Galitskii-1992 (1185113), страница 124
Текст из файла (страница 124)
Для определения сдвига бб< под влиянием Уз(г) по теории <а> возмущений запишем два у.Ш. для радиальных волновых функций, Ч'з< —— Х <У< /г, непРеРывного спектРа причем для общности рассматривается случай, когда на больших расстояниях Ус яэ -еаза/г, аз йз/л<ез< см. (1, 5 36]. Умножая первое из уравнений (!) на ><»<, второе — на Х»<, <е> почленно вычитая и интегрируя по г в пределах от О до со, с учетом асимптотик (2) получаем .з;пЬЬ<Р= ~1.,(г) „,(,),а>(,). (3) е Здесь можно заменить: синус — его аргументом, Х»< — на ><»< и, <з> учитывая короткодейстаующий характер потенциала (<з, а также соотношение ><»< м«)»<г для г-ьО, получить <о> с+> йзй о (4) Интеграл здесь, как и следовало ожидать, выражается через длину рассеянии с моментом ! в борновском приближении, см. предыдущую задачу; заменяя ее на точную длину рассеяния, приходим к искомому результату: 2 ЬЬ«~>(») — ((2<+ 1)!!] а«з> —.
(5) Рассмотркм некоторые следствия формулы (5). !) Заметим прежде всего, что в случае 0» —= О имеем ><»<> ~ч/п»г)2!! <<з (»г). <)'„-»зь>з<>((21+ !)!!]т, ЬЬ<з> о~в>»а<.н При этом так что (6) 715 т. е., как и следует, (6) совпадает с фазой рассеяния Ь<< > на изолированном потенциале (>з(г). 2) Такое же соотношение, ЬЬ<< Ь)~, приближенно имеет <3> место и в том случае, если дальнодействующнй потенциал (>ь(г) можно рассматривать как возмущение, см.
условия (Х111. 7). В этом случае фаза рассеяния в потенциале, представляющем супериозицию (>з(г)+(/»(г), равна сумме фаз рассеяния для каждого из них в отдельности. 3) Обсудим случай дальнодействующего кулоновского по- тенциала, Уь = -т-Лез/г. При этом (см.
(1, 5 36)) !о! ~г С!м! '(2йг) этл 1 †,, СА (21 + 1)1 Х Р (1 — + 1 + 1, 21 + 2, г дав б!1~! аги Г (1+ 1 ~ 12/йав), Сй~г! — — 2/г е — "/за ~ Г (1+! ж —,) ~ = = *""(."'. )'и ~/" «с 2/йг), 5=! здесь /г' = лаз/Е, так что соответственно для кулоновского потенциала притяжения и отталкивания.
Существенное изменение величины фазового сдвига— увеличение его в 2пЯ/лаз л ! раз в случае притяжения и экспоненциальное уменьшение при отталкивании — имеет очевидную физическую причину: в случае медленных частиц дальнодействующее кулоновское притяжение (отталкивание) сильно увеличивает (уменьшает) вероятность нахождения частицы нэ малых расстояниях. Отмеченный эффект проявляется н в изменении сечений иеупругих процессов, вызываемых короткодействующим взаимодействием, сопровождающих столкновение медленных заряженных частиц.
В заключение отметим, что проведенное рассмотрение предполагает, что рассеяние на короткодействующем потенциале но- (при 1 = О произведения заменяются на !). В случае «быстрых» частиц, когда лаз ~ Я (но по-прежнему Агз « 1), кулоновский потенциал можно рассматривать как возмущение н из выражений (5), (7) следуют результаты, отмеченные выше в 1) и 2). Совершенно иная ситуация возникает в случае, когда йан(Л.
Прн этом значения !7а! сильно отличаются от невозму(э! щенного, приведенного в 1). В частности, при лаз « Е согласно (5) и (7) для з-волны получаем: а) Лба~1= — бз! )! б) Ьб!з'! — е ' б',э' (37 снт иереэонансный характер, т. е, в потенциале Уз(г) нет «мелкого» уровня. Пря этом а~ ~~(гтэ~+' н б)~1=г — а)~~В ~~ ж.1. Однако с помощью обсуждавшейся в предыдущей задаче замены длины рассеяния а~ 1 выражением (9) формула (5) может быть непосредственно обобщена н на резонансный случай. Прн этом условием ее прнменнмостн является малость Аб~~щ С1 (что было использовано прн преобразованиях выражения (3)).
В связи с этим условием заметим, что для отталкнвательного дальнодействуюшего потеппиала оно может быть выполнено даже в том случае, когда фаза рассеяния бг на (з> изолированном короткодействуюшем потенциале Уз(г) не является малов з'); сравнить результат (86) теории возмущений ло длине рассеяния для отталкнвательного кулоновского потенцкала с точным выражением для фазового сдвига нз [1, 5 138), 13.38.
В условиях рассматриваемой задачи амплитуда рассеянна описывается выражением Лезт рй ~«тл — 28»йэ «1пэ (8)2] ахов Это следует нз того, что можно ограничиться влиянием коротко- действующего потенциала У,(г) лкшь на частицы с моментом 1= 0 (так как йгз «С!) н рассматрнвать кулоновский потенциал кан возмущение (ввнду Хеэ ~ йо). Пря этом согласно предыдущей задаче фазовый сдвиг в потенциале, представляющем суперпозяцию У.„+ Уз, равен (приближенно) сумме сдвигов для каждого нз потенциалов в отдельности. Отсюда, учитывая нх малость, н приходим к выражению (1).
Днфферекциальное сечение рассеяния описывается выражением йт ( Яе ! Ее а!с~! + ( (3)'12 с ~М Ц 2шоз / э!п«(872) ~ о ' ши» ът'(В)2) ' Последнее слагаемое здесь отражает ннтерференцню амплятуд рассеяния для кулоновского я короткодействующсго взанмодей. ствнй. Как видно, характер ее зависнт от знака планы рассеяная а( !. э . тз) Прк этом в случае большой длины рассеяния может стать существенной перенормировка параметров нкзкоэнергетнческого рассеяния; см, предыдущую задачу, а также 13А2. 217 13.39. Длина рассеяния ш может быть найдена по асимпто тике радиальной волновой функции )7ы(г) для Е = 0; о .
! 1 [(2! — 1)И (21+ 1)И а!) при г -ь со, Е+! Это следует, например, из сопоставления выражения для в.ф. в случае медленных частиц на расстояниях Ы « г « 1)я (см. [1, 4 132), с( — радиус потенциала) ! ! /г~ У' с!83! )7егжг +В!(й) —,, В! '= ггт' (21 — 1)И (21+ 1)И с разложением эффективного радиуса (Х1П.
13). Приведем окончательные результаты: а) для рассеяния на непроницаемой сфере )! 1~ =а (2! — !)и (21»- Пи ~ 'Ф !' б) для рассеяния на б-яме 2та)! и 3= —, ! а З 1 сФ,!* йз (2) в) для расссяния на прямоугольной иотснциальной яме Хстз)з (Л) Л = г 2ш(~е 7, „,(Л) ' ' Ъ й' ее=из (2ао) =425 — ! — чз (в атомных единицах) б) Рассматривая внешний электрон иона как слабосвязанный в потенциале конечного радиуса гз, прежде всего воспользуемся связью эффективного радиуса взаимодействия ге с асимптотическим коэффициентом (см.
[1, 5 133)): го = (Схе — 1)/моОкс. 718 Обсудить свойства длины рассеяния ш как функции параметров потенциала (в случаях б) и а)), во многом аналогичные рассмотренным в !3.31 для з-волны, читатслю предлагается са мостоятельно. Ограничимся лишь замечанием, что в момент воз. никновеиия связанного состояння длина рассеяния а, обращает. ся в бесконечность. 1ЗАО. а) В приближении, соответствующем рассмотрению внешнего электрона как находящегося н потенциале нулевого радиуса, имеем (см. !3.20 и 4.!О): Теперь, имея в виду разложение аффективного радиуса (Х1П. 15) и то обстоятельство, что амплитуда рассеяния как функция энергии имеет полюс при Е = — ео (при этом в полюсе й с!ибо = й = — х,), находим 2С„о по= = 6,17. хо(1+С з) (2) Как видно, поправка на эффективный радиус существенно сказывается на значении длины рассеяния.
Это связано с тем, что в данном случае хогз яэ 0,6 не так уже н мало. В связи с этим отметим роль следую!пего, оо йо, члена в правой части разложения эффективного радиуса (ХИ!. !5). Его обычно записывают как Р той 3 4 где Р— так называемый параметр фор.иоь Как правило, числовое значение этого параметра мало, ) Р ) ~(0,1, см. [23). С учетом этого замечания следует ожидать, что величина длины рассеяния (2) определена с точностью порядка нескольких процентов.
13.41. В пренебрежении эффективным радиусом взаимодей- ствия ао(3]=хо —— (й )2ре )'! =4,3 10 !з см, (1) здесь р = лгг/2 — приведенная масса рп-системы. б) Так как кулоновское взаимодействие на малых расстояниях примерно на дна порядка слабее ядерного, то, иа первый взгляд, следовало ожидать, что отличие параметров низкоэиергетического рассеяния для рр-системы от параметров рп-системы будет в пределах нескольких процентов Это действительно так в отношении значений эффективных радиуаов взаимодействия.
Длины рассеяния различаются существенно: в 3 раза. Это, однако, не означает сильного нарушения изотопической 719 где р ж тг)2 — приведенная масса рп-системы. Так как радиус действия ядерных сил гз 1Ооы см, то хогз 0,3. Такую же точность, як 20 о)„имеет полученный результат (1) Учет слагаемого с эффективным радиусом в разложении (ХП1.!5) воспроизводит экспериментальное значение трнплетиой длины рассеяния, сравнить с предыдущей задачей.
13.42. а) В пренебрежении эффективным радиусом взаимодействия получаем (сравнить с 13.20 и 4,10, а такоке с 13 40): йз зоват — з = 56 кэВ ало (1) иивариантности ядерного взаимодействия нуклонов, так как мо. жет быть объяснено кулоновским взаимодействием в рр-системе. Дело в том, что в рп-систеие ииеется мелкий виртуальный уро. вень и длина рассеяния велика (примерно в 20 раз больше радиуса взаимодействия!), а в таких условиях сна является резкой функцией параметров потенциала, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
