Galitskii-1992 (1185113), страница 50
Текст из файла (страница 50)
с Е = О, которое является ограниченным прн конечных значениях г и имеет прн г †»оь асимптотику Чг(г) ск С/г (при произвольных параметрах потенциала ту А + С/г прн г -» ос). Рассмотрим решения у.Ш., удовлетворяющие таким условиям. а) Уравнение (!У.2) для (! = — и/г' при ! = 0 и Е = 0 заменой переменной х = 1/г приводится к виду В силу условия )((г 0)= ш(х = 0) О, его решение следует выбрать в виде ш = Си!п $х, или Ч' = С 1/11+ аз/г з)п (я агс!и (г/а)). (3) Прн г- со имеем агс(пг/а яа и/2 — а/г, так что Ч' — С [з!п (п$/2) — (а туг) соз (пй/2)), и условие на асимптотику ('р со 1/г), требующее, чтобы з1п(п5/2) = О, приводит к искомому соотношению 8/2 = М (в.
ф. (3) при этом имеет ()Р— !) нулей при конечных г) Для потенциалов из г) и д) решение уравнения (1Н. 5) при ! = 0 и Е = 0 согласно (Д2.1!) выражается через цилиндрические функции. Приведем лишь ответы (в инк х есть !Н-й по счету нуль функции Бесселя У«(х), не считая нуля при х = О): г) 2 ' 2ща ч!/з — [ — ) =х, « = 1У(з — 2) з 2 [ дз «-з ) «и' (4) (при з = 4 имеем « = 1/2 и (4) совпадает с (2)); при этом в.ф. в момент появления уровня имеет вид Чг = СУ«(Ог Ы «)/Нг (при г > а), где р = «Ч/8щп/Лг", Чг = 0 при г < а.
д) 2 (ч+!) (2лгаа зй )О = х, ч = — 1+ 1/(2 — з), (5) а в, ф. в момент появления уровня: Ч'=СУ .~~ 9гы 1««'1)/)/г ври г < а и Ч'= С ~/а У«~.~(раиэ!«тц)/г при г ) а! здесь 8 = = («+ 1) )/8шп/Дз. В случае з = ! («обрезанныйэ кулоновскнй потенциал) из (5) следует: таа/8 =зол/8. Имея в виду значение хм ж2,40 2 2 первого нуля функции Бесселя У«(х), находим условие существования связаннык состояний в таком потенциале: тгга/дз ) ) 0,72.
4.26. Условию появления нового связанного состояняя с моментом ! отвечает существование решения у.Ш. с Е = О, радиальная функция которого имеет при г -» ао асимптотику )г яэ жСг-' — ' (в общем случае )гжАг'+ Сг '-'), сравнить с 425. При этом в случае ! ~ 0 в. ф. в момент появления уровня нормируема на 1, т.
е, отвечает истинно связанному состоянию. а) Радиальная н. ф, в момент появления уровня (т. е. при Е = 0) согласно (1Н. 5) имеет вид )( = Агьы при г < а и д = = Сг-' при г ) а. Сшивание решения в точке г = а согласно 2.8 дает: С = Аазьы и 2тсга/да =(2!+1), что и определяет условие появления единственного дискретного уровня с момен- 286 том 1 при углублении 6-ямы. Отметим, что для нормировки в.ф.
в момент возникновения уровня с (чь О на ! следует выбрать Сх = А асптз = [(21 — !) (21+ 3)/2 (21+ !)) аз! б) Уравнение (1Ч.2) для (У = — а/гз при Е = О заменой переменной х = 1/г приводится к виду (г(з/г(хз+ а — 1(1+ !)/хз) Р = О, а = 2та/й' (1) Его Решение Р = Ц/х У! „!1т (ц/а х), или Д = У! „!уз(Ц/а/г)Ц/г, дает для г ) а радиальную в. ф. в момент появления уровня; при этом условие )1(а) = О приводит к соотношению ц/а /а = = хг+!(т гг, определяющему условие существования такого уровня, здесь хг-пз э — Е-й нуль функцнв Бесселя Уюпэ(х), не считая х=й.
4.27. Запишем у. Ш. (1Ч. 5) в потенциале (1«(г) при Е = О и в погенцнале О«+ 60 прн энергии 6Е« = — Лзн'/2«ь — Х,",+О,(.) Х,=О, — Ха+(й,(г)+бй(г)+н') Х=О (!) (() = 2т0/Л'). Умножив первое из них на Х(г), а второе— на Х«(г) и почленпо вычтя, получаем (уох — ХсХ) = (йй/ (г) + н ) ХХо (2) Проинтегрируем теперь (2) по г в пределах от г=О до г=а, где а — радиус потенциалов (У«(г) и 6(У (г). Учитывая, что !) Хо (О) = Х (О) = О! 2) Хо (а) = ! и Х, (а) = О; 3) Х (г) = Хз (г) при г и а (это условие фактически определяет нормировку в. ф. Х(г), нормировка же функции Ха(г) определяется ес асимптотикои: Х«(г) = ! при г) а), при этом Х(а)яке «ез 1 и Х'(а) ен ж — не н« яз — н, в результате интегрирования получаем « « — н = ~ х (г) х«(г) бй (г) бг + н' ~ х (г) х, (г) г( .
(3) о в В первом из интегралов в (3) можно положить Хязх«и затем устремить а -ь «о. Второе же слагаемое справа, оэ нз, можно опустить (оно мало по сравнению с н в левой части). Таким образом находим н ~ (-йй) Х (г)бг, о а с ним н выражение для сдвига уровня, приведенное в условии задачи. Для Ь-потеяциала уровень с Е = 0 возникает при значении а ао таком, что таоо/йо = 1/2, см., например, 4.26. Прн этом в. ф.
в момент возникновения уровня имеет вид: Хо — — ! при г ) а и Хо —— г/а при г ( и, а ЬУ = †(а — ао)Ь(г — и). Соответственно сдвиг уровня при малом а — ао .л 0 равен 2 ЬЕ ив — — 1 ЬУХодг — — (а — а та о до~1 йо( е) Ь что совпадает с результатом точного решения, см.
4 За). В заключение приведем епге адин вывод формулы для сдвига уровня, основанный на соотношении (1. 0). Для этого запишем потенциал в виде У(г) = У,(г)+ ЛЬУ(г), где Л ) О. При этом энергия уровня ЬЕо(Л) ~ — Л'но/2т также зависит от Л, прячем ЬЕо(Л = 0)= О.
Согласно (1. б) имеем — ЬЕ (Л) = $ ЬУ (г) Х„',(г, Л) дг, дЛ о о (4) где Х,(г; Л) — нормированная на единицу в.ф. Эта функция просто связана с Хо(г): хо (г; Л) С (н) е хо (г). — ЬЕ (Л) ~ — — — яа 2н ) ЬУ (г) х (г) дг. д йо дн 2 дЛ о т дЛ о Интегрируя это соотношение (н(Л = 0) =0), находим н(Л) = — —,Л ~ ЬУ(г) хо(г) дг. 2т 2 йт о Отсюда при Л = 1 и следует выражение для сдвига уровня. 4.2В. Задача решается аналотячно предыдущей, Хотя теперь уравнения (1) этой задачи изменяются за счет членов с центробежной энергией, соотношение (2) сохраняется и при 1Ф О. Действительно, прн г(а функция Хо(г,Л) лишь множителем отличается от Хо(г) (при этом е " т 1), а при г ) 0 имеем Хо (г; Л) С (н) е ' (прн этом Хо(г) = 1).
Для нормировки в.ф. у,(г; Л) следует выбрать Сз(н) яа 2н (доминируюшую роль в нормировочном интегралеиграетобласть г 1(н 2> а,в которой Хо (г, Л) = С (н) е™). С учетом сказанного (4) принимает внд Проинтегрировав это соотношение цо г в пределах от О до ео, получаем 00 >(г(г)2> (г)ОУ(г)пгч-н ~ >(г(г) >(г (г)лг О. (!) е а В существенной прн интегрировании в (1) области г-и имеем >(г яэ х! > (прн ! = О во втором интеграле такая замена не ю> оправдана из-за возникающей расходимостн). Прн этом, имея в виду нормировку ~ >(~> Йг=! для в. ф.
>(~~~, сразу находим значение кз, воспроизводящее приведенное в условии задачи выражение для сдвига уровня. Отметвм, что различие законов углубления уровней под влияняем возмущенна: ОЕ со ЬУ при ! Ф О и бЕ со — (бУ)э при ! = О отражают то обстоятельство, что при ! ~ О состояние с Е = О является истинно связанным состоянием и ему отвечает нормируемая на 1 в. фн в случае же ! = О зто не так— в. ф.
ненормирусма. Физическая причина такого различия связана с наличием центробежного барьера, препятствующего «уходу» частицы не бесконечность. Для б.потенциала в момент возникновения единственного уровня (с данным !) имеем 2п>а«а/Дэ =(21+ 1), см. 4.2б; там же приведена нормированная в. ф. в момент вознинновения урания. При этом бУ = — (сг — а«)б(г — а) и энергия уровня при малом (а — гт«) ) О оказывается равной ( г !о>тз„(21 — 1) (21+ 3) (ц — ао) о что совпадает с результатом точного решения, см. 4.9а).
В заключение отметим, что при 1 чь О выражение для сдвига уровня имеет вид формулы теории возмущений 1-го порядка по взаимодействию бУ(г), см. («И1. 1). Отметим также еще один простой вывод выражения для сдвига уровня, основанный на использовании соотношения (4) нз предыдущей задачи. Так как при ! чь О в.ф. >1!! (г) нормирована на 1, то в области г ~ и, (о> вносящей основной вклад в значение интеграла в указанном соотношении, можно положить тг (г; >ь) яэ >(г (г) (сравнить с <о> 1 = О, когда функции 2«(г; >,) и >(«(г) имеют различную нормировку!). При этом соотношение (4) нз 4.27 сразу приводит к выражению для сдвига уровня. 4.29. Под влиянием п.н.р.
происходит сдвиг лишь з-уровней. Нормированная радиальная в. ф, невозмущенного состояния 299 1О В. М. Г«лиакнв н хю при малых г имеет вид гс(а!(г) иэ /г(а)(0). Обозначим через Ь расстояние, на котором еще можно считать функцию /сэф)(г) постоянной (значение Ь зависит от конкретного вида У(г) и энергии УРовнЯ Еп(Ю). ПРи наличии п. н. Р. РаДиальнаЯ фУнкЦиЯ согласно 4.10 при малых г ведет себя следующим образом' ): К„(г) Кэ(1(0) ! — !/и г+ 1+ ...) от Ей!(г) при г — 1.0 за счет члена оо 1/г.
Однако если ) а,Ц»1, то при г Ь функция )1 (г) уже мало отличается от гг!о! (г) (рис. 32). Это означает, что в такой си) туации сдвиг уровня под влиянием п.н.р. мала), а в.ф. Еч и мало отличаются друг от друга при всех г ~~ Ь (имеино эта область вносит доминирующий вклад в аормировочный интеграл). сдвига уровня поступим следующим обраИ1.
(!э'.5): и сильно отличается Я ам я'Ь Рис. 32 Для нахождения зом. Напишем два у. Х(о! +(Е~ и У (г)) Х! ! 0 — Хэ + (Еэф)+ ЛЕа У (г)) Хп = 0 (2) з) Предполагается, что гУ(г)-ьО при г-ь О. Для более сингулярных потенциалов асимптотика (1) модифицируется (сравнить с 4.19) и граничное условие из 4.10, определяющее п. и. р., уже не может быть реализовано. В частности, оказывается несостоятельным моделирование потенциалом нулевого радиуса сильного короткодействующего потенциала при существовании на малых расстояниях кулоновского взаимодействия (хотя формула теории возмущений по длине рассеяния остается справедливой). ') Заметим, что график на рис.
32 отвечает значению ач > О, когда в п. н. р. имеется уровень д. с. с энергией Ез —— — й ао/2лт, !о! з з прнчем )Е!о)~» /Е!о1~ йз/таз, При наругоении условия а,Ь»1 энергия уровня в п.н.р. такого же порядка величины, как и у уровней Е„в потенциале У(г). Однако в этом случае сдвиги !о! уровней велики: сравнимы с расстоянием между ними, так что возникает перестройка спектра (см. 4.11 и 9.3); формула (4) при этом неприменима. (Х = гЕ). Хотя эти уравнения одинаковы по виду, они отличаются характером граничного условия при г-1-0: в отсутствие п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
