Galitskii-1992 (1185113), страница 131
Текст из файла (страница 131)
Из условия унитарности Ю-матрицы следует оптическая теорема й 1гп(Р, и!)(Р, и) 4 ог„(Р, и), У (Е) =, (1) — 1/а, — (!/3) ЧlйшЕ Как аналитическая функция комплексной переменной Е она имеет точка ветвления Е = 0 и ьа и полюс Рис. 51 в точке Е„для которой Е, = = — й 12лгаз. Проведя, как обычно, разрез вдоль вещественной полуоси, см. рис.
51, и выбирая фазу на верхнем берегу разреза равной ф = О, замечаем, что полюс Ед находится на физическом листе при а, .» 0 в соответствует связанному состоянию, существующему при этом в потенциале нулевого радиуса (сравннть с 2.30). В случае по ( О полюс находится на нефизическом листе и отвечает виртуальному уровню. Рассмотрим взятый по контуру С на рис. 5! интеграл 1 ( г'(Е') 3Е' 2п! .) (Š— Е) ' С (2) 754 где р = йй — импульс относительного движения сталкивающихся частиц, а и характеризует нх спиновое состояние, так что в левую часть равенства входит мнимая часть амплитуды упругого рассеяная вперед, 0 = О, без изменения сливового состояния частил, а з правую часть — полное сечение рассеяния (зключая не- упругие столкновения) нз того же / з спинового состояния.
С ~ Е ) 13.68. Амплитуда рассеяная на потенциале нулевого радиуса действия (см. !3.20) Используя теорему Коши и устремляя радиус окружности кон- тура к бесконечности, )1а -ь со, в случае а, ) 0 получаем / (Е) + ' 1 1ш/(Е ) ~Е, (3) лгаз(Š— Ез) гг 3 Е' — Е о Здесь также учтено, что величина скачка амплитуды на разрезе (при Е') 0) совпадает с 2!1ш/(Е') (на нижнем берегу разреза ч/Г= — ) ч/Е () н что значение интеграла определяется вкладом двух полюсов: в точках Е и Еь В случае аз ~ 0 полюс Е, находится уже на нефизическом листе.
Он не вносит вклада в значение интеграла (2) и теперь дисперсионпое соотношение имеет аналогичный (3) вид, но уже без полюсного слагаемого. Дисперсионное соотношение в случае потенциала нулевого радиуса можно подтвердить непосредственным вычислением. Подставвв мнимую часть амплитуды рассеяния (!), равную /й'Е 1 1ш/(Е) = ~/— и' 2ш (Ео)+ Е' Е>0, в интеграл в выражении (3) и вычислен его, получаем 1 / Лз 1 Ч/Ь' ,)Е / (Е) = — ъ/ — 1 и 2т 0 (е' — е) (! ез)+ е') й ! что в случае аз ( 0 (в отсутствие связанного состояния) совпа.
дает с амплитудой рассеяния (1). В случае же ар ) 0 приходим к амплитуде рассеяния после добавления, согласно (3), полюсного слагаемого. Установленные дисперсионные соотношения отличаются от (ХП!. 27) отсутствием борновского слагаемого /и «о ~ (/ г(У Это имеет простое объяснение. Потенциал нулевого радиуса можно получить из потенциала конечного радиуса Я предельным переходом Р О, при котором (/еРа = сапа(, так что при этом /все (/ Р~ -ьО. В потенциале конечного радиуса амплитуда рассеяния в пределе Е-ь се совпадает с борновской и дяи обращения в нуль интеграла в (2) по окружности бесконечного радиуса из / надо вычесть /ы для потенциала нулевого радиуса амплитуда рассеяния сама обрашается в нуль при Е - со.
В заключение отметим, что вычет в полюсе Е = Ее в выражении (3) равен — йз/та, = — йзАт/2т При зтомА= 1/27ао = = 1/2на совпадает с нормировочным коэффициентом в волновой функции Ч'з —— А ехр ( — нзг)И/4п г связанного состояния в потенциале нулевого радиуса, см. 4.10, в согласии с (Х!П. 27) и (ХП1. 28). 13.69. Так как согласно оптической теореме !ш ! (Е, О) = = Иа(Е)/4п, то из дисперсионного соотношения (Х1П.27) при энергии Е = 0 следует Ю 7 (Е = О) = — ~ (7 (г) с(У + — ~ .
(1) т (/2ш ! о (Е) 4Е 2пд' 3 4 гй ) 1Е о Здесь также учтено, что в отталкнвательном потенциале, (7(г) > О, нет снязанных состояний. Отсюда, ввиду того, что в таком потенциале )(Е = О) ( 0 (см. 13.16 и !3 31), сразу приходим к приведенному в условии задачи неравенству Заметим, что в случае «слабого» потенциала, (уз << дз/тР», рассматриваемое неравенство представляется достаточно очевидным (так как 7 со (Го, а и со Пз/ и должно выполняться зх с большим «запасом». Однако для «сильного» отталкивательного потенциала, (/с » йз/тЩ уже 4') (/з(»)/(Е = О) ( и значения обеих частей неравенства близки друг к другу, так что в этом случае 1 (-.) ИЕяк 4п' ' ~ (/ (г) г'6г.
о (Е) «/2ш о ~ о (2) м) Так, для прямоугольного потенциального барьера радиуса Я при ()»-» оа имеем также и (/з( -» со, в то время как при этом 7 (Е = О) = — )7 = сопя!. 766 В заключение укажем, что из соотношения (1) следует полученный ранее в 13.!6 другам способом результат о том, что в отталкнвательном потенциале борновское приближение при энергии Е = 0 дает завышенное значение сечения рассеяния. 13.70. Пока в потекцнале притяжения нет связанных состояний, справедливо соотношение (!) из предыдущей задачи, однако теперь все три слагаемых в нем уже положительные.
Отсюда, в частности, следует результат из 13.16 для потенциала притяжения. Далее, отмеченное в условии задачи неравенство в случае «слабого» потенциала должно выполняться с большим запасом, сравнить с предыдущей задачей. Однако при приближении потенциала к «критическому», когда появляется связанное состоянве, имеем /(Е = О) -» са; при этом !(Е = О) » /в н значения обеих частей неравенства уже близки друг к другу, так что — дЕ яз и ~/ — и (О) . и (Е) / 2пйз ч/Е Ч Впрочем, это соотношение в сяучае существования в потенциале «мелкого» реального нли виртуального з-уровня достаточно очевидно заранее.
Согласно (ХП!.!6) при этом в области малых энергий сечение рассеяния и (Е) яз 2пд'/т (Е + ео), ео < йз/тЕз аномально велико. Именно зта область вносит доминирующий вклад в значение интеграла; вычислив его, убеждаемся в справедливости соотношения (!). 13.71. Итерационная процедура вычисления амплитуды рассеяния / = ~ /Ш рассматриваемым способом состоит в следующем. Сначала по известной амплитуде первого приближения, /О> = /з, с помощью условия унитарности (ХП1.26) находим мнимую часть ампяитуды второго приближения '») 1ш/<2~(Е, дз), а затем, используя дисперснонное соотношение при д' ть О (аналогичное (Х1П.27)), и всю амплитуду /<2~ в целом. Подобным образом вычисляются и члены более высоких приближений.
В частности, вра значении дз = О таким способом сразу находим 4Е' /!ю(е, д'=О)- — 1 1 /',( )1. (1) дп ,1 .)/Е' (Е' Е) Здесь мнимая часть амплитуды рассеяния с помощью оптнческон теоремы выражена через сечение рассеяния в борновском приближении н во избежание загромождения формул использована система единиц Д = 2т = 1, при этом Е = йз. Борновская амплитуда /з записана в виде /в(дт). С другой стороны, во втором порядке теории возмущений согласно результату нз !3.!О имеем 1 Г /зв(/й — н)2) 2п' з к — Е (н;Ч/Е ) — ф (к) Нх. (2) = 2п ~ ,(Е (н Е) (н — /Е ) м) При этом, в принципе, получающееся выражение определяет мнимую часть амплитуды и при «нефизических» значениях энергии О ( Е < йздз/От.
757 Для доказательства равенства приведенных выражений выполним во втором из ннх следующие преобразования (заметнм, что прн Е- О равенство становится очевидным, если в соотио. шепни (1) выполнить интегрирование по частям). Прежде всего «внутренний» интеграл в формуле (2) разобьем иа два, с точкой х = О в качестве одного из пределов интегрирования. Далее, в первом из получающихся при этом слагаемых сделаем подстановку 2м' = н + ц/Е, а во втором 2н' = м — З/Е, В возникающих интегралах по к' опять разобьем области интегрирования на две: одну в пределах от О до сс, а вторую — в пределах от О до ~ ч/Е /2.
Вклады вторых областей интегрирования взаимно сокращаются, а сумма вкладов первых из ивх после подстановки Е' = (х')' воспроизводит формулу (1). 13.72. В разложении амплитуды рассеяния (Х111. 9) по парцнальным волнам имеем неравенство (чь) (!//г, так что в соответствии с условием задачи получаем ш (/(lг, О) (( — ) (21+ 1) / Р (соз О) (. (1) 1-0 Отсюда, заменяя суммирование интегрированием, для углов 0 = О и и находим )/)~/.от,/й=йЕт, О=О; и.
(2) Для углов рассеяния О, не слишком близких к О н м, имеем (см. (1, $49]) ( Рг(соя 0) (((2/я! з!и О)!/ и аналогичным образом получаем 4( 2 )!Гт (3) Заметим, что из-за осцилляпии цолиномов Лежандра прн О Ф О такое ограничение для произвольного угла рассеяния представляется слишком слабым и должно выполняться с большим запасом. Действительно, вытекающее нз неравенства (3) ограничение на величину полного сечения упругого рассеяния, и„= = ~ )/(зп() (СЕз ° й/7, вообще ие представляет интереса, так как заведомо пм е оья т 4п/тт, а значение лк » 1. 13.73.
Из выражений для парцнальных сечений (полного я упругого рассеяния) и!!е) =2 (2!+ П,1 (1 — ВеЕ!), зте! ~ж(2/+ 1) йз ! 1 Е! ( =и (2!+ 1) — з (1 — 2 (те 5!+(81(з) следует, что при заданном значении и т величина о; нннн(г! о 1 мальна при !щи! =О. Соответственно г и,! — — ~ тг,! ) 6 ! — — †, ~ (2! + 1) (1 — аг), 03 и чч 3 г 1-о где он = Ке Еь Для отыскания минимального значения пм как функции переменных а, при заданной величине а г ог,т тч !!1 1 воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа и введем А(а,) = оы — Хоыь Из условий экстремума (теперь все переменные он можно варьировать независимо) для А(оз) находим пю = сопз! = и (не зависят от !). Заменяя суммирование по ! интегрированием и исключая а из выражений для ои и аыь получаем неравенство 2 ое! > щ(п йе! = 4 Кз оюг пК Как отмечалось в 13.53, в теории сильных взаимодействий элементарных частиц установлено ограничение на возможный рост радиуса К взаимодействия с увеличением энергии: К ~< Кр1п (Е)Ез) при Š— ь оо, (2) так что неравенство (!) принимает вид пе! (Е)~)Сото!(Е)/!и 1 Е ~1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
