Galitskii-1992 (1185113), страница 78
Текст из файла (страница 78)
перестает расходиться). Подчеркнем, что параметр 6 определяет не только энергетический спектр связанных состояний частицы, но и состояния непрерывного. спектра (отражение частицы потенциалом). Найдем теперь дискретный спектр гамильтониана (9) с условиями сшивания (15) решения уравнения Шредингера в точке х = О. Экспонеициально убывающее при )х) — ~ со решение у. Ш, с энергией Е = — тмз/2дзтт в одномерном кулоновском потенциале выражается через функцию Уиттекера йтт От(я), см.
(34]: Р. (х) =С.)Рт „т(2(х(/тои) = С ( 2)х( 2(х( * 41 — — 1и —— — Г(! —.) 1 — — + 2ф (! — ч) — 2+ 4С вЂ” + О т 1и — ~. (16) г1 Ч (х) гх' (х)ц т ,) Здесь т ) О, ф(з) = Г'(з)/Г(г) — логарифмическая производная гамма-функции, С = 0,5772... — постоянная Эйлера. Уровни имеют определенную четность. Для нечетных состояний чг (0) = О. Чтобы удовлетворить этому условию, значение выражения в квадратных скобках в (16) должно быть бесконечным. Так как ф(г) обращается в бесконечность только в точках з = — й, где й = О, 1, 2, ..., причем ф (г) яе — (х+ й) ' при н -~.
— й, (17) то замечаем, что для нечетных уровней ч принимает значения т„ = и с и 1, 2, ... Соответственно, спектр таких уровней ń— лга /25 и совпадает со спектром з-уровней в центральном поле П = †/г (как и следовало ожидать, см. 4.1 и 2.5). 448 Для четных уровней частицы согласно выражениям (151 в (16) получаем — — — 2ф (1 — ч) + 2 — 4$'+ 2 1и — ()а .
(18) 1 ч ч и. Их спектр существенно зависит от значения параметра (). Ограничимся анализом двух предельных случаев. Пусть () .» О, причем ()аз > 1. Имея в аиду соотношение (17), замечаем, что в этом случае четные уровни лишь слегка сдвинуты вниз относительна нечетных уровней. Записав ч„+ =и+ йчп, согласно уравнению (18) получаем Ей — та /2й (и+ач„), Ьч„т — 2/йлш и =1, 2, ..., (19) причем )Ьчп(« 1. Эта же формула справедлива и в физически более интересном случае () (0 с (5(аз ъ 1 (см.
«обрезание» кулоновского потенциала, рассмотренное в п. 2)). Теперь четные уровни (19) слегка сдвинуты вверх относительно нечетных уровней. Однако в дополнение к ним появляется еше один, «глубокий» уровень Ео+, для которого из уравнения (18) находим чо+ — = то яз — (йав + 2 1п (! 5 ! ав)) « 1 (29) и соответственно Ео" — тат/2 йтчт. (21) Именно этому уровню отвечает второе слагаемое в формуле (5). Определив из него значение параметра 8, согласно выражению (!9) можно получить спектр четных возбужденных уровней продольного движения для водородоподобного атома в сильном магнитном пале. Глава 9 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 9.1.
а) Для линейного осциллятора элементарное интегрирование в формуле (1Х.5) дает Е, = йш(п + 1/2), чта совпадает с точным результатом. б) Для указанного потенциала интегрирование в (!Х.5) с помощью подстановки а позволяет получить Еп = з ~~~/ 1" (и+ )) ' (1) В точном результате под корнем стоит 2т(/,аз/йз+1/4, так г-4ю '«»'7У»« 15 и. м. Гэаэчаэа в хр. имеется много связанных состояний, квазиклассическяй и точный результаты мало отличаются друг от друга и для «!. Более топь квазикласснческий результат неплохо воспроизводит точный спектр даже в том случае, когда в потенциале имеется всего 3-4 уровня д, с.
Действительно, максимальное значение « опРеделЯетсЯ тем, что «+ !/2<5, т. е. «п,ахваз пРи 5 » 1; при этом различие точного н квазнклассического результатов проявляется в слагаемом Ч/йз + !/4 — $ яэ 1/8 $ на фоне квазикласснческого выражения $ — («+ !/2) в формуле (1). 9.2. Сшивание квазнклассическнх решений в окрестности пра. зой точки поворота (остановки] х = Ь производится обычным образом с помощью формул (!Х.З). Теперь, однако, выражение для в. ф.
при х ( Ь справедливо, вообще говоря, н для значений х, непосредственно примыкающих к левой точке поворота, х = 0 (которая уже не нвляется точкой остановки!). Использо. ванне граничного условия Ч'(0) = 0 приводит к правилу квантования — ~ ц/2«з(ń— (/ (х)) Нх=п ~«+ — ), « =О, 1, ... (1) ! Г Зч 9.) 4) о Подчеркнем, что изменение условий сшивания отражается лишь на величине квазиклассической поправки: « + 3/4 вместо « + !/2 в правиле квантования (1Х.5). Заметим также, что соотношение (1) можно получить и из правила Бара — Зоммерфельда, примененного к нечетным уровням в симметричном потенциале (/ = У()х!) (т.
е. заменив в нем « на 2« + 1, сравнить с 2.5). Для потенциала У = Рх при х ~ 0 согласно (1) находим ( 8 ) («+4) еь зо=( — „, ) . (2) Этот квазнклассический результат мало отличается от точного для всех значений « (а не только при « » 1). Так, значения Е„/з, по формуле (2) для « = 0 н ! равны 1,842 и 3,240; точный результат дает 1,856 и 3,245 (квантование согласна (1Х.5) приводит, особенно прн « 1, к существенной потере точности: 1,405 и 2,923 вместо приведенных выше значений).
9.3. Для радиальной функции, Х = гР« з, з-уровня (см „« (11/.5)) имеем прн г ( Ь Г с х (')-— « о р,=,)/'2«г (Е„о — У (г) ) (у = 0 в отсутствие п. и. р.), так что при г-~-О Хв (г) яэ С ~з1п у+ ( р соз у) г~ (прн этом ввиду квазиклассичиости достаточно учесть зависимость от г лишь в аргументе синуса н заменить р(г) на р(0)). Сравнивая это разчожение с граничным условием из 4.10, определяющим п.н.р., находим у = — згс(н(р(0)а,/й). Сшивая теперь согласно (1Х. 3) функцию (1) с убывающим в классически недоступной области решением, приходим к правилу кванто- вания 1 — ') 4/2ш (Е„о — У (г) ~ г(г = о ( 3 1 рз„(0)ОО 1 = и и, + — + — агс12 " ).
(2) 4 и Й находим сдвиг уровня под влиянием п, н р 60 1о1 Ь вЂ” 1 где юз11 — ~ — — частота радиального движения 1О1( ) ~ о з класснчесной частицы с равным нулю орбитальным моментом в потенциале У(г). Используя соображения а нормировке квазиклассическнх в.ф. (сравнить с (1Х. 6)), этот результат можно представить в виде (чг = х/ч/4пг) дЕ е — ~т~~1ео(О) ~хоо (3) 15э 451 При ае — — 0 это соотношение определяет спектр Е1 1о для з-уровней в потенциале У (г) (без п. н. р.), В случае ~ р„(О) а /6 ~~1 "г значение арктаигенса в (2) также мало, соответственно мал и сдвиг уровня. Записав Ез о=Е„со+ оЕ„Ь и выполнив разло(о1 "г г г жение радикала в (2) Ь Ьг что соответствует сдвигу уровня согласно теории возмущений по длине рассеяния, см.
4.29. В случае ( рнт(0) ао(й (,»1, наоборот, сдвиги уровней ве. лики я сравнимм с расстоянием между невозмущенными уров. ними в потенциале ()(г). Это особенно наглядно видно при значении ае = со. Физическая выделенность этого случая определяется тем обстоятельством, что в п. н. р. имеется «мелкий» реальный (при а» » 0) нли виртуальный (прн а» ( 0) уровень с энергией Ео яа — 6»/2та~, сравнить с !3.49, такого же порядка величины, как и у рассматриваемых уровней в потенциале ()(г) (так что возникает своеобразная резонансная ситуация). В заключение заметим, что в.
ф. (!) относится к случаю Е ) (!», который только и может реализоваться в отсутствие п. н. р. Прн налични п. н . р. следует рассмотреть и значения Е ( (!», При этом в.ф. при г ) 0 описывается убывающей «квазнкласснческой зкспонентой» вместо (!). Как легко заметить, такое решение существует лишь прн значениях а» ~ О и отвечает энергии Ео — й тйтао+Уо, описывающей сдвинутый на (!» уровень д. с., имеющийся в изолированном потенциале нулевого радиуса.
9.4. Удобно раздельно исследовать спектры четных н печет. ных уровней. Для нечетных состояний Ч'(0) = О, При этом, имея в виду условия сшивания для б-потенцнала нз 2,6, замечаем, что производная в. ф. непрерывна в точке х = О. Поэтому частица в нечетных состояниях не «чувствует» б-потенциала, а спектр нечетных уровней определяется правилом квантования (1Х.й) для значений л 2й + ! (здесь й + ! — порядковый номер нечетного уровня): Для четных уровней условие на скачок производной в.ф. принимает вид Ч" (О+) = (та/йз)Ч'(0).
Используя при х > 0 лля в.ф. выражения (1Х.З), находим Ь Ь м~ та . ~! Я 4лз й !ий — р (0) соз — р (») й» + — = — з!п — р (х) г(» +— 4 о о (ввиду квазиклассичности достаточно дифференцировать лишь по х в аргументе синуса). Отсюда, вводя !9'у та/р(0)й, получаем правило квантования для четных уровней с и = 2)а "/2 (Š— ~Ю!) 1 ! та ай (й+ — + — агс1н — 1. (2) и р„' (О) д /' /зр~ 4та Т(Ео,ь) )/2т(Еэ,ь (!с(0)) (3) что совпадает с а ~ гуо+ э(0) )з и соответствует результату теории возмущений для (г аб (х); здесь Т (Еэ+ з) и Ч'о э (О) — период движения и в. ф, при х = 0 в потенциале (/э(х) для четных состояний (см.
(!Х. 0)). Рассмотренный выше случай соответствует слабому огра. жению (Й ~ 1) от б-потенциала, коэффициент прохождения которого равен (см. 2.30) )) (р) = (1+ тзаз/Дзрэ) С увеличением а сдвиги четных уровней возрастают и при значениях та/йрэ+ (0) ~ 1 они сближаются с соседними сверху нечетными уровнями, Это — случай малопроницаемого барьера, а ) О. Подставляя р,' и р; (о) -т'ы~~; - и, э) и правую часть в соотношении (2) и используя разложение асс!их и/2 — 1/и при х Ф 1, находим согласно (2) и (1) расстояние между соседними четным и нечетным уровнями в этом случае: ОЕз = Š— Еэ яа г/2л1 (Ез — (/о (0)), (4) 4йз таТ (Е ) или, учитывая выражение для Р(р), ОЕ, — — !)!Р (р,— (О)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
