Galitskii-1992 (1185113), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Так как ЛЕн оэср, то я в разложении левой части в (1) по полю д' следует учесть члены второго порядка. Для нк вычисления преобразуем левую часть соотношения (1) следующим образом: -' — '~ — '~-м' -.— .+")г"= 3 дЕ(о1 ) 2аг 2 д Г 1'Рп(х) 3 яэ — — ') ~ — + — р„(х) (ЬЕ„+ еЕх) + 3 дЕа~ ( 2ш 2 + 4 (еЕх)'~г(х, (2) Рз где р„(х) =л/2щ(Е~",~ — У(х)), а ~ а — точки остановки для иевозмущеиного движения.
Первый член с р„(х) в разложе- 3 нии (2) воспроизводит правую часть в выражении (!), второй равен г/зТ(Е~~))ЬЕл, а третий определяет искомое смещение уровней, так что 'Е' а хз бх — — — р Ее=в 2 Т (Е„) дЕ1Щ ~ ~2щ фс1 (Г (х)~ (3) Здесь Т (Ез11) — период невозмущенного движения, ))„— поляризуемость я-го состояния, определяющая среднее значение дипольного момента системы г(,~ = )),Ю, индуцированного внешним электрическим полем. Согласно (3) поляризуемость равна (при Е Е~~1) е' д Р(Е) - — —,(Т (Е) х'), Т (Е) дЕ (4) где х' — среднее за период классического движения в потенциале ()(х) значение величины х' Классическая интерпретация этого выражения основана на рассмотрении среднего за период значения дипольного момента 1 Х, ех ~уклас (Е) ° $ ~Гх, Т(Е) з о(х, Е) Разлагая здесь, как и в (2), интеграл по степеням ет, приходим к соотношению д ...
= ))Ь', где () определяется формулой (4) (отметим также, что полярязуемость определяет изменение энергик классической системы при медленном включении поля, ЬЕ = — '/г()Ет, в согласии с (3), сравнить с предыдущей задачей). Для осциллятора Т(Е) = сопз1, а хэ = Е/шюз (как это следует, например, из теоремы вирнала); при этом р„= езуса, что совпадает с точным квантовомехаиическим результатом, см, 2.2.
Для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме Ци — е а /24Е~,)< О, здесь а — ширина ямы. 9.12. Записав Е„= Е1е1 + Ег„'1+ Е1т), (1 = Е (х) + У (х) и выполнив в формуле (1Х. 5) разложение способом, аналогичным использованному в предыдущей задаче, находим Еф= У (х), Е~~~ — гГТ (Ез1) [(1' (х)) — (у (х)) )). 2Т ~Е1с>) ОЕ1с1 Здесь черта означает усреднение соответствующей величины по периоду движения классической частицы в потенциаче ()е(х) с энергией Е„, определяемое соотношениеи (о1 Для осциллятора, ()е = лгю'х'Г2, с авгармоничностыо У= ах' находим У(х) = 0 и ь ы азха ох 3 (' Е1с1 ~з (у(: ))з=— л З л~2е1Е>~т — ытхт 2 ятю / Соответственно Е1,'1 0 и согласно (1) (3) что лишь значением последней, равной !14, квазиклассической поправки отличается от точного выражения, в котором она равна 11у30 (таксе различие согласуется, естественно, с квази.
классической точностью, обеспечиваемой правилом квантования Бора — Зоммерфельда, сравнить с 9.13). При этом квазиклассический результат хорошо воспроизводит точный и для состояний с а 1 (исключая лишь случай л = 0). 9.13. Искомое уточнение правила квантования может быть получено, если прн выводе правила Бора — Зоммерфельда, изложенном в книге Ландау и Лифшица [1), воспользоваться 462 более точными квазикласснческнми волновыми фуикциямн, учитывающими следующую по Я квазнклассическую поправку. Укажем, какие при этом воэннкают изменения в соответствующнк формулах из $47, 48 в [1!. В.ф.
справа от правой точки остановки'е) х Ь вместо (47,1) теперь имеет вид х С 1щй Р Ч' екр — ~ рдх — — —— 2ч/ — !р [ Я ~~ 4 3 х !я дз Г Рз — — — ~ — дх, (1) 24 дЕз ) р з где Р = — Н(//дх; здесь использовано выражение (46,1!), запи- санное в более удобном для дальнейшего виде: малые квази- классические поправки внесены в показатель экспоненты и уч- тено соотношение !Ят' Р' !Я дз Г Р' — Нх = — — ~ — Ых 8 рз 24 дЕ' д р (на вещественной оси при х ) Ь значение р(х) — мнимое, при- чем !р ( 0). Переходя в область классического двяження по контуру в комплексной плоскости х, как и в [!], получаем волновую фуикпию при и) х ~ Ь С 1!Г ЯР = = з!и ~ — 1 Р пх+ — —— 1/р [Я1 4 рз Я дз ГРз н1 — — — ~ — дх 4— 24 дЕз,) р х (2) Аналогичным образом из сшивання с решением, убывающим при х-ь — ао, находим волновую функпию в области х а х С' .
1 1 Г шЯ Р ~аг = = 5!и — ~ р дх — — —— — 3 к Я дз Г Рз н1 — — — "— .+ — 1. (3) 24 дЕз д р 4 ~' е ") Отметим, что используемое нами обозначение а, Ь левой и правой точек остановки отличается от принятого в [!). н) Обращаем внимание иа необходимость выбора в интегралах квазиклассического решения (2) в качестве верхнего предела интегрирования точки остановки х = Ь. и из условия совпадении выражений (2) и (3) приходна( к пра- вилу квантования 1 (' / 13 й дт 1 гз — ~ р тх и и+ — ) + — — ~ — дх. (4) й.) 2У 24 дЕз 3 р Так как последнее слагаемое выступает здесь как поправка, то записав Е„=Е„' +ЬЕл, где ЬŠ— связанное с ним изменен.-з вие энергии уровня, и выполнив в левой части разложение по ЬЕ, (сравнить с 9.3), получаем ь йа д' 1' (и'(х))ада 12т (е) деа 3 л/2т (е — (1 (х)) (н„дв,-з и (в правой части (4) изменением энергии уровня можно пренебречь), что совпадает с приведенным в условии задачи выражением.
Рассмотрим некоторые приложения формулы (5). Для осциллятора имеем ()' = тызх; при этом ((г') а = ты'Е н так как Т = 2п/ы = сопз1 (не завнсит от энергнн), то находим ЬЕ = О. Это — естественный результат, так как для осциллятора правило Бора — Зоммерфельда воспроизводит точный спектр н более высокие понравки по й должны отсутствовать. Для осциллятора с ангармоничностью ()хй выполняя в формуле (5) соответствующие разложенвя, находим для линейной по р части сдвига значение ЬЕл = Врйз)Втзыа, объединяя которое с выраженнем (3) из 9.10, приходим к ре. зультату для поправки первого порядка теории возмущений Е„, 11) совпадающему с точным.
Аналогичным образом, для ангармоничности вида У = ахэ по формуле (5) получаем ЬЕл = — Уаайз/1бтза' для квадратичной по а части поправки, которая совместно с выражением (3) из 9.12 воспроизводит точный результат второго порядка теории возмущений. В заключение укажем еще одни способ вычнслеввя квазнклассических поправок более высокого порядка по й в правиле квантования, основанный на исследовании эквивалентного уравнению Шрйднигера нелинейного уравнения Х у- (Ц вЂ” Еп) — Х 2л> а й (6) для логарифмической производной в.ф.
Х= Ч"/Ч'. При этом у = — Ч/2л>(У(х) — Е )/Н вЂ” Х'(х) (7) (о выборе здесь знака см. ниже). Интегрируя соотношение (7) по контуру, проведенному в плоскости комплексного переменного х так, что он охватывает отрезок вещественной оси между точками остановки а н Ь, и используя теорему о вычетах, получаем Здесь учтено, что полюсами функции Х(х) являются нули в.ф., число их равно л, а вычет в каждом из полюсов равен 1.
Соотношение (8) является точным (для аналитических потенциалов) н справедливо при достаточно проиэаольнои выборе контура С. Однако для дальнейших преобразований удобно сначала выбрать его ие слишком близко от отрезка вещественной оси между точками остановки. В этом случае в выражениях (7), (8) на контуре интегрирования слагаемое с Х' выступает как поправка. Действительно, непосредственно вблизи отрез. ка (а,Ь) на вещественной оси функпия Ч"(х) имеет осциллирую- /1 щий характер, Ч'«о з>п ~ — (» ра>а+ у) и величины Х' и Х'— ~д ) одного порядка При удалении же в комплексную плоскость в волновой функции «выживает» лишь одно, растущее экспонснциально слагаемое (сравнить с (1]).
При этом Х = Чг'/Ч» уже не содержит быстро изменяющегося множителя и производная Х' оказывается малой величиной порядка «>д/«>а~1 по сравнению с Х'. Соответственно в этом случае уравнение (6) можно решать последовательными итерациями Х = Х>о>+ Х>'>+ Х>з>+ и найти Х 2Х>о> 2рэ (0) Х вЂ” р» (х) (а> й и 82 1»' Х'"= Х» 1 —" 2 2ра 470 Здесь, как обычно, ра = -~/2т (Ем — У (х))). Точки остановки а, Ь длн функции р»(х) явлнютси точками ветвления. Для однозначного определения р„между ннмв следует провести разрез вдоль отрезка (а,Ь) на вещественной оси х.
При этом на верхнем берегу разреза р, > 0 (на нижнем уже р„< 0). Заметим, что можно записать рз = — 1 «12т ((г (х) — Еа)), где фавв У(х) — Е„справа от правой точки остановки Ь на вещественной оси х выбрана равной нулю; это согласуется с выбором знака в (7), так как )((0 при х ) Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
