Galitskii-1992 (1185113), страница 119
Текст из файла (страница 119)
13.1г). При этом угловая зависимость дифференциального сечения до, патах ~И бпзЕ з!пз (8/2) (4) имеет мало общего с результатом классической механики [26! ( — )..= Ю~ и ( — 8) На/„„Е8'(2н-8) зп8' (б) ') Для потенциала 0 = а/г' зависимость Ио/г(() со Е-' как в классической, так и з квантовой механике легко получить из соображений размерности. ') Для суммирования ряда использована производящан функция полииомов Лежандра (с г = соз 8 и х = 1): 1 = T хгрг (г). '1/! — 2хг -1- хз х-г ! 0 637 Так как 6~ не зависит от й, то согласно формуле (ХП1,9) амплитуда рассеяния имеет вид /(й, 8) = Е(8)/й, а дифференциальное сечение рассеянна г(о/г(!)год зооЕ ' Такая же зависимость от энергии') (ио не от угла рассеяния!) характерна н для дифференциального сечения рассеяния в классической механике, см.
(5). Рассмотрим некоторые частные случаи, когда удается (приближенно) выполнить суммирование ряда (ХП!.9) с фазовыми сдвигами (1). а) В случае та/Д' ~ 1 согласно (1) имеем пта бгяг — ( +,, при этом (61( С1, (2) и, разлагая еаза! в выражении (Х!11.9), получаем з) пта чт пта /(Е, 8) гм — — ~ Рг (сов 8) = — ., (3) дзй 2йгй Мп (8/2) ' 1=0 б) В случае та)Я' > 1 выполнить суммирование ряда по пар. циальиым волнам при произвольном угле рассеяния не удается. Легко, однако, заметить, что для достаточно малых углов рассеяния сохраняют силу выражения (3) и (4). Это связано с не.
ограниченным возрастанием амплитуды рассеиния при О -~- О. Так как каждый член ряда (ХИ1. 9) ограничен, то такая расходимость амплитуды означает, что в сумме существенно много слагаемых с большими значениями ! (тем ббльшими, чем меньше угол рассеяния). Но при достаточно больших ! по-прежнему справедливо соотношение (2), из которого и вытекают формулы (3), (4). То обстоятельство, что при малых углах рассеяния борновское приближение применимо независимо от величины параметра та(Яз, вполне естественно: в условиях данной задачи при этом существенны большие расстояния (ввиду расходимости амплитуды), на которых (! а)г'«Яп)г и потенциал можно рассматривать как возмущение.
в) Рассмотрим рассеяние частиц назад. Так как ~ (2! + 1) Р! (соз О) = 46 (1 — соз О), г=.з т, е. такая сумма при О чь О равна нулю (см. [1, 5 !24]) и Р~( — 1) = ( — 1)', то ряд (ХН!.9) принимает вид 1 чч Г, /г 1'тт 2та1 [ (Е, 0 = к) = — гу (21+ 1) ехр ~ — гп л~/ !х! + Я + — [.
2Я Л ~)/ [ 2~ Яа 1=0 (6) В случае та)Яз ~ 1 в этой сумме основную роль играют слагаемые с большими значениями") !((та)дз)')~. При этом соседние слагаемые мало отличаются друг от друга и суммирование можно заменить интегрированием: (7) ! (Е, а) Яа — з! ! ЕХР !ц — (а,~ !З + — [ б!. Я з [ 'з! Яз з с„,, „„= Эту 76 [(Е, и) = — ! ехр [ — !м ~/ — ). , З72та .ЯЯ ~ 'Ч Я* 1 ы) При ббльших значениях ! слагаемые суммы (6) начинают быстро осциллировать и в результате взаимной компенсации нх вкладов соответствующая часть суммы оказывается малой. Заметим, что для вычисления ряда (6), как и предшествующей суммы для б-функции при 0 ~= О, а также к интеграла (7) следует ввести обрезающий множитель типа в "! с у ) О и за.
тем в окончательном результате положить у = О. Ч'к (г) =е + — е + оьг 1(Е) ыг г определяет фактически точное решение у. Ш. для всех г) О. Сравнивая при г-о-0 разложение в, ф. оуы = + (1 + !Ю) '! г с граничным условием, задающим потенциал нулевого радиуса, см. 4.10, находим ао 4н 4нао ~(Е) — —, = 4 )г)о= — 1шг(Е) =, (2) 1+ !йаз 1+ !г'ао ' здесь ао = 1/ао', при этом ! (0) = — ао, так что ао является дли. иой рассеяния на п.н.р.
Наконец, используя равенство е — 1 = 2!)(с!20 — !], полузгз чаем для фазы з-рассеяния на п. и. р. соотношение й с12 бо (й) = — —. 1 ао ' (3) Сравнение его с разложением эффективного радиуса (ХП1. 15) показывает, что для рассеяния на п. и.р. эффективный радиус взаимодействия го = О. 1321. Так как по условию (бо(й) ( оц 1 нри всех энергиях, то потенциал можно рассматривать как возмущение и воспользо- Прн этом дифференциальное сечение рассеяния для 0 = м совпадает с результатом (5) классической механики.
Это замечание справедливо и для области углов рассеяния (расширяющейся с увеличением а), примыкающнх к 0 = и; см. по этому поводу 11, 5 127). Заметим в заключениц что в случае потенциала притяжения. и ( О, фазовые сдвиги (1) могут стать комплексными. Формально это соответствует появлению «поглощения» в системе. Причина появления неустойчивости связана с возникновением опадения на центр», см. в связи с этим 9.14. Что же касается рассеяния под малыми углами, то оно описывается формулами (3), (4) независимо от знака а. 13.20. Так как потенциал нулевого радиуса оказывает действие на частицу только с моментом ! = О, то отлична от нуля лишь фаза з-рассеяния бо(й), а амплитуда рассеяния не зависит от угла О.
При этом асимптотичесная форма волновой функции ватьси выражением (ХИ1. 12) для фазового сдвига з-волны: «» 6«(й) = — — ~ (1(г) з(п йгбг = — — ~ У (г) [! — соа2йг]Нг. 2лз 1 ., лз йай .) йзй о о (1) Уыножим обе части равенства (!) иа ( — й»й)2т), а затем продифференцируем по й; в результате получим йз Н вЂ” — — [йбо (й)] = г0 (г) 3!и 2йг Дг— 2л» И з — ~ гЕ/([г[) е ' 'Иг (2) 2 (здесь использовано четное продолжение потенциала, (1( — [г]) =— ~ У([г]), на область отрицательных значений г), Формула (2) определяет фурье-компоненту потенциала (точ.
иее, функции г(1([г[)) и позволнет найти сам потенциал с помощью обратного преобразования Фурье: « г() ([г [) = — е " — [йба(й)]бй. (з) Так как согласно (1) 6»(й) следует рассматривать как нечетную функцию неременной й и соответственно бо (й) — как четную функцию, то выражение (3) принимает вид 26» И (г) = — — ~ з(п (2йг) — [йбе (й)] г(й. (4) ляг Нй з Рассмотрим приложения этой формулы.
а) В случае 6,(й) = сопз(= С (при й ~0) согласна (4) получасы 26»С 1 й С у У (г) = — — ~ з1п 2йг Ий = — — — — (5) и/лг пщгз гз з (для вычисления интеграла следует ввести «обрезающий» множитель е ь с л ) 0 и в окончательном результате положить А=О). 690 б) Подставляя !Ггба(й))' = 2сй((1+ 6йз)з в формулу (3) н вычисляя интеграл с помощью вычетов, находим у (г) = — ехр ~ — =) = узе г!д. 2ай' д 2г ч (6) Заметим, что условие !6,(й) ( ~ 1 предполагает, что (С(~ 1 н (н)к.
ч/Д1 при этом найденные потенциалы (6), (6), как и следовало ожидать, удовлетворяют условию применимости, первому из (ХН1. 7), борновского приближения при любой энергии. 13.22. Так как действие оператора У сч на волновую функцию состояния с определенным значением ! момента сводится к умножению ее на ( — 1) () (г) то выражение для фазового с сдвига 6 ем 1(й) лишь множителем ( — 1) отличается от борн невского выражения (ХП!.12) для обычного потенциала У(г). 13.23. Фазовую теорию рассеяния в двумерном случае можно развить а полной аналогии со случаем центрального поля, рассмотренным в !1, 6 !23).
Имен в виду содержание этого параграфа, укажем изменения, которые следует внести в соответствующие формулы для обобщения их на рассматриваемый случай. Гамильтониан плоского движения в аксиально симметричном поле имеет вид Дз Г 1 д д 1 дз ч и = — — 1' — — р — + —, —, 1+ (((Р), (1) 2р 'Ч р др др рз дя~з / а интересующее нас решение уравнения Шредингера имеет асимптотику Гласса В + ,1/)- 1( ф) Е!ая Р Ь р ~е 1/~ (поток частиц падает в направлении оси х, при этом х = = р сов ф). Заметим, что теперь расходящаяся волна — цилиндрическая (а не сферическая), и поэтому вместо 1/г появляется 1/(/р х(злее, в двУмеРном слУчае амплитУда РассеЯниЯ /(й, ф) имеет размерность корня из длины, а дифференциальное сечение рассеннин бо/д<р = ) Д з — размерность длины.
Наконец, фазовый множитель з/Г введен для удобства. Так как оператор 1, = — !д/дф коммутирует как с гамильтоннаном свободного движения, так и с гамильтонианом (1), то плоскую двумерную волну и точную в. ф. Чгт(р) удобно в разложить по с, ф, Чг = е в этого оператора (аналогично гмв 691 разложению по шаровым функциям в случае центрального по- тенциала): еиа соз е з«А / (йр) гте х м(т) «Р+ = ~„В„,Я» (р) е м'э.
(3) 17 (р) = 41 — ~Ш ~йр — — + — + 6 ), (4) / 2, Г н]т] и »т з»/ п»р 2 4 ~а находим Вл« = е мАсь В результате для амплитуды рассеяния получаем искомое разложение по парциальным волнам /(», ф) = ~ (е м — 1) а~~э. (5) 1 Ч/2п» м- — о Заметим, что фазовый сдвиг б„не зависит от знака т. Согласно формуле (5) полное сечение рассеяния равно зя а=~ ]/]зшр= — / Шп 6 — — «« (5) а оптическая теорема в двумерном случае гласит 1ш/(», ф =О) = ~/ — а(Е) /1 'з/ 8п (7) (при этом существенным является отмеченное выше выделение множителя ~/г в выражении (2); в борновском приближении для двумерного случая, когда ]6 ] « 1, так введенная амплитуда согласно (5) оказывается вещественной).
и) Нормировочный множитель в этой функции и фаза 6 выбраны таким образом, что при 6 = 0 асимптотика (4) совпадает с асимптотикой функции Бесселя — радиальной функции свободного движения. 592 Здесь учтено, что радиальная функция свободного движения с «моментом» л~ выражается через функцию Бесселя /1 м1(йр), при этом коэффициенты разложения А„,=(, см. 133, с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
