления связанного состояния в таком по- тенциале в случает) а) Решение уравнения (1) для 6-потенциала при Е„в —— "о — йохо/2по <О, ограниченное в нуле и равное нулю на бесконечности, имеет вид: Ч'(р) со1о(хр) при р ( а и Ч' = соКо(хр) при р ~ а (Ко — функция Макдональда).
Условия сшивания решения в точке р = а, такие же как и в 2.6, приводят к соот- ношению х ~Ко (х) /о (х) — Ко (х) /о (4 - — (2раа/й') Ко (х) /о (х), (2) х = ха, определяющему спектр. Используя значение вронскиана Яу(1о(х), Ко(х)) = — 1/х, запишем (2) в виде Ко (ха) 1о (ха) = 1/к, $ — = 2раа/йо. (3) Рассмотрим сначала случае, когда уровень имеет малую. энергию (ха«1). Используя аснмптотнкн 1о(г] гз1+ г'/4 и Ко(г) го!п(2/уг) при г-ьО, имеем о) нз (3) !и (2/хуа) лз!/3, или Е,о гз — (23 /ру а ) е ~/1, (4) с/ (йр), р<а, грл о(Р) о , „р ) а х= оу/ — 2рЕл ог/й р г (6) г Из непрерывности Чг о и Чгл о при Р = а следует ло ло х/о(йа) Ко(ха) = й/о(йа) Ко(ха), (6) что является уравнением для спектра уровней с т = О.
В случае мелкой ямы, и = рао(/о/йо«1, аргументы цилиндрических функций в (6) малы. Так как /о (х) ~ 1, /о (х) ов — х/2, Ко (х) ж !и (2/ух), Ко (х) ом — 1/х при х«1, то уравнение (6) принимает внд (о — !о,!! 'о '~ он~ч 'о,,! ~. оо ') Здесь у = 1,731... — постоянная Эйлера. причем к«1, т. е. уровень с малой энергией связи может быть только в случае мелкой ямы. Это означает, что в б-яме имеется только одни уровень (с т = О), как н в одномерном случае.
С увеличением а уровень понижается н прн К.Ь 1 его энергия Еюлз †р/23о, что легко получить нз (3), если воспользоваться аснмптотиками Ко(г) и 1о(г) при г-ьоо. б) Решение уравнения (!) для прямоугольной потенциальной ямы имеет вид Это уравнение имеет только один корень 23 / 23 х 2У Еао Рз — — ехр 1Ч вЂ” — ) = — — з ехр ( — 2/а), (8) рузпз )ч и зУэ ) узй и) В случае У = — а/р уравнение (1) имеет такой же внд, иак и уравнение (1Ч,б), отличаясь от последнего лишь заменой 2+ 1/2 на !т). Соответственно, используя известное выражение для уровней энергии в кулоновском трехмерном потенциале и заменяя в нем 1+1/2 на )т), находим Е раэ ар 1 м ! 282 (л + ) ш ) + !/2)з (2) Отсюда видно, что в двумерном поле У вЂ” а/р, как н в трехмерном У = — а/г, имеет место случайное вырождение, так как энергия зависит только от комбинации лр + (т ( квантовых чиоел иэ н пь Если ввести квантовое число Яг = пр + (т ( + 1 (аналог главного квантового числа л в кулоновском поле), то выражение (2) можно записать в виде Ем = — Ра'/2Я'(Ч вЂ” 1/2)з; Дг = 1, 2, ...
(3) Этот уровень имеет кратность вырождения л(Я!) = 2М вЂ” 1. б) Решение уравнения (1) з случае бесконечно глубокой потенциальной ямы при р ( и, ограниченное в нуле, имеет жид где к =,~/2РЕ„1 м 1/Яз Р мл 1лч1 = с/! т1(кр) 'При этом условие обращения в.ф. в нуль на стенке ямы определяет спектр Еа 1 м 1 — — Я ах „ !, /2рах, 2 2 Р в (4) кде аь ) 0 — Я-й нуль функции Бесселя / (а) (в порядке возРастании а*я). В частности, Учитываа значенин а„аз 2,40 и 295 который легко найти, если заметить, что из (7) следует ~ Е„о ~ а.
Р «У, н пйенебйечь (Е„э~ по сйавненню с Уо. Р Таким образом, в мелкой двумерной яме, как и в (симметричной) одномерной всегда имеется одно связанное состояние, Однако теперь глубина залегания уровня, как видно нз (4) и (8), мала по сравнени!о с глубиной ямы уже зкспоненцнально. 4.34. У. Ш, принимает внд (Ч'„= Еа 1 )е ~ч/Ч/2я ) Р Р г(з 1 с! шз 2р — у.
+ — — — — з+ яз (Еа 1,„1 — У (Р)) ) Лз 1,„! (Р) = О. (1) ап ы3 83, находим энергии основного уровня Еюж2,888з/Рпн (длн него пт = 0) н Ез~шу,338з/раз — самого нижнего уровни с )щ) 1. Отметим, наконец, что уровни, отвечающие т = О, являются невырожденными, а для )т) ФΠ— двукратно вырожденными.
4.33. Функция Грина удовлетворяет уравнению йз — — (Ь вЂ” н') 0 (р, р') = 6 (р — р') 2р и (1У (н = Ч/ — 2РЕ/йз > О). Из соображений симметрии представляется очевидным, что она является функцией вида Оз(р,р )= = /()р — р')). Прн этом уравнение (!) при р Ф р' н его решение имеют внд ( Ыз 1 Н вЂ” + — — — н'1/ (Р) = О, /(р) = сКе (нр), (2) бр Р пр где К,(з) — функция Макдональда (второе независимое решение, з / з(нр), экспоненцнально растет при р -» со). Для определенна с проинтегрируем обе части уравнения (1) по кругу малого радиуса е с пентром в точке р = р', Прн этом в правой части получаем единицу. Интегрирование второго слагаемого в левой части (с н') дает нуль при е -» О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
