Galitskii-1992 (1185113), страница 45
Текст из файла (страница 45)
3.29. Возможные значения момента совокупной системы: шах()1с 1г) )лгг+тг))»«1 »«1г+1г 3 Учитывая коммутативнасть !! и !га, соотношение !. г =1, +1 +21 1 и равенство нулю средних 1 = 1я — — О в состоянии с определенйым значением 1, (см. 3.10), легко находим искомые средине: Е = Е„= О, Е, = т, + щь а также 1.г = 1, (1, + 1) + 1г (1г + 1) + 2т, т,, (1) 3.30. Рассмотрим сначала в. ф. Чгьм состояния с й = 21 и М = 21, имеющую вид Чгз! ш — — б 13 1. Она симметрична по отношению к перестановке ю! и шьз.
Точно так же симметричными являются н в.ф. состояний с ь = 21 и другими значениями М. Это следует из соотношения Чгм и-ь- = СЬ"Ч'ь, ы где ь =(1! + 1зх) — 1(7!з+ ззв) и пРн 1~ = 1з Явлаетса симметричным по отношению к перестановке переменных складываемых моментов опера~ором (матрнцей). Далее, рассмотрим состояния с М = 21 — ! и запишем самую общую в. ф. таких состояии!! в виде суммы симметричного н антисимметрнчного слагаемых Ч „,=,(б,б,,+б,,б,),1~/~+ + с, (б ,б„ , , — б .. .б ,)~ Л. Очевидно, что симметричное слагаемое здесь отвечает суммарному момекту 1.~ = 21, а антиснмметричиое — значению ьз = = 21 — 1 (если бы в первом слагаемом были представлены оба момента, то зто противоречило бы ортогональности с ф., отвечающих различным с, з,), Таким образом, в.
ф, гйп ь и ь а с нею и любая другая в. ф, отвечающая 1. = 21 — 1 (см выше), антисимметрнчна по отношению к взаимной перестановке пц и шз. Аналогично предыдущему, можно рассмотреть состояния с М = 21 — 2. Теперь в. ф. т!гч=и, включает трн независимых слагаемых, нз которых два (с т, и шь равными 1 и 1 — 2, а также с т, = юг = 1 — !) симметричны, а одно (с тоз отвечающими 1 и 1 — 2) антиснмметрично.
Антисимметричное состояипе соответствует моменту й = 21 — 1, а два симметричных— моментам 1., = 21 и 1г = 21 — 2 Продолжая такое рассмотрение дальше, можно прийти к заключению, что состояниям с 1. = 21, 21 — 2, 21 — 4, ... отвечают снмметрпчные по отношению к перестановке ш, и тз функции, а с ь = 21 — 1, 21 — 3, ..., — антнсимметричные в. ф. Установленный характер симметрии в.
ф имеет места как при целочисленных значениях 1, так и при полуце,чых, появляющихся прн рассиотренин спина частип (см. гл. 5). 3.3!. Утверждение задачи является непосредственным следствием двух обстоятельств; !) в силу определенной симметрии в. ф. Чгз н(ть тз) по отношению к пеРестановке т, и глз (см. 3.30) вероятности одного н того же значения т для обоих моментов одинаковы, т. е.
ш~(т) шз(т) и= ш(ш); 2) так как т, + тз = М, то имеет место соотношение ш,(т,) =шз(М вЂ” ш,). Отсюда и следует утверждение: шцз(т) = шп з(М вЂ” ш) 3.32. о) Прн т~ = тя = ~! момент системы ь = 2. 253 б) Прн ш, ш1, ш» = 0 (а также при ш, = О, тт = ж1) момент принимает значения: Е| = 2 и Ез = 1. Вероятности этих значений ш(2) = !/2 и ш(1) = 1/2 следуют из результата 3.29 (и из 3.30).
в) При т, = «»» = 0 момент может принимать лишь значения 2 и 0 (Е = 1 сразу исключается из условия симметричности в. ф. по отношению к перестановке т~ н ть см. 3.30). При этом нз условия Е» = бш(1 = 2) = 4 следует ш(2) = 2/3, ш (О) = 1/3. г) При т, = — т» = ~! момент может принимать асе три значении: О, 1, 2. Записав для случая »л, = — т» = 1 в. ф, в 1„1»,-представлении в виде 1 Ч - б,,б,, = — ~(61,3,, + 32,61,)/з/2 + + (01,31, - б, 23,,) ~ч/2 ~, (1) замечаем, что вероятность значения 1 = 1, которому отвечает второе, антвснмметрнчное слагаемое в (!), равна ш(Е= 1) = 1/2. Далее Е»= ~ Е(1+!) ш(Е) =Ош(2) + 1=2. Отсюда ш (2) = 1/6, и (0) = 1/3. 3.33.
Понимая в условиях задачи 1.43 под Л набор коммутирующих операторов 1„н 1„с с. з. т, и ш», а под Л вЂ” набор нз Е» и Е = !~»+ 1»м имеем равенство вероятностей ш»ч(ть т») = ш,„«ь(Е,М), т. е. вероятности значений проекций и, н Ш!»« гл» в состоянии с определеннымн значениями Е н М (прн этом М = »и~ -1- «2») равны вероятностям значений величин Е и М в состоянии с определенными проекциячн т н т» (сравннтгь например, результаты задач 3.32 н 3.35).
3.34. Запишем искомую в. ф. в виде Ч' з — — ~„С,Ч»!ш)Ч»~ 1„„ »» где Ч» ! — нормированные в. ф. состояний систем с момеи- (1, 21 том 1 и его проекций т на ось з. Для нее очевидно ЕеЧЕ о (~!е+ ~за)Че о где Е = Е ш 1Е„= !2 + !2е, Учитывая соотношение (см. ()П 3)) 1»Р —,/П ш) (1.! щ 4 П Чг, «г, из (1) после простых преобразований получаем Е+Ч", з= ~',Ч/(1 — ш) (1+ ш+1)(Сщ+Сщ„,)Ч~ щ+ Чг('щ =О. Отсюда С +, = — С, так что (С„) = сопз1 =(21-1- 1) — ы»вЂ” из условия нормировки в. ф. Ч'»=» на единицу. Таким образом, в состоянии с Е = 0 вероятности различных значений проекций 259 Чге о= ~ (2!+ 1) !'1 т (п1) Уг (пт) = 4п Рг(п~пз).
ч(21 + 1 т Отметим, что такой вид в. ф. Чгг=., вытекает также нз следующих соображений. В силу того, что в. ф не изменяется при вращениях (Е = 0), она является скалярам, т. е. функцией вида Чтс=е = )(п,пз). При этом то обстоятельство, что )(х) сводится к полнному Лежандра Р,(х), связано с тем, что складываемые моменты имеют определенное значение ! (сравнить, например, с 3.13). 3.35. В !ы!зтпредставлении в. ф. Ч)гт, з очевидны: Чзз= О О, Чя,= О О (!) !'с ~ (здесь н ниже столбцы Ч', гз! — — ~се представляют в, ф, 1(2) С-1 1 Ы! частицы, нлн подсистемы, с моментом ! = 1 в ее 1,-представлении), Вид в. ф. Ч"см, отвечающих состояниям с Е = 1,2 и М = ~1, а также Е = 1, М = О, непосредственно следует из характера симиетрвн в. ф.
по отношению к перестановке пере. менных гп~ н тз, установленного в 3,30; Что)1 т 0 1 ~ 1 0 Ч'зо1 ! — — — о 1 ~ 1 о ч', == о о — о о (2) (3) (4) (знак «+» в (2), (3) отвечает Е = 2, « — » отвечает Е 1). складываемых моментов на ось г (и на произвольную ось во.
обще) одинаковы и равны ш = (2!+ 1) -1, Вид в. ф. Чгх-е в !1,!ы-представлении следует непосред- ственно из того, что в этом представлении Чт~ 'з! = б о,з т 11ш) . т' В координатном же представлении Ч" 1' =Уст(п, з). Учитывая, что Ст=( — 1)' т(2!+1) ~, соотношение между шаровымн функцнямн Угт(п) =( — 1) ' тУ1 (и) и теорему сложения для 1 — т них (П!. 6), находим Вид в.ф, Ч'ц,, следует из результата предыдущей задачи Ч == ΠΠ— 1 1 + О О . (6) В. ф, Ч'ц, ц, прн учете ее симметричности па отношению к пе рестановке т, и тц, можно записзть в виде Чгз ц=С! 0 0 + 0 0 +Сз 1 1, (6) а из условия ее ортогональностн в.
ф Ч',л найти Сц = 2СО выбрав при этом в (6) С~ =!/З/6, Сз = 2/З/6, получаем нормированную в. ф. Ч'ц, ц. Вероятности различных значений проек. ннй складываемых моментов на ось з в состояниях Ч'цм непосредственно следуют из установленного вида (1) — (6) в. ф. 336. Так как в случае 1, = !ц = 1 оператор 1~(ц имеет в состояниях с определенным Л следующие значения: ! при Ь = 2, — 1 при С = 1 и — 2 при А = О, то оператор, проектнрующий па состояние с Е = О, имеет вид Р (1.
= 0) = ((1,1ц)ц— — 1)/3 (сравнить с 1.35). Подействовав этим оператором на произвольную в. ф. Ч' состояния с 1~ = 1ц = 1, получим (ненормированную) с. ф, оператора квадрата суммарного момента, отвечающую Е = О, т. е. Чгь-ц = СР(Е = 0)г!' (С вЂ” нормировочный коэффнпиент). Записав 1,1,=/./„+(/„/, +/, /„)/2 (вид ! для ! = 1 приведен в 3.22) и выбрав для удобства ° о о и. ф. в !и!ц;представлении в виде Ч' =~! 1 ~), находим после простых преобразований 0 0 Чгь о — — СР(!.=О) 1 1 — 0 0 — 1 1 + 0 0 Выбрав С = з/3, получаем уже нормированную в.ф.
состояния с ь = 0 в согласии с результатом задачи 3.34. 261 3.37. Всего имеется 3 3 (21+ 1) = 9(21+ 1) независимых состояний. Классификация их по значениям суммарного момента с представлена в таблице 1 — 2 1 + 2 1 + 1 3 ° (21+ П 21 + 5 2 .(21 + 3) (21 — 3) 2 (21 — 1) Число состояний Для решения задачи удобно сначала сложить моменты двух подсистем, имеющих 1=1, в их результирующий момент С«2, прн. нимающиа значения О, 1, 2, а затем сложить С«2 и 12 = 1 в суммарный момент С всей системы.
Прн атом следует учесть, что данное значение 1 можно получить, вообще говоря, несколькимв способами. Так, значение С = 1+ 1 можно получить путем сложения с моментом 1 третьей подсистемы как момента С«2 = 1, так н Ам=2. Приведенные результата« относятся к случаю 1)21 значение 1 = ! читателю предлагается рассмотреть самостоятельно. 3,38. В данной задаче будем понимать под С его конкретное значение С = 1, + 12. Очевиден внд в. ф, Ч'сс — — Чт~)~1,Ч«1,12 УчиЩ 121 тывая свойство оператора Е Е Ч'см= )««(С вЂ” М+ П(С+М)Чгс м..«, имеем (1 .! М)1 2112 с,и см ~(1 М)1(2Ц1) ( -) сс' Так как С = ««+ ««и операторы 7 и 1«коммути- 1 2 1 2 руют друг с другом, то нз (1) имеем «Р вЂ” Д (1 М) ~~ ~С«св (1 )«««(( )с — м-л««Р)1) Ч«)2) =6(С, М) д, Сс мо '(1 1 — щ)0 (12 М+т 1)Х 1, ц — Ч 1, 1 — семь = с' С«,м,1 л«У1 л«,Ч «,з««(2) аь где введены обозначения (С + М)1 3112 л« 1 (С вЂ” М)1(2С)1) С т)(С вЂ” гл)1 ' Подчеркнем также, что М = гл«+ та, Из (2) следуют значения коэффициентов Клебша — Гордана С",„"', =О(У., М) С-! ((!, щ,) а-! ((а, т,) С',-ыщ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
