Galitskii-1992 (1185113), страница 128
Текст из файла (страница 128)
[1, $ Зб), при обрезании потенциала на расстоянии г = /т переносится в амплитуду рассеяния в виде множителя ехр(2(Л(/()). Соответственно, исключая его из выражения (3), получаем амплитуду рассеянии тга 1я! 2зза ГФ1а, о) йояз ' 2а и 2а (а( 2а и а Ф (Я, и) = — — 1п — + — 1п — — — + — —, до 2Я йо йо Яо 2 )а) ' уже не зависящую от радиуса обрезания и совпадающую, как и следовало ожидать, с амплитудой кулоновского рассеяния") а Г(1+!а/йо) Г 2/а О ! 2тоо з1по (О/2) Г (1 — (а/йо) (, /!о 2/ ' см. [1, $13Б), в квазнклассичсском случае )а(/йо » 1 (причем для всех углов рассеяния, хотя формально эйкональное приближение применимо для углов О ц Яо/)а[).
1З.ББ. В приближении эйкоиала амплитуда рассеянии овнсывается выражением /[й,й )= гй ( Г'1 — 1 — ехр — — з! (/(Р,а)аз е д а р, (1) 2а„!з[ ~ йод ") Здесь отношение гамма-Функций определяется лишь их фазами, которые легко найти, если воспользоваться известными асимптотиками для (п Г(а).
24 В. М. Гоаацкиа а др. что, как и в условиях применимости борновского приближения, совпадает с формулой Резерфорда (для углов рассеяния О к 1). Заметим в заключение, что необходимость «обрезания» потенциала и отсутствие предела при /т-» «о для амплитуды рассеяния (но не для дифференциального сечения) связано с медленным убыванием кулоновского потенциала, так что иа больших расстояниях волновая функция не переходит в в ф свободной частицы.
Возникающее при этом искажение, Равное Отсюда с помощью преобразования Фурье получаем Ю вЂ” ( и(~,*)гг)-1.~ — '~ (/О, О Г (2) Подставляя теперь в формулу ()) потенциал У (г) = У, (г — а/2) + У, (г + а/2) и переходя в получающемся выражении к однопентровым амплитудам рассеяния /аз на потенциалах Уьз(г) согласно соотношению (2), получаем амплитуду рассеяния на двух центрах в эйкональном приближении 1 / (й, Ч ) = /, (й, П ) ехР ( — — Ц ьаь) + + / (й, Ч ) ехР ( — й„аь) + чх + — ~/1~а, х + — )/ ~й, — к + — )ехр( — 1м а ) /ти (3) здесь а, и — составляющие векторов, перпендикулярные направлению импульса падающих частиц пз, так, а = а)п + ах. Для приложения формулы (3) к вычислению амплитуды упругого рассеяния частицы на связанной системе из двух центров (т.
е, на некоторой составной частице), ее следует усреднить с волновой функцией Ч'е(а) составной системы, т. е. выполнить интегрирование ~ лза ( Ч"а (а)(з ... (при этом предполагается, что скорости частиц «мишени» малы по сравнению со скоростью налетающей частицы), Подчеркнем также, что Ч'е(а) является в. ф. составной системы в ее с. ц. и (причем мишень как целое считается неводвижной).
Далее, поскольку радиусы-векторы частиц мишени были выбраны равными ~а/2, то имеется в виду, что у них одинаковые массы (подобная дейтрону составная система). Возникающие нри отмеченном усреднении интегралы выражаются через формфактор составной системы, равный г (й) = ~ ) Ч'е(г) )з ехр (- — йг) озг. 2 В результате усреднения выражение (3) принимает вид (/(й' Че)) /1(й' Ял)р(яа)+12(й' Ча)р( Ях)+ + — ~/ ~й, и + — )/ ~й, — и„+ — )Р(2м )г(зм . (4) 2пй31ч' Х 2ля'ч' а 2/ Полное сечение рассеяния на составной системе с помощью оптической теоремы (ХШ.11) может быть выражено через амплитуду упругого рассеяния на угол О 0 (при атом Ч -О), так что здесь пп з — сечения рассеяния иа свободных частицах мишени (подчеркнем, что полное сечение рассеяния включает и процессы с <развалом» исходной составной системы>.
Теперь заметим, что специфика рассеяния на слабосвязанной системе определяется тем обстоятельством, что убывание ее формфактора происходит при зна'шниях импульса д 1//г (ре,з/6») /, (б) где (1 — размер системы, з„ и (ь — энергия связи в приведенная масса частиц мишени, причем Р существенно превосходит радиус взаимодействия. Так как характерные значения д при рассеянии порядка обра~ного радиуса взаимодействия, т. е.
велики по сравнению с (б), то в выражении (5) амплитуды )с, можно вынести из-под интеграла в точке и = 0 и после этого выполнить следующее преобразование: Р(2я ) г(зк = ~ ~ ~ ехр( — гм р)~ Ч' (р, з) ~збзрбздзк /1т = (2п)з ~ ( Ч'а (О, г) )з г(а = 2п —, ( Ч'з (г) (з 4пгз г/г— = 2п г' Здесь предположено, что орбитальный момент составной системы равен нулю, и поэтому в.
ф. Ч'»(г) является сферически-симметричной; (/г-з) — среднее значение обратного квадрата расстонния между частицами мишени Таким образом, получаем Пт г — — П, +П +Ь, Ь вЂ”,( — з/1 )(Е/,(й, О)( (й, О). (7) 4п/1 В частности, если (ь з(/г, О) — чисто мнимые величины, то, используя оптическую теорему для одноцентровых амплитуд, на- ходим 1 / 1 А = — — П~П»1 — /. 4п 'т /г» /' (8) Заметим, что такой случай мнимых амплитуд можно рассматривать (моделировать) как рассеяние на непроницаемых (нли «черных») сферах, сравнить с 13.57 н 13.90. При этом несколько 24» 2 пшг и, +па + —, Ве ~ р(2и~ь)),(/з, нх)/ (й, — м ) !зкс; (6) меньшее (так как Ь ( О), чем суммарное пг+ и» сечение рассеяния на двух центрах наглядно можно объяснить как результат взаимного <затенения» сфер, Читателю предлагается убедиться в том (ограничиваясь, для простоты, случаем одинаковых рассеивающих центров), что при Я л а расчет эффекта чзатенения» в рамках классической механики воспроизводит результат (8) данной задачи при условии, что радиусы сфер а выбраны такими, что однацентровые сечения а~ = о, = па'.
13ЛЬ. Имея в виду вывод выражения для амплитуды рассеяния в эйкональном приближении для «обычного» потенциала, основанный на использовании каазикласснческого выражения (Х111. 14) для фазового сдвига н замене суммирования по парциальным волнам интегрированием по прицельному парамегру, см.
!1, ф !3!], н замечая, что в приближении (Х!11. !4) для обменного потенциала фазовый сдвиг Ьд обм ( !) Ьд обыч' легко прийти к следуюшим результатам В области малых углов рассеяния, 0 ~ 1, в случае обмен. ного потенциала амплитуда рассеяния описывается аналогичзш, ной (Х!!1. 18) формулой с соз 26~ вместо е ~, т. е. гоам (й, О) —. ~ ~ [соз 2Ь (р) — 1]ехр ( — (йр) Н'р = А а<! 2п! О» = — !й ~ (соз2Ь(р) — 1]У»(йрй) рДр, (2) о где 6(р) определяется прежним выражением. Это связано с тем, что появление множителя ( — 1)' в формуле (1) ие изменяет значения части амплитуды рассеянии, связаннои с четными, как функциями Ьь слагаемыми.
Для нечетных слагаемых, со з!п 26! а, происходит сильная взаимная компенсация вклаг, обч' дов соседних членов суммы по 1, и эта часть амплитуды пренебрежимо мала. Заметим, что амплитуда (2) — чисто мнимая и совпадает с мнимой частью амплитуды рассеяния на обычном потенциале У(г). С учетом оптической теоремы совпадают н полные сечения рассеяния (одинаковы и парциальные сечения рассеяния ооц В случае обменного потенциала амплитуда рассеяния имеет резкий максимум в области углов, близких к и (при рассеянии назад, сравнить с 133), Учитывая соотношение для полиномов 740 Лежандра Р, (в) =( — 1) Р,(-«), находим Гобм(й, О) — — ~ ~ з!п 26 (р) ехр ( — (Ьр) (Рр = й м л — э ! 2л й ~ з!п 26(р) 7о (йр(л — О)) рНр, (3) о где 64 й+ йь В этой области углов амплитуда — вещественная функция и совпадает с вещественной частью амплитуды рассеяния на обычном потенциале под углом О' = л — О Е 1.
Из полученных выражений (2) и (3) для амплитуды равенство полных сечений рассеяния на обменном и обычном потенциалах очевидно и без привлечения оптической теоремы. 13.57. Для вычисления амплитуды рассеяния быстрых частиц воспользуемся разложением ее по парциальным волнам (ХП1. 9) и квазиклассическим выражением (Х111. 13) для фазовых сдвигов. Так как (Г = О при г ~ Р, то интегрирование по частям в (ХП1. 13) дает 6 = (! -1- — ) агссоз (ь !+1/2 I з г 1 "з г 2) йр 'т!! ч 2) ' — л /йзгз — ~!+ — ), 1< 6 (1) где 6 = Ы вЂ” 1!2 (нри этом го'= )г), а для значений 1)!.
по- лучаем (при этом го = (!+ 1!2))й) (2) 6 =О, !>!.. При ! ) 6 точные фазовые сдвиги экспоиенциально малы; поэтому кваэиклассика, не обеспечивающая такой точности, дает 6, = О. Заметим также, что, строго говоря, в формулу (1) следовало бы ввести дополнительное слагаемое, равное — л!4, имеющее такое же происхождение, как и рассмотренная в 9.2 модификация правила квантования (для !(!.
в данной задаче квазиклассика применима, вообще говоря, непосредственно вплоть до точки поворота г = )г). Укажем, наконец, что полученные результаты для бо требуют уточнения при значениях 1, близких к !., так как в этом случае в окрестности точки г = )7 квазиклассика неприменима и условия сшивания решений требуют дополнительного исследования (отмеченные обстоятельства несущественны для дальнейших вычислений).
Воспользовавшись соотношениями (1) и (2), амплитуду рассеяния удобно записать в виде (3) ! = )хяфр + )кл 741 где с ~ (21 + 1) Рг (соя О), 1 О 1 чч зи — (21+!) е 'Р (сов 0), 1=О Поясним, имея в виду дальнейшее исследование в данной и в следующей за ней задачах, смысл используемого разбиения амплитуды на «дифракционную» и «классическую» части. В обла. сти малых углов рассеяния (фактически при значениях 0 «К М: (И) — '" К 1) имеем ~1х.«т) )> )),„~, при этом вклад в полное сечение этой области составляет пкз.
Рассеяние под малыми углами в условиях, подобных данной задаче, назыпают дифракциоэным, так как по своей физической природе оно аналогично дифракпин плоскопараллельного пучка света, палающего на непрозрачный (отражающий или поглощающий) экран — дифракиии Фрауягофера (27), см. также 13.90. При углах рассеяния 0 ~ (йй)-мз уже пренебрежимо мала часть амплитуды 1,.ю. При этом )„описывает изотропное распределение рассеянных частиц: пой(1) ))„„~зж)гз)4, так что сечение рассенния под такими углами также составляет пкз (как и в классической механике).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
