Galitskii-1992 (1185113), страница 55
Текст из файла (страница 55)
При этом ввиду специфического свойства фотона, связанного с попсречностью электромагнитного поля, его в.ф, — векторный потенциал А(р) (в импульсном представлении) — должна удовлетворять дополнительному условию вида рА(р) = О (или б!чА(г) = О, см, главу 14). Найденная функция А = /(р)р со. стояния с ! О этому условию не удовлетворяет. Это означает, что состояний фотона с ! = О ие существует, и указывает на невозможность его излучения системой, если ее полный момент как в начальном, так и а конечном состояниях равен нулю: «О — О>-перекоды запрещены. З!6 Так, для определения вида в.
ф. состояния частицы с ! = 1 и ! = О замечаем, что она должна линейно зависеть от век. тора п (ввиду ! 1, см, 3.41) н в силу сферической симметрии состояния с ! = О не должна включать каких-либо «внешних> векторных нлн спннорных величии. Отсюда сразу следует внд в. ф. в векторном представлении ю): Ч1 = сп1, илн Ч = сп, причем )с ) =~ 1/1/4м из условия нормировки ~ Ч'Ч Ф(1 = 1. Ко. печно, этот результат можно получить и из (10) (коэффициенты Клебша — Гордана для этого случая найдены в 3.39).
Теперь по формулам (9) легко находим в. ф. рассматриваемого состояния с ! = 1, / = О в спинорном представлении описывают состояния с определенным значением 1«, определяется результатом нз 3.41. Вид в.ф. в других представлениях может быть найден, как и выше в случае ) = О. 6.27. Для частицы со спином э = 3/2 описание спнновых свойств с помощью симметричного спинора ф~р» аналогично рассмотрению состояний с суммарным спнном 3/2 в системе нз трех спиноз с э = 1/2, сравнить с 5.19.
Так же как и в предыдущей задаче, имеем ~З~ „, 1 Р~ ,рыг „р ( ) фэээ „«( ) 1 1 3 (здесь приведены лишь независимые компоненты спинора). Переход к спин-векторному представлению осуществляется с помощью отмеченной в предыдущей задаче (см. формулы (9)) связи спинора второго ранга с вектором: т/ а ь ф ртам и рф а 1 т а 1 ч ар Ч/2 тт Ч/2 (2) Отсюда автоматически вытекает дополнительное условие и) аорУР =О, ОпеРатоРы компонент спина в этом пРедставлении имеют внд (сравнить с предыдущей задачей) Я (э,)» ш —— — !атыйи+ 2 быад в (3) и) Доказательство его основано на использовании соотно- шения а~рот, 26;6,( — Ьбт в.равенства ф«66=0.
317 Для определения вида в.ф, состояний с ! = 1 и ! = 1/2 следует учесть, что они должны линейно зависеть от вектора и и от «внешнего» спивора 2~, задающего состояние системы с моментом /= 1/2. При этом выбор спннора 2~ в виде 6", н бээ соответствует состояниям системы с /, 1/2 и — 1/2. Волновая функция состояния частицы с / = 1/2, ! = 1 в спинорвом представлении имеет наиболее простой вид для «смешанных» (с ко- н контравариантными индексами) компонент снинора фд«С ( пад )(В+ па«.)(д — — (па'„)(пб«+ па«,(нбд) ~ (4) д 1 (здесь учтены как симметричвость спинора по верхним индексам, так и равенство фд«4 й для спинора ф""=а ф~«э).
Не останавливаясь подробно на анализе в. ф. состояния в з;представлении, ограничимся видом лишь одной компоненты: Зч ф (а=+ ) ф = — фз = — 2Сз!пОе еУ н> !! — > 2 / (пропорциональность ее шаровой функции у>, >(и) н компоненте спинора у>, отвечающей значению ! = +1/2, очевидны заранее из физических соображений, так как ! = 1/2, ! = 1, 1, = л>+ а, а а = +3/2). Спин-векторная в. ф. У" состояния с / = 1/2, ! = ! может быть найдена по формулам (2), (4).
Воспользовавшись соотношением а! 'Ваа т —— бгьб + ге!На! ',, В д (сравнить с (>>. 3)), получаем эà — от«ф — С (2п — !(па) ) у . (5) д 1 д« 2 !/2 . д ч/2 т 3 Это выражение можно получить несколько иным способом. Для этого заметим, что наиболее общий вид спин-вектора, зависящего линейно от и и )(", есть у =с>п!!д+сз [нО «1)(н, При этом дополнительное условие ад уз=О приводит к соотношению с, = 2!сз! отсюда и следует (5), сравнить также с 5.23. 6.28. Спиновая матрица плотности 1-й частицы р ° выра!>! жается через спинозу>о функцию Ч'лз (а„а ) системы (а>,з— спиновые переменные частиц) согласно общей формуле (>/.5)г Р!'>, ~ Чглз (а,а )Ч"зз (а', а ). д> 318 Воспользовавшись явным выражением для Ч'лл из 5.10.
находим Рао'(3 1 3»=+1) ( О О/ 2 ((+па)пан рао'(1' 0) (О 1)' Сравнивая (1) с общим выражением (Ъ'.6) для р, замечаем, что в состояниях с Я = 1, 3» = 0 и Я = 0 вектор поляризации Р = О, т. е. имеем полностью неполяризованные состояния. В случае 5, = ч-1 уже Р =(0,0, ~1) так что 1Р(= 1, т. е. имеем полностью поляризованные состояния; при этом спиновое состояние является «чистым» и рз = р (это связано с мультиплнкатнвным видом спиновой функции при 5, = ~1). Матрица плотности 2-й частицы имеет такой же вид, как к для 1-й частицы.
Выражения (1) можно было бы написать и без вычислений, имея в виду способ решения, использованный в следующей задаче. 3.20. Спиновая матрица плотности имеет вид р = (1/2) (1+ + Рп), где Р = 2з — вектор поляризации. В данной задаче его легко найти, если воспользоваться результатом иэ ЗАО»): Р 2з — 1 ! (! + 1) .гак что") Р =(0,0,~(,/(1+1/2)), где знаки (~) относятся к значевиям ! =1~ 1/2. В случае 1', = ~! при 1 =1+ 1/2 имеем )Р) = 1 и спиновое состояние является «чистымж 3.30.
Спин пиона У„=О, так что полный момент У двух пионов в с. ц.и. (она же — система покоя А"1 совпадает с моментом й их относительного движения, У = У., и он же (в силу сохранения момента) равен спину частицы Ую т. е, У» = й. Далее, четность системы из двух пионов (в с. ц. н.! равна Р,» (-1) лл = (-1), здесь ( — 1) — орбитальная четность Ь УА с лары. В силу предполагаемого сохранения четности, внутренняя УА четность Ра частицы А» должна быть равна Р Р „= ( — 1) А 2» Таким образом, для частицы А«возможны лишь следующие квантовые числа: Уал —— 0+, 1, 2+, ... Если частица Аз находится в состоянии с определенным значением У„то у распадных пионов У« = У,.
Фиксирование й = У 'з) Сравнить ! с! нз 3.10 а). 319 и Ь, = /в однозначно определяет угловую зависимость в. ф. двух лионов в виде Уху (и) (и = р/р, р — относительный их импульс). Соответственно угловое распределение продуктов распада имеет внд аю/ИЯа =~ ( Угу (п) (З см. также 5.32.
5.31. В силу сохранения момевта для системы пионов из распада Ь = О. При этом двухпионная система имеет положительную четность (сравнить с предыдущей задачей). В то же время для системы нз трех пионов с Ь = О (в с. ц. и.) орбитальная четность положительная, см. 3.47, а внутренняя и соответственно полная четность системы — отрицательвая (четность является мультнпликатнвной величиной).
Существование у одной и той же частицы двух каналов распада с различной четностью конечного состояния указывает на ее песохраненне. 5.32. а) В силу сохранения момента у частиц †продукт распада орбитальный момент относительного движения Ь = У и Ь, = Ьв что однозначно определяет угловую зависимость в. ф. в виде Ггг (и) (п = р/р, р — относительный импульс распадных з частиц), а с нею и угловое распределение частиц в распаде !ю/би„= ~ У (и) ~г б) Пусть с(т) (ш = У,/ — 1, ...,— /) — нормированнаяспиновая в. ф.
распадающейся частицы в Х,-представлении. Онз же, в силу сохранения момента, описывает состояние частиц — продуктов распада, Соответственно угловая часть в.ф. имеет вид 'чт(п) = ~ с у (п), а угловое распределение частиц в распаде описывается выра. жением Искомое угловое распределение получается из (1) заменой сзтсм.
-ь Р ю. = с (т) с' (т'), где р — полярнзациовная матрица плотности распадающейся частицы. В частвости, в случае Х = 1, воспользовавшись явным видом шаровых функций (111. 7), получаем — = — ((р! + р, ) з!па 0+ 2р саз 0— — 2 Йе р, ° сов йф ° з!па 0+21шр,, з!и 2ф ° з!пз0— — т/2 Ке р~з соз ф ° з!и 20+ Ч/2 1пт рш ° з!и ф ° юп 20+ +Ч/2 )(ер ! созф ° з!п20+Ч/2 1шр ш гйп0 ° эра 20/, (2) 320 где О, гр — полярный и азимутальный углы вектора п; рц+ рею+ + р , , = 1 (для полностью неполяризованного состояния цмеем р22 = б,ь/3 и угловое распределение изотропное) 5.33. Прежде всего установим вид спин-угловой зависимости в.
ф. пр)-системы с моменточ Х = 1/2. Так как у пиона/а = О а у иуклона Ум — — 1/2 , замечаем, что при данном значении У + полного момента орбитальный момент 5 может принимать лишь два значения: 5 = У -~- 1/2. При этом четность пМ-системы равна Р„ч — — ( — 1) РпРм — — ( — 1) +', так что фиксирование У н Р и однозначно определяет !., Учи- тывая сназанное, находим: а) С = О при Р!з = — 1, так что в. ф. Ч"!лы)-снстемы не за.
висит от углов и ее спин-углоная зависимость имеет тривиаль- ный вид: Ч'!" ) = )(~ ), причем в силу сохранения 22очента синг!пн) !н нор у'н' совпадает со спнпорои )(! ) описывающим спиновое со- стояние частицы В. Так как в. ф. не зависит от углов, то угло- вое распределение продуктов распада является изотропным.
б) Теперь ь = ! и спин-угловая часть в. ф имеет внд Чг" = С (ап) у, где и = р/Р и у. = у!з), см. 5.21. угловое рас- пределение пионов описывается выражением ") — (Чгпн)'Чгпн (С) )(!н)*(ап) )(!н! (СР)((н! 2!н)=сопз1, ~(() а т. е., как и в случае а), является изотропным (об одинаковой зависимости угловых распределений при 5 = У ~ 1/2 см. 5.25). 11аконец, в случае в) в силу песохранення четности четность пЬ(-системы нс ьмсст определенного значения н соответственно спин-угловая зависимость в. ф. представляет суперпознцню в. ф., рассмотренных в а), б): Ч"пн = (а + Ьан) )(!Н2, а угловое распределение продуктов распада имеет вид г(~п — с (Чгпм) Ч"пн = )(!н)'(а'+ Ь"ап) (а + Ьап) )(!н) = = Х! )'((а( +) Ь ( +2 ()(е аЬ ) (ап)) )(!")оо - (!+ 2 ", (а)вп); (1) 2 ке аЬ" ) а )2 +! Ь |2 ") После суммирования по незавнсимым спииовым состояниям нуклона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
