Galitskii-1992 (1185113), страница 123
Текст из файла (страница 123)
1 Й з (4) Далее, воспользовавшись разложением У .(а) при а-ьО, находим аснмптотику решения (2) на больших расстояниях: м так как при этом )( з г — ао,то с учетом соотношения (4) при- ходим к искомому квазиклассическому выражению для длины рассеяния; !з! Г(1 — з) э!п (с+ па/2+и/4) / / 2та 1аз по кв Г(! +з) з!о (т — пз/2+ я/4) ~ Ч йз Значения параметров потенциала, при которых длина рассеяния обращается в бесконечность, соответствуют такой ситуации, когда при углублении потенциальной ямы в ней появ.ляется новое по счету состояние дискретного спектра.
Согласно формулам (6), (4) это имеет место при выполнении условия где М = 1, 2, ... — порядковый номер появляющегося связанного состояния; сравнить с 9.9. Для указанных в условии потенциалов имеем т = 4, з=1/2„ у = р = 0 и по формуле (6) получаем а) а! 1„= Рз с!3 3, б) азюхз = Яч с!и ( — $), (6) где $= ъ~а/)(. Точные значение длины рассеяния равно соответственно ы) и) па = Р ($ с!6 $ — 1), б) ао = Я ц/3з -(- ! с!д(п'~/йз -)- 1/2). (9) Как видно, при а — ь ее квазиклассическое и точное выражении для длины рассеяния совпадают, Их различие -1/3 при конечных значениях 3 связано с квазнклассическими поправками.
Вычисление таких поправок теперь более трудоемко, сравнить с !3.34, так как необходимо учитывать следующее по Л слагаемое в фазе волновой функции на конечных расстояниях (т. е. в области квазпкласснчности), см. формулу (46.11) в (!). Этот вопрос предлагается читателю для самостоятельного исследования. !3.36. Воспользуемся приемом, описанным в 11.4. Исходим из выражения для сдвига уровня обычной теории возмущений по потенциалу Уз (г): дЕ У (г) 1 У (г)! тг(о! (г) 1 аК (1) Учитывая, что на существенных в интеграле малых расстояниях (в области локализации Уз (г) ) для невозмущенной волновой з') Точное решение уравнения Шредингера может быть получено с помощью подстановок, аналогичных использованным в 4.25 б), в). 710 СΠ— ~ 3/ — 2тУ (г) бг=и ~3(-~- 1 Г к () 1 !х 6 3 4(2 — р) 2(т — 2) 4/' + — — ). (7У о функции справедливо разложение Уи гт (г) — Еи 1 (г) У1т (т1) Еи 1 (г) 11и 1г прн г "+ 0 г иг выразим интеграл в выраженяи (1) через длину рассеяния с моментом ! иа потенциале Уз(г) в борновском приближении (см.
13.28) в ят ~~ ~ш+'(1,1.) Д.. 2 т!Г (!+3)2) а 3 о Заменяя, наконец, ан! на точную длину рассеяния а! !! в коротко!гб действующем потенциале У,(г), приходим к нскоиой формуле теории возмущений пе длине рассеяния для сдвига уровня: ЛЕи 1= — ((2!+ 1)!!)~О„1п(! иг1 2т г (2) может быть связана с сечением неупругого рассеяния (с сечением реакций) о 1 в парциальной волне с моментом ! за счет (З1 короткодействующего взаимодействия для медленных частиц, так как — 1ш а!з! о! !1 (й)/4 (21+ 1) яйзг (3) 7!! (здесь использовано, что 21+1Г (! + 312) = ч6~ (21+ 1)!!! заметим также, что для з-состояний ()„= 4иЧ'„, (0)).
Сделаем несколько замечаний в отношении формулы (2). 1) Так как, вообще говоря, а!1 1сэгзз+', а !1„1 со гс чо с увеличением ! сдвиги уровней быстро уменьшаются, си(г /г„)т1, что связано с уменьшенем проннцаеиости центробежного барьера, разделяющего коротко- и дальнодействующие области потенциала. 2) Если с короткодействуюшим взаимодействием связана возможность протекания неупругих процессов (как, например, аннигиляция в пионы за счет ядерного взаимодействия для рр-адрониого атома, см.
также 11.74), то у длины рассеяния а~ по- 3! является мнимая часть. Соответственно теперь ЬЕ„! описывает г не только сдвиг, но и уширение уровня, который становится уже квазистационарным с конечным временем жизни. Заметим, что возникающая ширина уровня Г 1 — 21шДЕ !с 1ша)З! и 1 и 1 РзгжС1г +Вг(!!) —, г ~ (4) где В 1 л"+~ с! '! =(2! 1)И(2!+1)В ' шйб! Ж). НеРезоиансномУ слУчаю, когда а(гз! ~ гз'~~, отвечает замена йз!4! щй б(з> на 1/и!ю приводящая к формуле (2) для сдви! га уровня (при этом ее формальное обоснование может быть получено, как н в 1!.4 для момента ! = О). Обобщение этой формулы иа резонансный случай с учетом разложения эффекзг тинного радиуса (ХП1.13) получается заменойа!гз!множителем ) — ! а)~1-ь à — — г!! !Е) ~ и!з! (б) в котором, вообще говоря, можно положить Е Е!з!р Прн этом для значений 1Ф 0 независимо от величины аг! второе„ !з! сингулярное слагаемое (ы!/г ') в выражении (4) при вере- ") Ниже 6 = лг = 1, так что Е = й'/2.
Заметим, что выражение (4) можно рассматривать как своеобразное граничное условие на малых расстояниях к у.Ш, с потенциалом Уг(г), связанное с включением короткодействующего потенциала Уз(г), сравнить с 1!.4. Однако в случае! М 0 в нем невозможен переход к пределу г- 0 из-за возникновения расходнмости нормировочного интеграла (так как оно дает Чгсо!/гг!'! иа малых расстояниях гага в.ф, совпадает с в.ф, в короткодействуюшем потенциале). В случае же ! = 0 предел гз = 0 возможен и соответствует моделированию короткодействующего потенциала потенциалом нулевого радиуса, см. 4.10.
(см. 11, $ 1431! подчеркнем, что наличае дальнодействующепэ потенциала может существенно изменить сечение реакций длн медленных частиц, см. следующую задачу). 3) Как отмечалось в 11.4, в случае моыента ! = 0 при нарушении неравенства~ аз ~ ч.гс формула (2) неприменима. Прн !з! этом возможны большие сдвиги з-уровней в дальнодействующем потенциале — перестройка спектра, см.
также 9.3. В случае ! чь 0 ситуация иная и больших сдвигов уровней не возникает, что связано с наличием малопроиицаемого центробежного барьера. Однако в случае большой длины рассеяния,~ а(! 1~.э гз ', когда в а!+! потенциале Уз(г) имеется мелкий уровень с моментом 1, формула (2) требует модификации. Для выполнения ее заметим, что решение у. Ш. в потенциале (/з(г) для медленных частиц, Фгл « 1, на Расстоаниах гз « г « й ', гс имеет вид (1, $1321 ходе в область расстояний г — гс оказывается малым, что и требуется для обоснования справедливости формул (2), (5) и соответствующей модификации выражения для сдвига уровня: — ! 5Е„! = — '((2!+ цп)э <)'„! (' —,1„— г<<з>Е<'>!) . (6) 4,а<! > 4) Существенность условия ! Ф О для справедливости выражения (6) в резонансном случае связана с большой величиной при этом эффективного радиуса, так как г, гэ (см.
<3> ! — и 13.44), обеспечивающей малость сдвига уровня. Указанная замена Š— Е<с>! в формулах (5), (6) не оправдана лишь в слу- чае, когда Е<о> 1) <з>,<ш Е<э> (7) физическая выделенность которого определяется тем, что Е<э <э описывает уровень с моментом 1, существующий в изолированном потенциале (>з(г). Таким обрааом, в условиях выполнения соотношения (7) в системе имеются два близких уровня, связанных как с дэльнодсйствующим, так н короткодействующим потенциалами. Не делая в формуле (6) замены Е на Е<,><,получаем урав"г пение для ЛЕ ! Š— Е, решение которого <о> и я 1' * ~(Е~~~> — Е< >!) + ((21+!)П) ()„<~ ~ (8) '! дает энергии этих уровней с учетом их взаимодействия.
Как видно, оно носит характер квазилересеченил геряов, сравнить с (1, 5 79]. В случае Еэ<> ) Е<,>! первый из корней (8) описывает "Г смещение невозмущенного уровня Е~й в потенциале (>з(г) под <о> влиянием дальнодействующего потенциала") Вь(г), а второй— э') Строго говоря, при этом воспроизводится лишь часть сдвига, связанная с действием потенциала <>с(г) на больших, г ~ гэ, расстояниях. Влияние 5>! на малых расстояниях на сдвиг уровня Ей~> проявляется в так называемой лереяормировке параметров а<<э>, г)~>. Так, если (>с(г) яэ(>о для гм,,га, то более точно заменить Е в формуле (5) на Š— <>э Такая замена соответствует перенормировке длины рассеяния, т.
е. замене а<~> аа а~ ~>. причем 1/а<! ~> 1>а<<~+ г<г~(>о. Эффективный радиус при этом не перенормируется; см. также 13.42. 713 хй> +~й —,, — — „, <>с(г)~х,/-о, о>" Г а 1(1+ 1) 2ш 1 <о ха<+ ~~а —,, — — „, (и,(г)+ ил(г)) ~х„=о. м Г а 1(1+ !) 2л> Их решения, удовлетворяющие граничному условию Х(О) = О, имеют следующие асимптотики на больших расстояниях: ~ — <п 2йг — — 1+ 6~ >~, г и йпв 2 (2Р— 1 2й — — "!+8<" +До< >), дав 2 > с / Хй"<> сн з! п (йг хз> ян з1п ~йг 714 смещение уровня Е„< под влиянием короткодействующего цен<з> "г тра Уз(г) (он смещен вниз). В случае Ей>( Е<з», наоборот, "г' уже Ез отвечает смещенному, причем вверх, уровню Е„ >.
<с> г Обсудим вопрос о виде волновых функций в условиях квази- пересечения уровней. При не слишком близких значениях Е<с> и л Е<с>< в случае Е<за>) Е<з>> первому из уровней в (8) отвечает в. ф. яа Чгз, локализованная на малых, г(гз, расстояниях, <с> а второму — в. ф. из Чг„о <, локализованная на больших, гага. <о> "г расстояниях. В случае Ез ( Е„< сопоставляемые уровням вол<е> <с> новые функции (в существенной области локализации) меняются местами. В случае же точного резонанса, Е~> Е<с>р частица ~о> а обоих состояниях ! и 2 с одинаковой вероятностью, равной 1/2, находится как в области локализацни связзннога состояния в потенциале <>3 (г) (при г ~ гз), так и з области г — гь В, ф.
соответствующих состояний, одинаковые прн г~(г, отличаютсв знаком в области г ль гз, что обеспечивает их ортогональность, !3.37. Для решения данной задачи можно воспользоваться приемом, аналогичным использованному в предыдущей; найти изменение йб« > фазы по теории возмущсний, выразить его через <з> длину рассеяния на короткодействующем потенциале в борновском приближении и затем заменить ее на точную длину рассеяния п)з> в «сильном» потенциале Уз(г). Формальное обоснование такого подхода может быть получено как и в 11А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
