Galitskii-1992 (1185113), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Из формулы (3) прн !и ТХ л 1 имеем аз яи )(,ь яа яв 2)г !пуХ, исключая близкие к нулям функции Бесселя»' »(2Л) значения Х, отвечающие появлению новых связанных состояний. Отличие от предыдущего случая состоит лишь в слабой, логарифмической зависимости 1«.«от Х, которая может быть получена из соотношения) (/(А'„э) ) = йх/тА'„4. для потенциалов со 2 степенным убыванием, как видно из формулы (4), ситуация иная.
Теперь а«(Х) является «живой» функцией Х во всем интервале между точками Х„и Х„ю и выполаживания зависимости аа(Х) не происходит. 13.32. Задача сводится к решению уравнения Шредингера с энергией Е = О, принимающего вид ЬЧ'(г) = О, с граничным условием Ч'(г«) = О на поверхности эллипсоида и асимптотикой решения Ч' яи ! — ааlг иа больших расстояниях, определяющей длину рассеяния ™) а« = -)(Е = О). Для функции п(г) = 1 — Ч' уравнение, граничное и асими. готическое условия принимают вид Ь~р=О, ~р(гз)=1, мма«/г при г-» о. (1) Согласно соотношениям (1) функцию ф(г) можно рассматривать как электростатический потенциал заряженного эллипсоида вращения (ось вращения — ось а), принимающий на его поверхности значение ~р» = 1; при этом е = ૠ— заряд эллипсоида.
Так как е = Св«, где С вЂ” емкость проводника, то длина рассеяния частиц на «непроницаемом» зллипсоиде численно равна электростатической емкости проводника такой же формы "). Решение ") Эти узкие области включают и точки Хэ. Как видно из (1), (3), для быстро спадающих потенциалов Хл и Х» сближаются при л -» «о; для степенного потенциала — см.
(4) — это замечание несправедливо, ы) Подчеркнем, что в пределе нулевой энергии рассеяние частиц является изотропным даже в случае нецентрального короткодействующего взаимодействия. м) Соотношение аа = С справедливо для «непроницаемого» тела произвольной формм. В частности, при рассеянии частиц на непроницаемом диске радиуса А' сечение рассеяния п(Е=О) = = (10/п))г» (емкость диска С = 2)т/и).
704 электростатической задачи (!) для вытянутого эллипсоида вра- щения известно и имеет вид (при с ) Ь) ф(г) = Х е 2 чтсз — Ьз х! г+ 4с' — Ь*+ [(в+ 4с* — Ь')'+ х'+ уз]'" г — с' — Ьэ+ [(г — т/сз - Ьз)'+ х'+ узт1!1~ (2) (оно может быть получено методом изображений: потенциал такого проводящего эллипсоида вращения совпадает с потенциалом равномерно заряженного отрезка, концы которого находятся в фокусах эллипсоида с координатами х = у = О,г ~ ч/сз — Ь ). Определяя е из условия ф(гс) = 1 (для чего удобно выбрать точку эллипсоида, лежащую на оси вращения: х = у = О, г=с), нахолим длину рассеяния а — — 2 ~/су — Ь ~!п (3) с — с' — Ь' Отсюда в случае с = Ь имеем аз = с и о = 4пс' — известный результат для рассеяния медленных частиц непроницаемой сферой радиуса Я = с. Для сильно вытянутого эллипсоида, с ) Ь, формула (3) лает с 4исз ас 1и (2 /Ь) ' и (Е О) [!п (2с/Ь))а (4) Заметим, что обобщение на случай сплюснутого эллнпсоида вращения, Ь ) с, может быть получена с помощью аналитического продолжения длины рассеяния (3).
Для этого, записав т~с' — Ьз = 1 Эгй~ — с' = 1п, воспользуемся соотношением !п (с ~ 1о) — !п (с' + о') ~ 1 агс12 — . ! 2 2 Отсюда с+!о . о, ~/~ — с', с !п —, = 21 агс13 — = 21 ага!3 2)агссоз— с — 1о с с Ь и для длины рассеяния получаем (Ь ) с) т~зз — сз аз= агссоз (с1Ь) 23 В. М. Гзеяцзяа я др. Положив здесь с = О и Ь = )1, приходим к длине рассеяния аа = 2)с1п на непроницаемом диске радиуса Я. 13.33. На конечных расстояниях квазиклассическое решение уравнения (1У.5) для функции т гЛ(г) при значениях Е= О н ! = 0 следует выбрать в виде С 1 1Г 2яв(г) = ехр4 — — ~1 р)»(г~, ) р(= т/2т(/(г).
(1) Здесь оставлена лишь затухающая к началу координат квази- классическая в. ф. Пренебрежение возрастающей частью решения соответствует учету граничного условия зз) )((0) = О. Однако на больших расстояниях, прн г-». о», имеем ) р(г)1) т » 1/гз-ьО и квазякласснка неприменима. Поэтому решение (1) на больших расстояниях, где уже (/ як а/г', следует сшить сточным решением у. Ш., асимптотнка которого у(г) яв аз — г определяет длину рассеяния, Такое точное решение имеет вид (см. 4.25) Г аз»(»!1 / 2та )(= г!ь — з)» — — с)з — 1 ш а, — г, (2) 1 а г ,.+ ' д' Сшнванне решений (!) н (2) может быть выполнено лишь в случае, если в (2), как в в (1), на конечных расстояниях отсутствует экспоненциально возрастающее к началу координат слагаемое.
Отсюда находим значение длины рассеяния в кзазнклассическом приближении; / 2та „,/ '»! (3) Этот результат для потенциала, имеющего вкд Г/ = а/г' во всем пространстве, совпадает с точным. Для указанных в условии потенциалов точные значения длины рассеяная (см, 13.31г); $ = Ч/2та/Ла)тз = »(/)(»): а] (4) б) Как к следовало ожидать, они прн 3-ь ос переходят в (3). Однако и для значений $~~ 1 квазикласснческнй результат ие силь- ы) Если (г(г) — ограниченный потенциал, то в этом случае )(»»(0) хотя и отлично от нуля, но экспоневцнально мало.
Такое нарушение граничного условия приводит лишь к экспоненцнально малым погрешностям в значениях н других величии. Более существенны поправки, связанные с отклонением потенциала от его асимптотяческого выражения на больших расстояниях, см. следующую задачу. 1,145 1,862 1,571 3,202 1,033 1,332 т1, а) т), б) 1,014 1,200 Ь4еньшая точность в случае б) связана с более существенной ролью квазиклассических поправок, обусловленных отличием по. тепциала У(г) на больших расстояниях от его асимптотического выражения а/г*; см. по этому поводу следующую задачу.
13.34. Если потенциал У(г) отличается от гз!г' лишь на конечных расстояниях г( 17, то для 3= т/2тагдз)(з»1 отличие аз от квазиклассического значения и 2та/Дз экспоненциальио мало и находится за пределами точности квазиклассического приближения. Если же разность (1(г) — а/гз отлична от нуля и при г ) ) й, то возникают степенные поправки по параметру 1/з оь й. Для определения первой такой поправки в случае, когда У(г) яз а/ Ьь — — !ь1+ — ) при г-ьоь, надо найти такое решение у.Ш. на г~ 1, г/ больших расстояниях, точность которогообеспечиваеткорректный учет поправочного члена в асимптотике потенциала.
Это легко сделать, заметив, что с рассматриваемой точностью (/ = = а/(г — Ь/4)", а для такого потенциала уравнение Шредингера допускает точное решение. Оно очевидным образом (заменой г на г — Ь/4) может быть получено из формулы (2) предыдущей задачи и имеет вид При этом сразу опущено второе независимое решение у. Ш., экспоненциально растущее с уменьшением г, как этого требует сшивание (1) с квазиклассическим решением на конечных расстояниях. По асимптотике выраженкя (1) при г-ьсо получаем (2) Аналогичным образом для потенциала с асимптотикой а ( Ь! + Ь, ) 23ь но отличается от точного. Для иллюстрации приведем таблицу, в которой представлено отношение П = ак „,/а, для ряда к: может быть найдена и следующая квазиклассическая поправка к формуле (2), если заметить, что с рассматриваемой точностью его можно записать в виде 1 т 5 э 1 где Ь = — — Ь, /7 = — Ь| — — Ь,.
4 |' 16 | 2 а [(г + Ь)' + Р']' ' Для такого потенциала решение у. Ш. с Е = 0 может быть получено как в 4.25, после чего легко найти уточнение формулы (2): .У вЂ” ~1+ + — /8Ьэ — 5Ь!) /. (3) /2 ад ДЬ| Д 8' Ч/32л|а 64 ага Учет квазиклассических поправок существенно увеличивает точность полученного результата. Так, согласно формуле (3) вместо чисел, приведенных в таблице предыдущей задачи, теперь появляются соответственно: 0,786; 1,002; 1,0005; 1,0001 в случае а) и 0; 0,931; 0,999; 0,99998 в случае б). В заключение приведем квазиклассические выражения для длины рассеяния а, в случае потевциалов отталкивания с другим асимптотпческим поведением цри г -ь сс.
а г Ь В случае степенной асимптотики (/ = — 11+ — + ...) где Г(а) — гамма-функция. При т — ~ 3 имеем аь „-ь со, что отражает то обстоятельство, что в потенциале (7 = гх/гз сечение рассеяния частиц нрн Е -ь О обращается в бесконечность. Для потенциала с экспоненпиальным убыванием,(/ж (/га†'|'.
ао, «в = )с [)п (, ) + 2чг[, (5) де (и = 0,5772... — постоянная Эйлера. 13.35. На конечных расстояниях квазиклассическое решение у.Ш. (1Ъ'. 5) для Е = 0 и 1 = 0 имеет вид (сравнить с 9.9) г С, /1~ )(«в = г)г (г) =. з|п Р (г) |(г + у ч/р (г) / (1) р = Ч/ — 2т() (г), где значение параметра у зависит от вида потенциала на малых расстояниях; в случае (/ яи — А/гй прн г -ь 0 имеем у = — и[)/4 (2 — ()). 708 с ч ) 3 можко получить Г [(т — 3)/(т — 2)] / 2лго ') |/(т-э| Ь " «в — Г [(, 1)/(, 2)] (, (, 2)« 8« / + †, ) На больших расстояниях р(г)-ь О и квазиклассика веприменима.
Здесь, однако, учитывая вид потенциала (/ — а/г, можно получить точное решение уравнения Шредингера: Х=Ч/г (С!/з(2з ъ3аг '/ )+Се/ з(2зч/аг ~/' ))) (2) аде з = 1/(т — 2), а а = 2та/Л'. На расстояниях г, для которых аргумент функции Бесселя велик, уже применимо квази- классическое приближение и наряду с выражением (2) справедливо и (1), Прн этом, воспользовавшись асимптотикой функций Бесселя /т(а) при з-ьос, решение (2) можно преобразовать к виду / пэл ! , ! 1 яз я — С, з!п — ~ рог — — + — + = М р() ~ ~ 6 3 2 4( г /1Г яз я + С, Мп — ! р Пг + — + —, (6) (дЗ 2 4Д' г тде р(г) = Ъ/2та/г~, и из условия совпадения выражений (3) и (1) получать С, з!и (т + кз/2 + п/4) Сз шп (т — пз/2 + н/4) ' ОО с = — ~ Ч/ — 2т(/(г) Иг+ у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
