Galitskii-1992 (1185113), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Отметим, что при таком удалении (с изменением д) от точки квазипересечеиия, пря котором 5Ейщ(ц) — = Ейт> (ц) — Ейф(9) «йл нз (9) следует Е„(а.,» (О) = Е>О1>„., ц (р) + й ~ — (1!) 5Е!о>( ) 413 Последняй член здесь является частью поправки второго порядка теории возмущений, соответствующей учету в (У11!.1) лишь одного слагаемого, отвечающего ближайшему уровню. Воспользовавшись явным выражением для Е„, форму>в> лу (9) можно переписать в более наглядном виде. Так, в случае, когда в (9) для нижней зоны значение а нечетное (квазнпересечение уровней при д = О), имеем й / 3422 2 где й, = и(и+1)/с, а = 1,3, ... Прн ~4(<<тб /бзй„отсюда следует ') В случае когда для нижней зовы значение а четное н квазипересечение уровней имеет место при о = ~и/а, получаем аналогичные (12) и (13) выражении, но уже с а = 0,2, ..., с единственной заменой в ннх ~д( на и/и — (ч(.
В заключение отметим, что в применении к потенцвалу из 253 имеем 0 = 44 н >>, = (>х), так что энергетическая щель между соседними зонамн принимает постоянное значение (не зависит от и; здесь проявляется специфика б-потенциала, для любого другого Л -ь0 при и-~ оэ), В то же время ширина разрешенной зоны растет сс и с увеличением л. 8.33. Возмущение осциллятора имеет вид У = — ехд*(г).
Его матричные элементы Уы(Г), а соответственно и вероятности переходов осциллятора в первом порядке теорвн возмущений отличны от нуля лишь для значений й = а ~ 1, см. (11.3) (переходы возникают только между соседними уровнями). Воспользовавшись формулой (Ч1П,9), получаем (/~ 1(и+!В 2=а+1, Ж> >(а-ьГг) = .( (1) 2а>йю ( и, й=и — 1, где /(ю) = ~ ехр((мг)д'(1) Н (заметим, что >!(м) (2 не зависит от знака ю).
') Обращаем внимание на квадратячную зависимость от квазнимпульса энергии вблизи границы зоны: Е(9) — Е(0) с~ д'. 414 Для рассматриваемых зависимостей вг(!) находим (т ) 0): оо (25 а'сс т а) !(а) = во ~ ехр (!а! — — ) с(! = З/л тд'о ехр !ч — — ), тз) 4 б) ((а)=во ~ е, =лтГое 1 + (Г(т)' 12 в) ! (а) = во ~ ехр ((а! — — 2) соз (ао!) с(! = — ул тйо ! ехр ! — — (а — ао) 'с 1+ ехр ! — — (а+ ао) т 1 !. 2 2 з ~ 4 Основным условием праменимостн полученных по теории возмущений результатон является выполнение неравенства (И!1. 3), принимающего в данной задаче внд ввоз((и+ 1) 6(лса «йа см.
8.8. Соответственно в первом порядке теории возмущений возникают переходы лишь на соседние по энергии уровни, нх вероятности 2 йгс ( лс') = — ~ г (!) а !1) Г гож. г 482 ог' = вс ~ 1. (1) ') Это утвержденяе пря адиабитичвских воздействиях на систему сохраняется и в случае достаточно сильных полей, см. 8.54, 8.55. 415 Для нерезонансного возмущения это условие обеспечивает малость вероятностей переходов, %'н(л-ь й) «1. В случае же слабого резонансного воздействия (см. в)) условие малости вероятности перехода накладывает ограничение на время действия возмущения. Отметим, что прн медленном включении и выключении постоянного поля, т, е, при т оо, вероятности переходов стремятая к нулю ') (однако в случае в) прн а -ьаз онн с ростом т, наоборот, возрастают, что связано с резонансным характером действия поля).
8.34. Возмущение ротатора имеет внд )г = — с(в (Г)соз ср (42 — угол между осью ротатора и направлением электрического поля). Матричные элементы возмущения отличны от нуля лишь при т' = т ~ 1 и равны прн этом )г„,;„= — с(8' (!)(2, Значения интеграла в (1) пряведеиы в предыдущей задаче; следует только учесть, что теперь зиаченяя частот перехода е он равны (1 ш 2т)8/2! для ш' = и ~ 1. В связи с условиямн применимости полученного результата см. 8.33. 8,36.
Возмущение ротатора )г — ЙЬ (!)соз О. Используя значения матричных элементов кь„из 8.! ! (где рассматривался случай стационарного поля), по формуле (!(!!!. 9) получаем яу!'1((, т -ь !'гл) = з = — ~ ~Е(()ее п,(т Х~~ ~ ™ ', В первом порядке теории возмущений возникают переходы лишь на соседние по энергии уровни, прн этом нз-за сохранения !г значение т не изменяется. Частоты переходов равны: юг ! ! 8(Е+ !р/! и а! ! ! — — — й!(!. Значения интеграла в (1) приведены в 8.33.
8.36. Рассматривая взаимодействие ротатора с полем как возмущение )г = -Ю (!) = — гЖ (!) соз (~р — ыз!), нетрудно заметить, что результаты для вероятностей переходов ротатора во вращающемся поле получаются непосредственно из формулы (!) задачи 8.34 заменой фигурирующего в ней интеграла нз ь Р' (!) ехр Р (юм.т + шыо — ш'юе) (3 г(й Существенно, однако, что теперь вероятность перехода определяется фурье-компонентой поля д' с частотой ют'м = ют')и+ (ш щ ) ыо которая прн соответствующем значении юе может быть малов. Пря этом вероятность такого перехода прн большой длительности действия поля может резко возрасти.
Возникновение резонансной ситуации легко понять, если перейтн во вращающуюся совместно с полем систему координат, см. 6.29. В этой системе уровни энергии невозмущенного ротатора, Е„р ю —— Е,„— Йюзт, <О1 с различнымн значениями проекции момента т могут оказаться вырожденными, н медленно изменяющееся во времени возмущение может привести (при достаточной его длительности) к су- 416 щественным переходам между соответствующими состояннямя, см. 8.40, В связи с этим заметим, что значение ею;к как раз и представляет частоту перехода для рассматриваемых состояняй ротатора во вращающейся системе коордянат.
Подчеркнем, что сделанное замечание о переходах, вызываемых возмущением, источники которого «вращаются» с постоянной угловой скоростью, носит достаточно общий характер. 8.37. Исходим из формул (НП!.б) — (НП1.9), отражающих постановку задачи н ее решение в первом порядке теории возмущений. Прн этом аа„«) = ба„+ а~а) «) + а~а) «) + .. Где значения амплитуд первого приближения а!а (Г) опреде)) ляются формулой (НП1. 8). Подставив их в уравнение (НП1, 7), получаем аа!) «) = — й ~~' Иа «)а~ )„(г) е Отсюда, воспользовавшись (НП1.8) и учтя, что а~~~ ( — со) = О, находим Рк — ы (!) Вероятность перехода системы из начального а-го в конечное й-е (при ! = +со) состояние равна (й Ф а) Если а)ак) (оо) = О, то йт( ) (а — » й) = / а!ьа) (оо) ~, й Ф )', определяет вероятность соответствующего перехода, запрещенного в первом порядке теории возмущений.
8.38. Из выражения (1) предыдущей задачи с учетом значений матричных зламеитов возмущения Н = — ед'(Г)х для осцпллятора, см. (П.З), следует, что во втором порядке появляются переходы осциллятора из начального а-го состояния в конечные состояния с квантовыми числами а ш 2, запрещенные в первом порядке теории возмущений, см. 8.33. При этом сумма в указанном выражении сводится лишь к одноиу слагаемому, соответственно с т = а ~ 1.
Фигурирующие в этом слагаемом частоты переходов совпадают: ы» = ю = ~ы (ввиду 417 !4 В. М. Галицкий к др. вквиднстантности уровней осциллятора), что позволяет упрос. тить ннтегрярование, так как В результате описанных преобразований получаем где 1ь1 /(л ! П(л.(-2) н д1„1= Ъ~(л — 1) л Вероятности рассматриваемых переходов 1РЩ1(п Ь) =~а!а)в, ( ) [' Сравнение их с вероятностямн переходов, происходящих в первом порядке теории возмущений, см.
8.33, показывает, что )рчз~ [йто~)з; соответственно йг~з'/(Уо~ Ю" <<1 в условиях применимости теории возмущений. 8.39. Парадокса в действительности нет. Следует просто иметь в виду, что для вычисления квадрата модуля величины а = 1+ ао) + а'з)+ ..., представляющей разложение в ряд по некоторому малому параметру У«! (так что )а("') У'), с точностью до членов второго порядка малости включительно, с такой же точностью необходимо знать н вещественную часть') а: ( а (з = ! + 2 Квай!+ ( ай!(з+ 2 Ке айй + О [у ), ) ай1)т йеа! 1 уз [а~~~ согласно (ЧШ,8) — мнимая величина). Обсудим теперь вопрос о сохранении нормировки волновой функции системы с учетом переходов в первом порядке теории возмущений, Согласно формуле (!) нз задачи 3.37 имеем асч(г +со)=1 — — ' ~ Уаа(г)Ж— Л Тч Г гм г Г, ьв „М йт / „' У з(() е "'" ) Ума(У)е "'" ПГ'бй з) Мнимую же часть а достаточно знать лишь в первом порядке! 418 так что вероятность системе остаться при 1-ь+со в исходном л-м состоянии с точностью до членов второго порядка по возмущению включительно (к.
с, озпачает слагаемое, получающееся комплексным сопряжением предшествующего слагаемого). Учитывая, что ю = — ю„, У „(1)=Уш (1) н ~ йг ~ 1(1, 1') бг' = ~ (г' ~ 1(й 1') а, м выражение (!) легко преобразовать к искомому виду з где штрих у символа суммы означает отсутствие в ней слагаемого с т=п, 8.40, Хотя переходы системы в состояния, отличающиеся от исходного по знергии, малы, переходы между состояниями, относящимися к вырожденному уровню при достаточной длительности возмущения могут быть существенными. Возникающая ситуация аналогична случаю резонансного воздействия возмущения на систему, см.
(1, $ 40], и может рассматриваться формально как случай точного резонанса на частоте ю = О. Учитывая возможность переходов между вырожденными состояниями (не предполагая малости их вероятностей), запишем волновую функцию системы в ндлевои приближении в виде, сравнить с (Ъ'1!1.
6), гР (1) )о йг1О)+ о йг1о1~ е ' а (для краткости записи пишем 1,2 вместо лье). Как обычно, получаем систему уравнений ййп =1(1) аъ (йах 1(1) о,. (1) 14* 419 Здесь Учтено, что У, О, и введено обозначение )')з=((Е), причем функция Е(Е) считается вещественной, Из (1) следует ) — (а, ~ аз) = г — 1(Е) (а, фаз). Отсюда с учетом начальных условий (при Е = — лл) находим г а1 (е) = сов 8 (е), аг (е) = — е мп 8(е), 8(е) = — ~ ) (е') с)е' (2) 1 8 (зтн результаты при 8«! согласуются с (Т)П!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
