Galitskii-1992 (1185113), страница 75
Текст из файла (страница 75)
(3) Разложение экспоненты в ряд в случае малого возмущения, когда ((>рэ)» ! « 6, дает ш>0 (и-ай) = йэ ( (йгэ)а„), й ~ и, 431 что совпадает с результатом нестацнонарной теории возмущений, получающимся непосредственным (благодаря б-функции) интегрированием в формуле (Н(П.8). Воздействие вида У(х, 1) = — хРоб(1] на классическую частицу состоит в мгновенной передаче ей импульса Р, = = ~ Р (1) о(1. Это утверждение остается справедливым и в кнантовой механике, что следует из формулы (2). Действительно, в. ф. состояний частицы в импульсном представлении непосредственно до: а,(р) = (р)( = Π†), н сразу после; по(Р) =(Р~г = = О +), воздействия связаны соотношением аг(р) = а~(Р— Ро), что и отражает отмеченное выше обстоятельство об изменении импульса частицы.
8А9. Согласно формуле (2) из 8.47 находим 4аэо ., п(й+!) а (О- й) =,, но Условие применимости: тюоо = кэйт(4+ 1)э/таэ « 1. 8.59. и) Используя выражение Ч'о (х, а) = Н'к е "'" 1, где к = та/дэ, для в. ф. основного состояния частицы в б-яме, см. 2.7, согласяо общей формуле (2) нэ 8.47 лля вероятностей переходов при внезапных воздействиях на систему, находим вероятность того, что частица останется связанной ямой гнои†ив (О -ь О) = ) ') Чго(х, а) Ч'о(х, а)гХх ~ = о . (1] 4аа (а+ а)о б) Для рассмотрения переходов в состояния непрерывного спектра н качестве с.
ф. конечного гамильтониана удобно выбрать в.ф. Ч'о. о(х], отвечающие состояниям с определенной четкостью й Такие функции, нормированные на б-функцию по л = НйглЕ/йо ) О, получены а задаче 8.44. Используя выражения для них, согласно очевидному обобгпению формулы (2] нз 8.47 на случаи состояний непрерывного спектра, находим о(ю ()о) = ~ ~ Что т э,(х, а) Ч"о(х, а) о(х ~ о(й = 4 к (к — к) оооо(й и (к' + й')'(к' + й') ' (2] Это выражение, как н следует, нормировано на значение, равное 1 — во, где юо определяется формулой (1).
Переходы происходят только в четные конечные состояаня, при этом вероятности значений импульса Р = ~йй одинаковые. Как видно из (1) и (2), в случае а яэ а вероятность вылета частицы мала, а при зна- 432 чениях а С а н а» а, наоборот, мала вероятность частице остаться в связанном состоянии. 8 51. Для расчета искомой вероятности перейдем в систему координат К', движущуюся вместе с ямой, в которой х' = х— — Гй В. ф.
частицы непосредственно сразу после начала движе. ния ямы в исходной, 'Ра(х), и в движущейся, Чгэ(х'), системах координат имеют вид Ч",(х') = ехр ~ — — глГх') Ч',(х'), Ч',(х) = ~/ле й и = глгг/82, см. 2,7 (здесь соотношение между в.ф. отражает тот факт, что преобразование в. ф.
состоит просто в замене импульса р на р' = р — глГ, сравнить с 6.26). Так как в. ф. связанного состояния частицы в системе К' получается из Чгз(х) с помощью замены х на х', то искомая вероятность согласно формуле (2) из 8.47 оказывается равной 1 юа — ~ ~ 1 з (х ) Гэ (х ) йх (1 + Г,г4од) где о = а (й (заметим, что оа совпадает с о — сРедним зна- 2 22 2 2 2 чением квадрата скорости в основном состоянии частицы в б-яме).
В случае Г <ос имеем юзяз( — Г~/2оаэж1 — частица с подавляющей вероятностью увлекается ямой. В обратном предельном случае Г» ом наоборот, юэ яз(2оз/Г)' ц 1, так что частица с подавляющей вероятностью покидает ямут 8.52. Искомые вероятности ю(0 — «.л) =)(л,()0, 1>) 2, см. формулу (2) из 8.47. Нанболес просто матричный элемент можно вычислить, воспользовавшись формализыом операторов рождения и уничтожения й+, й, сравнить с 6.25. Для невозмущснаого осцнллятора й, = (28) — ыэ(лх + гл-'й), где л = пуано; при этом его основное состояние определяется соотношением йлО, 1> = О.
Наложение электрического поля эквивалентно смещению точки раВНОВЕСИя ОецИЛЛятОра На раССтОяНИЕ ХЭ = Егз /таз, таК ЧтО теперь й~ = й, — Л(28) — 02Хм а конЕЧныЕ (При (» О, после наложения поля) стационарные состояния определяются соотношениями Коэффициенты в разложении (О, 1) = ~ с„(л, 7) были вычил слепы в 6.25. Воспользовавшись их значениями, находим искомые (3) можно положить равной нулю и получить С„(() = С~, ~ = сонат, (4) что можно охарактеризовать как (приближенное) сохранение номера квантового состояния при адиабатическом изменении гамильтоннана системы. Этот результат является кваитовомеханическнм зналогом адиабатической ннвариантности величины Х, (= — гэг рдд, = 2п 'зз в классической механике, см.
[26). Последнее обстоятельство ста. новится особенно наглядным в квазикласснческом случае, см. следуюнгуго главу, если иметь в виду правило квантования Бора — Зоммсрфеллда. В заключение подчеркнем следующее обстоятельство. Несмотря на медленность изменения гамильтониэна, за достаточно длительное время он может измениться очень существенно (даже имезь мало общего с первоначальным гамнльтонианом). Тем не менее, если система в начальный момент времени находилась в и-м квантовом состоянии, то и в последующие моменты вре. мени она с подавляющей вероятностью будет находиться в том же по счету квантовом состоянии, но уже с в.
ф. Чг,(а, л(Г)) (другими словами, при адиабатическом изменении гамнльтониана система успевает «подстраиваться» под его изменение). 8.55. Уточним условия, при которых справедлив результат (4) предыдущей задачи, преобразовав сначала матричный элемент ('Рэ)Чг,> иэ (3). Для этого продифференцируем по а обе части ураннения (2) из 8.54, затем умножим слева на Ч"я и проинтегрируем по координатам. Учитывая при этом зрмптовость 8, получаем Еа (~) ~А (~) (точнее: при Еь Ф Е,). В случае же и = й изменением фазового множителя у с.
ф. Чг,(() всегда можно добиться обраще. ния (Ч',(Ч' > в нуль 'т). Таким образом, уравнение (3) из 8.54 принимает вид чз~ 1 Гдгг1 Сь(() = ~ йы (Г) ( — ) ехр ( ) ыьа(р) др С„(Г) (2) (слагаемое с и = А в сумме отсутствует, йы,. = Е» — ~.).
") Так, для вещественной собственной функции имеем <~.(~.>= 2 дг ~~'"Ч=-' 435 Если производная дН(Ж достаточно мала, то Сь яа О и Сь м СД= сопз! = 6 „ по условию задачи. В следующем приближении адиабатической теории возмущений согласно (2) для й чь л имеем лн й (!) дт ~ лч ) о и, интегрируя при задавном начальном условии, получаем ! /Ой'~ сЯ<п- („,, !, ь,( ),.н">~г)а'.
и Гз о Оценка Са„дает (!) ! а~-! — '" — '!/)Е.— .( Справа стоит отношение изменения гамильтониана за время порядка боровского периода ыаз~ к разности энергий соответствующих уровней, и именно малость этого отношения характеризует ситуацию, когда изменение гамнльтониаиа можно считать медленным (адиибатическим). Подчеркнем, что если при изменении Я(() со временем возникает сближение уровней, так что Еь(Е) Е„(Г'), то адиабатичность нарушается и именно в эти моменты времени переходы в системе между л- и й.состояниями происходят наиболее интенсивно, Для осциллятора в электрическом поле, Н = р'(2 л + йх ! 2 — ее (Г) л, с.ф. н с.з.
мгновенного гамильтониана приведены в 2.2. При этом д!)/д(= — ед'х, а матричный элемент (дг)/д!)ьэ для .значений й чь О отличен от нуля лишь при й = ! и равен — сад"/1/2, где а = ц/6(те, По Формуле (3) получаем (положено !э —— = — со) .т/2 йю „! д( (4) Соответственно вероятность единственного разрешенного в первом порядке адиабатической теории возмущений перехода оецнллятора йу(О- П=~Сф~ = —, ~ Е(1)е'ег и (здесь, считая, что электрическое поле выключается при -ь+оо, при подстановке (4) выполнено интегрирование по частям). Этот результат по форме совпадает с полученным ранее в 3.33 в рамках обычной нестационарной теораи возмущений 'з) и мало отличается от точного, см.
6.25 прн (р' «!. Значения вероятностей перехода для указанных в условии зависимостей д'(1) совпадают в приведенными в 3.33. 8.33. В адиабатическом приближении (см. предыдущую задачу] собственные функции мгновенного гамильтоннана с соответствующим выбором временной зависимости фазового множителя: йге (Ч, Г) = ехр — — ~ Ео (Л (1)) ЛГ Ч'л(Ч, Л(1)) (1) /' о удовлетворяют (приближенно) уравнению Шредингера и описывают КЭС (при этом предполагается, что фазовый множитель в самих „с. ф. Ч'„выбран так, что Ф„Л) Преобразовав следующим образом показатель экспоненты: ! Е„Н= ~ (Е„(1) -Е„) ЛГ+Е„(, замечаем, что значение квазиэнергии этих состояний равно 1 ел = Е„= — 1 Е„(Л(1)) ж, =т1 о (2) т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
