Galitskii-1992 (1185113), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В. ф. состояния с й = О не изменяется при вращениях системы координат, т. е, является скалярной (нлн псевдоскалярной, в зависимости от четности состояния) функцией. В с. ц. и. трех частиц независимыми являются радиусы-векторы ге р лишь двух частиц, при этом гр = †(г~ + гр) (считаем для простоты массы всех частиц одннаковымн). Из двух векторов ге г можно образовать следующие скалярные величины: гп гг, г!гг, являюг г щиеся истинными скалярамн (а не псевдаскалярами!).
Скалярная функция, зависящая от векторов гс р, может быть функцией талька указанных скаляров, Соответственно в.ф. является функцией вида Ч' а — — ! (гп гг, г!гг). При инверсии координат гь г-~. г г -Р.— ге р эта фУнкциЯ не изменаетси: УЧгс=р = Ч',=„т. е. состоЯ- ние с Е = О имеет положительную четностьз).
Глава 4 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ НОЛЕ 4.1. Уравнение Шрйдингера (1Ч. 5) и граничные условия х.(О) = х(рр) = О имеют такой же вид, как в одномерном потенциале. Соответственно Е„е — — Е„(спектры совпщгают) п г Ч'и а(г) = Ч'и (г)/.т/4пг, и =О, 1, ... В частности, в случае "Г г а) имеем Е„о— - йгпг(п +!)г/2тпр (сравнить с 2.1). В случае б) условие существования связанных з-состояний (а тем са- ') Подчеркнем, что речь идет об орбитальной четности. Заметам также, что если число частиц в системе превышает 3, та появляется возможность образовать псевдоскалярную величину вида гр(гагр).
Соответственно состояняя таких систем с Е = О могут иметь уже любую четность. мым и свЯзанных состоЯний вообще) имеет вид (Со 5»пз/йгпаа (сравнить с 2.!4). 4.2. а) Так как уравнение (!Ч.5) имеет вид одномерного у. Ш., то как и в одномерном случае, можно утверждать, что Е„с (при фиксированном 1) возрастает с ростом п,. "Г б) Рассматривая в у.Ш. (1Ч. 5) формально 1 как непрерывный параметр, согласно формуле (!.
6) имеем дЕи с lд1 = д///д1= Дз (21+ 1)/2гпгз > О, что доказывает возрастание Е„с с ростом 1. г 4.3. а) Имея в виду возрастание Е„с с ростом 1 (прн г фиксированном л„см. 4 2), легко сообразить, что независимо от конкретного вида (С(г), в Лкм состоянии д. с. значение момента частицы не может превышать 1«.„= Л' — ! (для такого момента значение и, =- О). б) Максимальная кратность вырождения уровня получается в случае, когда этому >ровню соответствуют состояния со значениями 1 от О до !пж н равна и-с йп1»х (Лс) = ~Х' (21+ 1) = Лс с-о (такая снтуапия реализуется в кулоповском потенциале). При этом состояниям с данным значением 1 отвечает и, = Л' — 1 — 1, в) Так как четнасть 1 = ( — 1)Л то теперь суммирование в (!) следтет проводить по значениям 1 определенной четности (четным илн нечетным), такой же как и 1,„=.Ч вЂ” !.
В этом случае находим д~„(Лс) = Лс(йс + ! )/2, причем состояниям с данным 1 отвечает л, = (1,„— 1)/2 (такая ситуация реали. зуется у сферического осцнллятора, см. 4.4 и 4.5). 4.4. Используя соображения, высказанные прн решении задачи 2.48 о плоском осцнлляторе, находим решение в виде (пп:п,(г) =Чга, (х)Ч'и, (р) Чгп, (з)с пс, пс,из=0,1,2,..., Еп — — Лы (и+ 3/2), п = пс + па+ п„и = О, 1,... Уровни осциллятора имеют определенную четность, равную 1. = = ( — 1)", и кратность вырождения (сравнить с 3.4!) я (п) = ~ (л — лс + 1) = (и + 1) (и + 2)/2.
п,=о Отличие /1(п) от характерного для центральных потенциалов значения дс = 21 + 1 свидетельствует о наличии «случайного» вырождения уровней. Имея в виду результат предыдущей задачи, можно классифицировать независимые состояния, отвечающие данному и, по квантовым числам и, и 1 только иа основании полученных значений /1(и) и 1„(в условиях 4.3 й/= = и+ 1): уровню Е, соответствуют состояния с и, О, 1 = и; и, = 1, 1 = и — 2; и, = 2, 1 = и — 4; ... (см. также 4 5). 4.5. У.
Ш. (1У, 2) для (/ = йгз/2 заменой переменной х =.1/йги ге/й приводится к виду (в = ц/й/ги) бз 3 / Г Е 1(1+1) х11 х — + — — +~ —— — — Ц/с 1 —— О, (1) г(хх 2 Их ь 2йв 4х 422 Подстановкой /(а = е "/~х~/~в (х) преобразуем (1) к гнпергеометрическому уравнению хв" + (1+ 3/2 — х) и'+ (Е/2йв — 1/2 — 3/4) в =0 (2) Так как /7 ас гг сс хг/2 врн г О, то решение уравнения (2) следует выбрать в виде в = сг ( — Е/2йв+ 1/2+ 3/4, 1+ 3/2, х), (3) где Е(а, (), х) — вырожденная гипергеометрвческая функция. При этом условие убывания в.ф, при г — г-сс требует, жабы функция (3) сводилась к полнному (иначе Е сс е и /с со е при х, х „х/2 г-ь сс).
Отсюда и,=О, 1, 2, — Е/2йв+ 1/2+ 3/4 = — иг, что непосредственно определяет энергетический спектр: Е„, = йв(1 + 2и„+ 3/2) = — йв (и+ 3/2), г и=2иг+1=0, 1, 2, ... Уровню с данным и отвечают состояния с моментом 1 = и, и — 2, ..., так что он имеет опредетениую четность 1 = ( — 1)", а его кратность вырождения, п(и) = ) (21+ 1), оказывается равной п(и) = (и+ 1) (и+ 2)/2, в согласии с результатом пре. дыдущей задачи. 4.0. В.
ф. имеет вид Чге = (иаз) е — г/а а й /щ 3 112 — го 2 2 а) г" =~ге)Чг (г))хи)г— (и+2)1 Га та — о 2 ~2,/ г,* б) (/ (г) = — ') — ( 372 (г) )2 П)г — ех/а г (2) Так как Т + (/ Е, = — е'/2а, то Г= е'/2а = — (//2. 270 в) В. ф. в импульсном представлении Фо (Р) г ] е в'/ Ч'о (г) а)г = — ~р + — ) 2ц/2 Л/ г я /Г» (2иб)з/з З ") (3) определяет распределение по импульсам электрона: г(ю = = )Фе(р) ]»(»р. г) Искомый потенциал ~р(г) представляет электростатический потенциал системы, характеризуемой плотностью заряда р (г) = еб (г) — е ] Чге (г) )», здесь первое слагаемое соответствует ядру — протону (в начале коорюнват), а второе — электронному «облаку» Уравнение Пуассона (27] Ьгр = — 4пр при г Ф О принимает вид б»у 4ег — = — е ,(гг аз где д = щ(г) Интегрируя это уравнение с учетом граничных условий у(со) = О и Х'(оо) = О, получаем =;3 г г' Отсюда ф (г) = у/г = е ~~ — + ) е— эг/а т,г а) (4) 4.7.
Имея в виду формулу (4) нз 4.6, находим 8 ()с) = — Рф (/7) еэ —, е 2е)« — эя а я~а а/т е)( е ٠— г) ег (п — Зг( (пХ)) ~Я~ Рз ))( ]3 /7» где п = г/г, г( = )с//7, то еэ Г 4тг (Й) 6а (Й) =- —, ~ ~ ] Ч' (г) ]э г' (и, — ЗЖ,и Л' ) У( Х(пд — ЗЛгеп,грщ) Ф д()„=с»аз(Ь + ЗХгФ ) /7-«(2) (усреднение проводится по положенням электрона в основном состоянии атома водорода). Таким образом, флуктуационные значения электрического поля убывают лишь по степенному т. е.
(среднее) поле убывает экспоненцнально. Так как поле д*()(), создаваемое протоном (в начале координат) и эчектроиом (в точке г), имеет вид закону: /то~()7) оо )7, Это обстоятельство проявляется в том, о о(з что взаимодействие атомов (и молекул) на больших расстояниях (например, силы Ван-дер-Ваальса) убывает степенным, а не экспоиенциальным образом. 4.8. Спектр дискретен при Е (О; ниже к=,Н/-2тЕя,о/Яз. а) С учетом граничных усяовий при г = 0 и г = оо, решение уравнения (1Ъ'.
5) для 1= 0 и (Г = — аб(г — а) имеет вид А айкг, г (а, Х е о Ве "', г)а. Условия сшивания в ф. в точке г = а, аналогичные установленным в 2.6, приводят к соотношению й к/та=(1 — е 'ио), определяющему спектр ') з-уровней. При й = таа/й'( 1/2 это уравнение не имеет корней, так что связанные состояния отсутствуют. При в е 1/2 имеется, причем только один, з-уровень. Ега энергия Е, рз — (й'/2та') (2таа/й' — 1)о Е, рз — тао/2й' б) Уравнение (!Н 5) подстановкой х = ехр( — г/2а) сводится к уравнению Бесселя (2) где р = 2ха, Л = (8т(Голо/йо)ио. Условие обращения а.
ф. в нуль при г — г оо (при этом х 0) требует выбора решения уравнения (2) в виде Х„, =с/р (Лх). При этом условие Х(0)= 0 приводит к соотношению /р (Л) = О, или /о„а Кйт(/оао/йо) = О, определяющему спектр з-уровней. В условиях, когда уровень при углублении потенциальной ямы только появился, его энергия скаль угодно мала. Соответственно условие /о(Л) = 0 определяет значения параметров ямы, отвечающих появлению новых состояний д.с. при ее углублении. Отсюда для Е-го по счету уровня (/о „, — — й хя/'йта, где язг 2 хо есть йо-й нуль функции /о(х). Так как х, 2,40, то условие существования и-состояний д. с.
(а тем самым и связанных состояний вообще) имеет вид (/о) 0,72йз/тао. ') Сравнить, имея в виду результат 4.1, со спектром нечетных уровней в условиях задачи 2.18. При 0 ц (Л вЂ” хл) ь 1 самый верхний з-уровень «мелкий», Используя формулы (К У вЂ” функции Бесселя и Неймана) уо (х) = — 7! (х) и ((д/дт) ут (х)) о — — (и/2) Уо (.х), согласно (3) находим его энергию (л, = У вЂ” 1): йз уэ! (хи) (' бт(!сиз лгз 2тз 3 Узг де мгг — х, (4) и ти с(хи) в) Уравнение (Гт'. 5) прн 1 = 0 заменой переменной х = в-'ш (прн этом (7 = †(),х/(! — х)) н подстановкой )( лге херл Е = ио пРиводитсЯ к УРавнению длЯ гипеРгеометРической функции Е(а, (),у,х): (! — х) хул+ (2е + 1) (1 — х) у' + Л'р =.
0 с параметрами Л = (2ши~(7о(й~) а = е + у(ез + Л,', у=2е+1, е л/аз+ Лз Условие обращения в. ф. в нуль прн г лл (х — «-0) требует выбора решения уравнения (б) в виде у = ср(а,!),у,х), при этом условие у(г = 0) = 7(х = 1) = 0 дает Е(а (1, у, х = 1) = Г(у) Г(у — а — 0) = Г(у — а) Г(у — 0) =О, (6) дз з 3 го а з ( л г + ! ) з ( ( г + ) ) (7) причем л, ( Л вЂ” 1. При этом условие Л = У (У целое) определяет значения параметров потенциала, соответствующие появлению У-го по счету уровня с ! = 0 прн углублении потенциальной ямы. При и -~- л» рассматриваемый потенциал переходит в кулоновский, а формула (7) при этом воспроизводит известный спектр (1У.3) в таком потенциале. 4.9.
о) Решение уравнения (1«'.б) (и = — йшЕ гlйз), л гг учитывающее граничные условия и(0) = и(лл) = О, для (г = = — аб(г — а) имеет вид ил 1 — — А)г+1(з (нг) при г «. а г и ил ! ВКг+, (иг) при г) а, тле 1», К» — функции Бесселя мнимого аргумента. что определяет спектр з-уровней. Отсюда, как нетрудно заме- тить, следует, что у — а = — л, где л — л, = О, 1, ..., и окон- чательное выражение для энергии з-уровней принимает вид Условия сшивании в.ф.
в точке г а, такие же как дли одномерного 6-потенциала в 2.6, дают /сь>>з (ха) К>+ Ыз (ха) = йз/2таа = $ (21 — 1) (21+3) йз с со>) Еш 4 (21+ П та Е яэ — >лаз/2йэ + йз1 (1+ !)/2таз, т со> (2) ! -» оо. б) Уравнение (!У.б) в рассматриваемой задаче при г(а сводится к уравнению Бесселя. Так как и с (0) = О, то его ре. и шение следует выбрать в виде и с — — с/с+с (йг).При этом услал вне и с(и) = 0 определяет энергетические уровни частицы: лг Е„с = й й /2~и = й а„+> С,/2ти, где а,с — л-й нуль (в порядке возрастания, не считая пуля при х = 0) функции Бесселя /оюсз(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
