Galitskii-1992 (1185113), страница 64
Текст из файла (страница 64)
а) Ввиду взаимной коммутативностн операторов до, Р, и гамильтониана частицы — — )ух+(рц — —, о') +ух~ с. ф. гамильтониана могут быть выбраны в виде орлр „(х, у, х) =(2пй) ' ехр (1 (р у + рех)/Я) ф(х), (1) Прн этом из у.Ш. следует уравнение й' „1 Г еЯох те ()+ ~~„о ) 2р 2р (, ц с ) где введена энергия Ег —— Š— р 729 поперечного движения. эо Решение этого уравнения выражается через решение у. Ш. для линейного осциллятора с собственной частотой юн = (е(Жег рс, см. (П, 2), так что Ч'нр = (2яй) ' схр [7(рцу + р а)(йо)оу„'" (х — срц)еуцэ), (2) Еор =Ег, п +ро~йр, Ег, о =йюн(а+ 1/2], н=б, 1, 2,...
Под оеркнем, что энергетические уровни поперечного движения Еь, — уровни Ландау — являются дискретнымн, кратность их вырождения бесконечна (энергия ие зависит от величняы. ро, принимающей значения — оо ~ р» (+ео), а «поперечиаяз часть с.ф. гамильтоннаиа йг„я не нормируема на единицу, так как оязз )Ч'(з вообще не зависит от р). 6) При таком выборе векторного потенциала гамильтоииан частицы имеет вид ей ез»йл т 2р 2рс о броз 2р Так как операторы 1,Р и Р1 взаимно коммутируют друг с другом, то с.
ф. гамнльтониана можно выбрать в виде (восполь. зовавшись цилиндрическими координатамн) = 2 '--Р((-~+Р./)1 !/1» и из у.Ш. получить уравнение для радиальной функции 2 ( 2РЕг т — 1/4 етЖо е Рбо Это уравнение лишь переобозначением величин отличается от рассмотренного ранее в 4.5. Отсылая туда за деталями решения, приведем результаты: )/р/= Св «1 х! !/ Р (( — 2Е /йюы+ ! т ) + +1 — ет/) е))/2, ) т(+1, х), л = Р~(2ай' он "Р/Рыл юн= ) е)»и /Рс. Требование, чтобы гипергеометрическаи функция здесь сводилась к полиному: (-2Е»/виол+ )т)+1 — ет/(е))/2= — л, л О, 1, 2, ...
определяет энергетический спектр поперечного движения час- тицы. Отсюда, в согласии с (2), следует Е „=Яюл(о+1/2), и= О, 1, 2,..., л= л +()т! — »тЛ» !)/2. (б) При этом уровню Ес, с данным и соответствуют состояния час- тицы со значениями проекции момента т на направление маг- нитного поля, равными ') т= — и, — л+1, ...,О, +1, .:, +со при е>0, при е< 0, ') Обратим внимание иа то, что основному уровню Ландау, с л = О, отвечают состояния частицы лншь с такими т, что е т ) О. Для других значений проекции момента т уровни с минимально возможной энергией лежат выше, так как для них уже и~О. бесконечное число возможимх значений лг отвечае~ бесконечной кратности вырождения уровня Ландау.
Подчеркнем, что теперь с. ф. (4), (5) гамнльтониана опнсмвают локализованные в поперечных (перпендикуларных «йе) направлениях состояния частицы. Для нормировки иа единипу «поперечной» части Ч'„„(р, ф) с. ф. гамнльтониана следует выбрать в (б) значение нормировочного коэффициента ( С ) .= ( ( лг ) + л ) (/и ! ( ( лг !!) тат . В связи с вопросом о нормировке волновых функций стационарных состояний д.с. напомним, что для частицы в потенциальном поле (г(г) они всегда локализованы з ограниченной области пространства. Необычные свойства их для частицы в однородном магнитном поле свкзаны с тем обстоятельством, что дискретные энергетические уровни поперечного движения имеют бесконечную кратность вырождения. Действительно, рассмотрим волновой пакет, составленный из с.ф.
Ч'., (2) (зависимость "'3 в. ф. от з опускаем), Чг„(х, у) = ~ С (Р ) Чг (х, у) г(рн. Эта волновая функция также отвечает уровню Ландау Ес„ причем если ~(С(р ) ~Ыр = г, то она уже нормирована на л и единицу и описывает локализованное состояние частицы, в отличие от ненормируемых на единицу с. ф. Чгчль.. И наоборот„ иэ нормированных с, ф, Ч',„ можно составить волновые функции вида Фэ = ~ С„,Ч'„.
Они также отвечают уровню Ландау Ес„однако в случае ~ (С (т= сс уже не описывают локализованного в плоскости (х, у) состояния частицы. У.й. !) В классической механике движение заряженной частяцы в перпендикулярной магнитному полю плоснссти происяодит по окружности (ларморозская орбита) с квадратом радиуса Рл=Ююй (о +ок)~' и юн=(«!энгр«.
(!), При этом векторы р, рьчх — радиусы-векторы частицы, центра орбиты (окружности) н скорость связаны соотношением (р — ро)) =ч, ю=(О, О, в=-еюн~)е)). Эта формула выражает характер движения частицы в плосиочти (х,у) — равномерное врзпь» яе, причем знак ю определяет направление вращения (ось х направлена вдоль магнитного поля). Из нее следуют соотношения Ро = "о +,Уо (2) Уо = У + ох/а хо = х — и„/е, Квантовомеханичесним обобщением выражений (1), (2) классической механики являются соответствующие эрмитовы операторы: Ф = 2 — б /е = х — ( — Ид/ду — еА /с)/ра, 3 .2 2 2 э 2 э Уо-Р+бх/а Уз=4+до Рл=[б*+'и)/а (при этом рч = р — еА/с, р = — !Ар), для которых нетрудно установить следующие коммутационные соотношения з); Р'"о)=Р' уо1=[.Ч ро)=[// рл) =О (4) 1'ФО, Уо] = — !Ас/еуб, ~ро„, рл1 =О, Коммутативность введенных операторов с гамильтонианом частицы означает, что соответствующие физические величины являются интегралами движения, как и в классической механике, 2) Так как рз =2Й/раич где Йг — — Й вЂ” р~/2р — гамильтоииан поперечного движения частицы, то воспользовавшись результатом из 7.1, находим спектр с.з.
квадрата радиуса орбиты (рп)е =(2а+ 1) ПГГ, П=О, 1, 2, ...; аи„= Ас/] е [Уб. (6) майра — — 2Й/г + 2(е/] е ]) ан1, так что в.ф. 4) из 7.! являются с. ф. оператора ро, при этом спектр ') его с, з. [ро) =(2У+1)а,~, й=л+ет/[е[=0,1,2 ... (6) з) Их можно получить, не конкретизируя калибровни векторного потенциала, однако вычисления несколько упрощаются, если воспользоваться конкретным выбором А = (О, УУх, 0). з) Об изменении волновов функции системы при калибровочном преобразовании потенциалов см. задачу 6.27. ч) Спектры операторов рэ и рэо могут быть получены непосредственно из сопоставления выражений (3) для них и коммутаторов [Уе ро], [б„, б„] с соответствующей парой равенств для линейного осциллятора: Й = бз/2т + тазйз/2 и [б, х] = — И, определяющей его спектр Е„= Аа (л+ 1/2).
Далее, выбрав векторньш потенциал в виде') А = [Убг]/2, замечаем, что т и -о/г г! г аш(Р)=1 р чи! 2лрар= г г е РНР (7) л!а» Х 2а / с помощью которого находим р = ~ р г(ш = Э/2 Г (л + 3/2) а»/л ! Рг =2 (л+ 1) аг!, Р„„З/2а+ 1а». (8) Здесь р,, — наиболее вероятное эначеняе переменной р, отвечающее максимуму распределения Ыш/Ир. Заметим также, что в рассматриваемых состояниях оператоРы Ре и Рл имеют опРедсленные эначеннЯ, Равные согласно .г .г (5) и (6) (Рс)е а»' (Рл) (2л+ 1/ »' (9) В случае л» ! (хвазиклассический предел), используя для гамма-функции асимптотику Г (х)ж З/2лх» 1 е " при х -ь сс, согласно (8) находим р на ц/2ла» и, таким образом, Рн.в = ~/(Рл)л ~1/Р' Раз "/2ла» ~ а» (19) Полученные соотношения означают, что радиальное (по переменной р) распределение вероятностей при лЪ 1 имеет резкий максимум вблизи значения р,, При этом выражение (7) в наиболее существенной области значений р можно преобразовать к виду Фю м (ла») ехр ( — (р — р„,) (а»1 г(р (11) н найти ар ее ~/Рз — Рзна а»/З/2 ь Р.
387 Что же касается с.з. как оператора хе, так и ус, то они имеют непрерывный спектр. Отметим„в частности, что в ф. ту из 72 квляются с.ф. оператора Хе, отвечающими с.з. ин» хс = — р„/рю. Однако ввиду некоммутативности операторов Яе и уе положение самого центра орбиты точно не определено н ограничено соотношением неопределенности Лхе ° Луо > а»/2, гт сравнить с 1.30. 3) а) Воспользовавшись выражениями (4), (5) нз 7.1 для волновых функций рассматриваемых состояний частицы с гл = = — ел/1е(, получаем распределение вероятностей Таким образом, версштиость нахождения частицы заметна отлиняв от нуля лишь в узкой кольцеобравной области с радиусом 1/йлал н шириной порядка ол. Это соответствует переходу к классической картине движения, усредненной по периоду вращения: круговой орбите частицы, причем радиус ее связан с зиергией частицы точно так же, как и в классической механике.
При атом соотношение гл = — еп/)е) для значений п~1 после подстановок т = М,/й и пжЕ~/йшл переходит в классическую связь между моментом частицы относительно центра орбиты и знергией ее поперечного движения: Е = ) е ( Ф ! М )/рс = юМ. 6) Теперь, при л = О и т = е!ш1/)е(, имеем распределение вероятностей что отличается от (7) лишь заменой л на !т(. Аналогичная замена в. формулах (8), (1О), (11) определяет для данного случая и другие характеристики радиального распределения частицы. Однако интерпретация рассматриваемых состояний частицы имеет мало общего с предыдущим случаем.
Энергия поперечного движения прн л = О принимает минимальное значение, равное йюн/2, н такие состояния являются существенно снеклассическими». Тем не менее, имея в виду, что теперь вместо (9) (рл)о = ой (ро)! т)= (2 (ш (+1) нн при )т(.М! пространственному распределению частицы в таких состояниях можно сопоставить следующую классическую картину: однородное распределение орбит минимального радиуса, Равного ДРл/ агг по Узкой кольцеобРазной области с Ра.
днусом тг н» ч/2Тт) ан ъ ан н шириной порядка а„. 7.3. Направив ось я вдоль магнитного поля, а ось к — вдоль злектрического и выбрав векторный потенциал в виде А»=О, Аз — — рбх, А»=О, имеем гамильтоииан частицы ы 1 ~р2+ (» е»» ) ! рй~ Т (1) Его с.ф. ввиду взаимной коммутатнвности операторов ))», рм 7) можно вмбрать в виде ~ланд,=(Я Я) ' хр[1[рэу+Р, ))Я)[(х). (2) При этом из у. Ш. следует уравнение 1" (х) + [2рЕг+2ред'х — (рэ — «Жх(с) 1 Я [(х) =О, (3) здесь Ег Š— рэ/2р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
