Galitskii-1992 (1185113), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Однако если усредннть это распределение уже по небольшому интервалу импульсов, то интерференционный член пропадает и получается 1 1 ') Ыр ч ш (х~ (р)) ш (хз (р)) ) тТ (Ез) ра чь р < ре (б) (здесь ш ) 0). Это выражение допускает простую классическую интерпретацию. Действительно, переходя в выражении г(Ф'«« = (Щт(е) от времени движения сгг вдоль траектории к изме. нению при этом импульса частицы сИ = (М(г(Р) НР ш ИР/шш (Р) и учитывая двузначность зависимости ш(Р) от Р, приходим к распределению по импульсам классической частицы, совпадаю- 476 щепу с выражением (6) (сравнить с классической вероитиостью г(йт~е = йг(х/То(х) для координат частицы). 3.16.
Основной вклад в искомую вероятность вносят области, непосредственно примыкающие к точкам остановки, где иа. рушается квазиклассичиость. Рассмотрим точиое решеиие у.Ш., осиоваиное ка лииейиой аппроксимации потенциала в окрестности этик точек. Вблизи правой точки поворота, х = Ь, у.Ш, принимает вид Ч " (х) — , (х — Ь) Ч'(х) = 6, 2т ) Р (Ь) ( Ьэ где 1Р(Ь) ( — У'(Ь) Е ()(Ь) Замекой пеРемениой = (2ш(Р(Ь) 1/Ьэ)цз(х — Ь) приводим (1) к виду Ч'"(х) — яЧ'(х) О. Решение этого уравнеиия, убывающее в глубь классически заярещеииой области, выражается через функцию Эйри, т.
е. Ч' = с А1(я). Ее асимптотики 'э) — е 1 уо !)э гч я.э 1, А! (х) ж (2) 1, l пч э!п ~~+ — у), — хЪ 1, поз(х(!Ы 'ч 4) где (,= — (х~, Теперь иэ сшивания решеиии с иормироваи- 2 эж 3 иой на единицу квазиклассической волновой фуикцией (1Х. 6) находим с = 2л (аз/) Р ) 3)Цз Т ! (Е„) и для вероятности нахождения частицы в классически запрещеииой области справа от точки остаиовки х Ь получаем ю~ = ~ !Ч'(х)(асах мг — !ч — г! ~ (А1(г))эбх. 2м / 2шй ЧЦЭ Г Т(Еп) (.Рэ(Ь)) .) Ь з х 1 'э) так как при этом ь = — ~ р(х) ых, то из (2) следуют 3 Ь приведеиные в (1Х.3,4) условия сшивания квазиклассическик решений (область (Ц:3 1 — уже область квазиклассичиости).
Используя связь функции Эйри с функцией Макдональда: А! (я) = ч'я/Зцз к!аз (ь), где ь = — ) я ( м, и известное значение 2 з 3 интеграла ~ в "К (х)ев (см. (33, с. 707)), находим искомую о вероятность Зчзр (2 3 где для потенциала приведенного на рис. 22 вида учтены обе классически запрещенные области; Г(г) — гамма-функция, при этом Г(2/3) 1,354. Для осцнллятора (/ гпы'хз/2, Е = йю(п + 1/2) имеем Рз(а) =Ез(Ь) = 2лгдюз (л+ 1/2) и согласно (3) получаем ю„=0,134(н+ 1/2) Вз.
(4) Как и обычно, квазиклассический результат имеет достаточно высокую точность и для значений а 1. Так, для основного и первого возбужденного состояний осциллятора из формулы (4) следует юз яз 0,169 и ю~ ~ 0,117, в то время как точные значения этих вероятностей равны О,!67 и 0,112 соответственно. 9.17. В приближении (1Х .6) для волновой функции получаем 2 ( Р (х)г(х Ч/2гн ( Р (х)г(х Т (Ее) ,) о (х) Т (Е ) ) Ч/Е„ (/(х) ' е а так что квантовомеханическое среднее совпадает со средним значением за период движения в классической механике.
Для линейного осциллятора, У = тызхз/2, по формуле (1) получаем хз аз (и+ ! ), хз = аг (лз+ и+ — ), (2) где аз = Д/тю (для вычисления интегралов удобно сделать подстановку х = ч/2Еь/лгюз гйп Ч~). Значение х'совпадает с точным; отличие квазинлассического среднего х' от точного только в том, что в последнем вместо слагаемого 1/4 (в скобках) фигурирует 1/2. Зги результаты согласуются с квазиклассической точностью выражения (1), обеспечивающей правильные значения первых двух членов разложения по параметру !/и рассматриваемой физической величины; сравнить с 9.10 и 9.13, 9.18. Воспользуемся для волновой функции приближением (1Х.6) и выразим синус через экспоненты.
Теперь заметим, что х гб 5!п ') Р г(х 1, 11( ч/р (х) х 1" - (-) ")- а х "" - ° -(-.~ ")1 О так как ввиду квазнкласснчности следует дифференцировать лишь экспоиенциальные сомиожители как наиболее быстро изменяющиеся. Аналогичным (1) выражением, с заменой в правой части (~Р(х))' на Е(~р(х)), описывается результат действия иа в. ф.
оператора Е = Е (Р). Теперь вычисление среднего Е сводится к вычислению четырех интегралов. Два из них содер- 21 ( жат быстро осциллирующие множители, со екр ~~ — ~ р Ых~ ° й .') поэтому они малы и могут быть опущены. В результате полу- чаем 2 ( Е (р(х)) — Е ( — р (х)) 1 ДЕ (р (х))бх Гл«т(Е ) о(х) Т(Е«) У о(х) (2) что совпадает со средним за период движения значением рассматриваемой величвны в классической механике'з), Для осцнллятора согласно (2) находим — 3 1 к Р4 — (шйю)з ~~«з+ «+ — ) (З) Р'=г«(«+Я, ~з) Его можно записать также в индер«« ~ Е(Р) г()к«(Р) где распределение вероятностей для импульса определяется результатом из 9.!5.
Значение Рз совпадает с точным, а Р4 отличается от точного лишь значением поправки на фоне «' + «: в точном результате она равна 1/2 вместо 1/4; см. замечание в предыдущей задаче ио поводу точности квазиклассического приближения при вычислении средних. 9.19. Искомая оценка следует нз правила квантования (1Х. б). Имея в виду, что интеграл в нем по порядку величины равен (Ь вЂ” и) р„„где р„р — характерная величина импульса частицы, и учитывая, что Лх (Ь вЂ” а)/2, а Лр р„р (так как р = 0), получаем Лх ° Лр — й ( л+ — ) м г 1ч 2 (, 2/ (мы сохранилн здесь 1/2 на фоне л, чтобы использовать эту оценку и при л 1, в том числе и при л = О). Точное квантовомеханическое значение»«) ч/(бх)з ° (бр)з для осцнллятора равно й(л + 1/2) (для всех л), а для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме нйл/2(/3 при л ~ 1.
9.20. Доминирующий вклад в значение матричного элемента вносит область интегрирования между точками поворота и прн его вычислении можно воспользоваться выражением (1Х.6) для в. ф. Ввиду предполагаемой близости состояний л и т значения точек поворота и частоты движения для них можно считать одинаковыми и получить при этом ь х ° - аГР(х) 11 Р чг РЧ' ахен — ~ — соз — ~ Гр — р )дх' г(хтл 1 аг а гт ) о (х) ~ й ) ( гв а) а а Ь х м Г Р (х) 1 1 à — — 1 -~ — соз — 1 (Рм+ Ра) дх' сх.
(!) н3о(х) ~03 а а Подынтегральная функция во втором слагаемом быстро осциллирует (ввиду т,л л 1), так что его значение пренебрежимо мало. Учитывая, что в квазиклассическом приближении разность энергий соседних уровней равна Лы, находим рт (х) — ра (х) ке йы (лт — а)/о (х), после чего получаем Ь Г х ы Г Р(х) Г г(х' Рта нг — ~ — соз ~ ы(лг — и) ~ —, с(х. (2) н з о(х) з о (х') с а Имея в виду зависимость от времени координаты классической частицы х х(1), которая движется с энергией м) ") Заметим, что 1/(б/)з ~>1 /(' м) Физически естественное использование такого «усредненного» значения энергяк классической частицы обеспечивает выполнение условна эрмвтовоати, Р , Р Е (Е +Е„)/2, сделаем в (2) подстановку !=1(х), что дает гп 2 ( Рмз — — — 31 Р (х (1)) соз [ы (т — л) 1) г(Е Т3 е или г Р „= — ~ Р(х(!))е е1~ "1 б!=Уз „(3) а (начальный момент времени выбран так, что х(0) = а; изменению Г от 0 до Т(Е) = 2п/ы соответствует изменение х от а до Ь и обратно).
Формула (3) устанавливает искомое соотношение между квантозомеханнческнмн матричными элементами и фурье-компонентами в классической механике. Пронллюстрнруем точность соотношения (3) на примере координаты линейного осциллятора. Для него х(1) = А совы!, так что согласно (3) отличны от нуля только фурье-компоненты х~ = х ~ = А/2. Так как энергия классического осциллятора равна Е = тытАз/2, то приравняв ее (Е, + Е )/2 и учтя, что Е, = йы(п + 1/2), находим Аз и отличные от нуля матричные элементы координаты осцнллятора в квазнклассическом приближении ! й что совпадает с точным результатом.
Аналогично для квадрата координаты, хз(1) = А'созе(ыг), находим, что отличны от нуля вишь следующие фурье компоненты: (хз)о= 2(х') =2(х') з =А'/2. Используя отмеченную выше связь А' с Е„, „(значе. ния Аз для случаев ш = и и ш чь и — различные!), находим согласно (3) отличные от нуля квазиклассические матричные алел~виты (хз) = аз р-(- — ), (хз) =(хз) = — а'[ и -(- — ~, зл [, 2)' з,л+2 л+з,з 2 ~ 2)' (4) где аз = и/2ты.
Точное значение (хз)„, совпадает с (4), а дли (х')„„ез оно отличается от (4) заменой л+ 3/2 на [(л+ 1) (и+ + 2))ыз. Как видно, квазиклассика обеспечивает достаточно вы. сокую точность и для квантовых чисел и, т 1, 9.21. Задача решается аналогично предыдущей. Теперь следует учесть, что при действии оператора р на квазиклассическую функцию достаточно дифференцировать лишь по перемен- 16 В.
М. Галяцкяа н др. 481 ной х в аргументе синуса (сравнить с 9.18). После простых преобразований получаем Т12 2 ( ь (соз(ю(т — п)1), й — четное, (Р )м" = Т 1 Р ) тт — (шп(ю(т — л)Г), й — нечетное. з Так как знаки импульса частицы при 0 < 1< Т/2 и Т/2 < < Г < Т противоположны, то оба выражения (1) можно объ- единить в одне: г 1 Т (Ра) ~ Р~ (г) е нв 1 г Ы (ра (О) а (2) Е = Ел -1- 1' (х), (б,Е)з = Уз (х) — (У (х)) ' (после включения У(х) гамвльтониан опять не зависит от времени, энергии сохраняется, а энергетические характеристики состояния остаются неизменными). В общем случае квантовомеханическое усреднение в (1) проводится по состоянию с в. ф, Ч'„(х), но в квазнкласснческом приближении оно может быть заменено более простым усреднением по периоду финитного движения классической частицы с энергией Е„ в нотенциале (/(х) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
