Galitskii-1992 (1185113), страница 51

Файл №1185113 Galitskii-1992 (Галицкий В.М. Задачи по квантовой механике) 51 страницаGalitskii-1992 (1185113) страница 512020-08-21СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

н. Р. Х„ т Ел г со г, а пРи его наличии Х„>ыЕ„гаэсопз1, где <о> <о> /<л(г) определяется (1). Умножая первое из уравнений (2) на Х„ а втоРое — на Хл, почлеино вычитаЯ и интегРиРУЯ по <о> в пределах от г = 0 до г = ос, получаем [Хл Хл Хл Хл[ [ = аЕл ~ Хв (") Хл ( ) дг. (3) о Левая часть здесь равна и Ел (О)/2гпао. В правой части можно т <о>т заменить Х„(г) на Хл (г) (такаЯ замена не опРавдана пРи ма<о> лых г, но эта область не вносит существенного вклада в значение интеграла), так что интеграл приближенно равен единице.

Таким образом, из (3) следует искомое выражение для сдвига уровня: бз/(<о> т (0) йз ЬЕ яе = 2х — (Ч'лф (О)) ао. 2тае (4) /(л<>=ц/2/а (з!их~~>г)/г яе ц/2/а х<о>, г+о где х<о> х(п +!)/а (не путать радиус ямы а с длиной рассеяния аз!) и ЬЕл ям й х<о> ~>/тано = 2Е~п~~аоа что прн хл К)ао! совпадает с результатом точного решения. <о> Последнее неравенство, как нетрудно заметить, соответствует условию применимости )аеЦ ~1 формулы (4).

4.36. Применимость формулы (4) предыдущей задачи предполагает, что сдвиг уровня мал по сравнению с энергией связи частицы. Однако если невозмущеяное состояние имеет аномально малую энергию, то она допускает простое обобщение и на случай, когда сдвиг сравним с энергией связи. Это обобщение может быть получено непосредственно из формулы (3) из 4.29, если учесть следующие обстоятельства.

10» Здесь ае — 1/ае — длина рассеяния на и. н, р. (см, 13.20). Отметим, что приближение (4) для сдвига уровня называют формулой теории вовлуи<ений по длине рассеяния. Эта формула применима и в случае нецентральных потенциалов (/(г), см. 4.31, а также 8.61. Рассмотрим применение формулы (4) в условиях задачи 4.1!. Прн этом Во-первых, в. ф. невозмущенного состояния в ноле (/(г) е малой энергией связи просто связана с в.ф.

Р~(1(г) в момент появления уровня (при Е = О, сравнить с 4.27): — -х( )г ю"'-;6."' в" ( > ' ю' / ю Ж7ют щ Во-вторых, совершенно аналогична, в. ф. состояния, возмущенного и. н. р., при г)~ Е имеет вид Л„т а/2х„ /г(а1(г) е ", х„= ау — 2тЕю/3М (2) (в.ф. (1) и (2) нормированы на единицу). С учетом (1) и (2) из выражения (3) предыдущей задачи находим (у = г/г) Ел Ел — а з (а) = — (Е„''(о)) хаю! + х„2таа (3) т Г! юуа (г, Ею) = Са0ю (г, 0; Ел) = Сл —, ~ — + А (Еа) + ".~ (!) 2пйз 1, Сю — нормировочный коэффициент (при этом существенно огра. ничение г(/(г)ю-0 при г-~0 на потенциал; иначе указанное разложение не справедливо, сравнить с 4.19, и переход к прибли.

жению п. н. р. невозможен). Сравнив разложение (1) с выраже. нием, определяющим п. н.р., см. 4.10, получаем уравнение для спектра уровней (2) А (Еа) = — пю которое эквивалентно приведенному в услонии задачи. ') Заметим, что в зависимости от велячины и знака сю„ под влиянием п. н. р. виртуальный уровень в потенциале (/(г) может стать реальным или, наоборот, реальный уровень может превратиться в виртуальный. (при вычислении интеграла следует учесть, что его значение определяется, в основном, областью больших г, где подынтегральная функция свекр(-(ха+ х( 1)г)). Отсюда и следует приведенное в условии выражение для энергии уровня; при этом При х~„1лю ~ Ра(1 (0)/па~ сдвиг уровня мал н полученный результат персходнт в 4.29. Отметим в заключение, что рассматриваемое состояние является истинно свнзанным лишь прн х, ) О, в противном случае уровень является виртуальным '). 4.31.

Имея в виду уравнение для функции Грина, ее убы. ванне при г — ю.аю и поведение юю1/г при г-юО, замечаем, что в. ф. связанного состояния в потенпиале У(г) при наличии п. н.р. имеет вид В случае большого значения аэ (в пределе пч -ео) норнн уравнения (2) близки к значениям Егв), являющимся полюсами функции Грина н отвечающим спектру в изолированном потеншнале У(г). Имея в виду выражение для функции Грина -Х Ч'1 1 (г) Ч'1о1 ' (г') аэ (г, г', Е) = Е)о) — Е м эг (3) замечаем, что прн г' = О, г-г.О и Е-ь Е1 1 1о> !т<е)(О) /т Уэ (г, 0; Е„) ж — т ° — + 2яйт г Е о) Еэ (4) Отсюда А(Е ) ш 2яй~~ Ч'(е)(0) )~/т (ЕГэф — Ее/, и из (2) .приведенное в условии выражение для сдвига уровня Еэ Еэ .

1е1 4.32. Указанная в. ф. удовлетворяет уравнению — (2т/й ) У)(о — — 0 с потенциалом следует ЬЕл = йУ э(э=им — "~" ч( — '(ч-и~ ~) л 2 2.У() !Й! и а,) 2' о (2) При этом, записав У(г) = 0(г)+ 6У(г), замечаем, что 6У(г) >О, так что потенциальная яма У(г) мельче, чем У(г). Отсюда и следует утверждение задачи.

Для прямоугольной потенциальной ямы глубины У, и ширины а рассматриваемое необходимое условие принимает вид 4/э ~ Дтпэ/8~паз, что совпадает с точным условием существования связанных состояний. Для экспоневцнальной ямы, У = = — Уэе-'т', получаем татУэ/йт ) йт/32яз0,31, сравнить с 4.21. 4.33. У. Ш, в двумерном случае для состояний с т = 0 ж энергией Е о имеет вид (р — масса частицы) л ,(з 1 б 20 — + — — + — /Е о — У (Р))1Чг 0(Р) = О.

(1) бр р Фр й "о ее ') Это соотношение обеспечивает выполнение граничного УсловиЯ Ул(0)= 0; об Условии нв бесконечНости см. 4,26. и отвечает условию появления связанного состояния в таком по- тенциале в случает) а) Решение уравнения (1) для 6-потенциала при Е„в —— "о — йохо/2по <О, ограниченное в нуле и равное нулю на бесконечности, имеет вид: Ч'(р) со1о(хр) при р ( а и Ч' = соКо(хр) при р ~ а (Ко — функция Макдональда).

Условия сшивания решения в точке р = а, такие же как и в 2.6, приводят к соот- ношению х ~Ко (х) /о (х) — Ко (х) /о (4 - — (2раа/й') Ко (х) /о (х), (2) х = ха, определяющему спектр. Используя значение вронскиана Яу(1о(х), Ко(х)) = — 1/х, запишем (2) в виде Ко (ха) 1о (ха) = 1/к, $ — = 2раа/йо. (3) Рассмотрим сначала случае, когда уровень имеет малую. энергию (ха«1). Используя аснмптотнкн 1о(г] гз1+ г'/4 и Ко(г) го!п(2/уг) при г-ьО, имеем о) нз (3) !и (2/хуа) лз!/3, или Е,о гз — (23 /ру а ) е ~/1, (4) с/ (йр), р<а, грл о(Р) о , „р ) а х= оу/ — 2рЕл ог/й р г (6) г Из непрерывности Чг о и Чгл о при Р = а следует ло ло х/о(йа) Ко(ха) = й/о(йа) Ко(ха), (6) что является уравнением для спектра уровней с т = О.

В случае мелкой ямы, и = рао(/о/йо«1, аргументы цилиндрических функций в (6) малы. Так как /о (х) ~ 1, /о (х) ов — х/2, Ко (х) ж !и (2/ух), Ко (х) ом — 1/х при х«1, то уравнение (6) принимает внд (о — !о,!! 'о '~ он~ч 'о,,! ~. оо ') Здесь у = 1,731... — постоянная Эйлера. причем к«1, т. е. уровень с малой энергией связи может быть только в случае мелкой ямы. Это означает, что в б-яме имеется только одни уровень (с т = О), как н в одномерном случае.

С увеличением а уровень понижается н прн К.Ь 1 его энергия Еюлз †р/23о, что легко получить нз (3), если воспользоваться аснмптотиками Ко(г) и 1о(г) при г-ьоо. б) Решение уравнения (!) для прямоугольной потенциальной ямы имеет вид Это уравнение имеет только один корень 23 / 23 х 2У Еао Рз — — ехр 1Ч вЂ” — ) = — — з ехр ( — 2/а), (8) рузпз )ч и зУэ ) узй и) В случае У = — а/р уравнение (1) имеет такой же внд, иак и уравнение (1Ч,б), отличаясь от последнего лишь заменой 2+ 1/2 на !т). Соответственно, используя известное выражение для уровней энергии в кулоновском трехмерном потенциале и заменяя в нем 1+1/2 на )т), находим Е раэ ар 1 м ! 282 (л + ) ш ) + !/2)з (2) Отсюда видно, что в двумерном поле У вЂ” а/р, как н в трехмерном У = — а/г, имеет место случайное вырождение, так как энергия зависит только от комбинации лр + (т ( квантовых чиоел иэ н пь Если ввести квантовое число Яг = пр + (т ( + 1 (аналог главного квантового числа л в кулоновском поле), то выражение (2) можно записать в виде Ем = — Ра'/2Я'(Ч вЂ” 1/2)з; Дг = 1, 2, ...

(3) Этот уровень имеет кратность вырождения л(Я!) = 2М вЂ” 1. б) Решение уравнения (1) з случае бесконечно глубокой потенциальной ямы при р ( и, ограниченное в нуле, имеет жид где к =,~/2РЕ„1 м 1/Яз Р мл 1лч1 = с/! т1(кр) 'При этом условие обращения в.ф. в нуль на стенке ямы определяет спектр Еа 1 м 1 — — Я ах „ !, /2рах, 2 2 Р в (4) кде аь ) 0 — Я-й нуль функции Бесселя / (а) (в порядке возРастании а*я). В частности, Учитываа значенин а„аз 2,40 и 295 который легко найти, если заметить, что из (7) следует ~ Е„о ~ а.

Р «У, н пйенебйечь (Е„э~ по сйавненню с Уо. Р Таким образом, в мелкой двумерной яме, как и в (симметричной) одномерной всегда имеется одно связанное состояние, Однако теперь глубина залегания уровня, как видно нз (4) и (8), мала по сравнени!о с глубиной ямы уже зкспоненцнально. 4.34. У. Ш, принимает внд (Ч'„= Еа 1 )е ~ч/Ч/2я ) Р Р г(з 1 с! шз 2р — у.

+ — — — — з+ яз (Еа 1,„1 — У (Р)) ) Лз 1,„! (Р) = О. (1) ап ы3 83, находим энергии основного уровня Еюж2,888з/Рпн (длн него пт = 0) н Ез~шу,338з/раз — самого нижнего уровни с )щ) 1. Отметим, наконец, что уровни, отвечающие т = О, являются невырожденными, а для )т) ФΠ— двукратно вырожденными.

4.33. Функция Грина удовлетворяет уравнению йз — — (Ь вЂ” н') 0 (р, р') = 6 (р — р') 2р и (1У (н = Ч/ — 2РЕ/йз > О). Из соображений симметрии представляется очевидным, что она является функцией вида Оз(р,р )= = /()р — р')). Прн этом уравнение (!) при р Ф р' н его решение имеют внд ( Ыз 1 Н вЂ” + — — — н'1/ (Р) = О, /(р) = сКе (нр), (2) бр Р пр где К,(з) — функция Макдональда (второе независимое решение, з / з(нр), экспоненцнально растет при р -» со). Для определенна с проинтегрируем обе части уравнения (1) по кругу малого радиуса е с пентром в точке р = р', Прн этом в правой части получаем единицу. Интегрирование второго слагаемого в левой части (с н') дает нуль при е -» О.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
7,72 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6432
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее