Galitskii-1992 (1185113), страница 125
Текст из файла (страница 125)
13.31, и сильно изменяется уже при небольшом изменении потенциала (в данной задаче— за счет кулоновского взаимодействия). Приведем простую оценку рассматриваемого эффекта — леренорлировхи длины рассеяипя. Запишем потенциал рп-взаимодействия в виде (/»»=(/р(г) +6(/(г), где (/«(г) отвечает моменту появления связанного состояния; при этом 6(/(г) ~ )О, так как уровень в рп-системе виртуальный, Для рр-системы, считая протоны точечными, имеем (/»» = (/з+ 6(/+ е'/г.
Воспользовавшись теперь результатом задачи 4 27 для глубины залегания мелкого «.уровня, находим Р ~(6(/() 1 з ) 2() о Здесь та(г) — волновая функция (7 = «Ю в момент возникновения уровня, нормированная условиеи д»(г) = 1 вне области лействия потенциала. Верхний предел интегрирования й аз = = Лз/т»ез 29 10 †" см (на больших расстояниях вклад кулоновского взаимодействия учитывается уже независимым образом и представлен в амплитуде кулоновского рассеяния протоков). Интеграл с 6(/(г) в выражении (1) определяет значение и„(в обеих системах х ( О, так как уровни — виртуальные). Для оценки интеграла с кулоиовским потенциалом положим в нем 7(о(г) 1, При этом из-за возникновения расходимости на ниж- 2 нем пределе введем «обрезаиие» на расстоянии гз — 1О " см (порядка радиуса ядерно~о взаимодействия).
Учитывая, наконец, соотношениЯ к = 1/зоэ" (!) и и = 1/аэ»(1), согласно (1) полу»а О ги чаем ! пн (2) (здесь вместо г, мы подстаэнлн эффективный радиус взаимодействия г»! подчеркнем, что имеющаяся неопределенность в значениях параметров И и гм для которых Н/гз ~ 1, в окончательном результате (2) «сглаживается» тем, что они входят под логарифмом) теперь нетрудно убедиться, что учет «слабого» кулонов- ского взаимодействия протонов естественным образом объясняет существенное различие длин рассеяния для рп- и рр-систем.
13.43. Обозначим через Х, и Х радиальные волновые функции для значений энергия Е = О и Е = Ьо«о/2т Для них Х," ,— й()уз=о, Х" — !й() — «2!Х=О; й= 2„, (/(г). (Ц Нормируем Хо(г) условием Хо(г) — (1 — г/ао) для г р о/ (о/— радиус потенциала). Для в.ф. Х(г) на расстояниях Н ~ г < 1/« имеем (сравнить с [1, 5 132]) Х(г) = «с!ябо г [1+ 0(«ог')]+[1+0(«ог')], (2) где О(«'г') соответствует поправочным членам в асимптотике. Умножая первое из уравнений (1) на Х, второе — на Хь почленно вычитая одно из другого и интегрируя в пределах от О до значения г, для которого справедливо разложение (2), по- лучаем г — — го« + 0 « г, « — , « — = «2 ~ Х (г) Хо(г)о/г.
(3) 2 7 2 2 г 2 г т 2 2 ~) о г Г ~ХХод ][ХЛ ( — ++ )1/ = о о Г ~ ~уоз ( г +1) ),/г+ г г +г ао Зао а о (здесь использовано, что Х яи Хо! запись ш( — г/по+ 1)з означает добавление и вычитание соответствующего слагаемого), В последнем интеграле уже можно распространить интегрирование до бесконечности, после чего, оставляя в выражении (3) лишь не зависяшне от г слагаемые, получаем "о 2 3 '(( — — +!) — Хо(г)[ о/г, (4) Для рассеяния на непроницаемой сфере радиуса // имеем Хо 1 — г//! при г)/! и Хо=О при г~/1; при этом длина рассеяния а, = /! и согласно (4) находим эффективный радиус 2 взаимодействия го — Р.
3 721 Здесь в левой части соотношения учтены указанные выше асимптотики волновых функций, граничное условие Х(0) = О и разложение эффективного радяуса (Х1П. !5) Интеграл справа преобразуем следующим образом: Прн аа = сю из выражения (4) следует известный результат для эффективного радиуса гз в момент возникновения з-уровня [1, 3 !33). В частности, в этом случае для рассеяния на 6-яме имеем Хз =! при г ) /7 и Хс = г//! при г ( /7; согласно 4 (4) с аз = ео получаем гз = — Р. /(ля рассеяния на прямо- 3 угольной потенциальной яме гз = /7 — эффективный радиус одинаков в момент появления любого но счету связанного состояния (теперь при г ( /с в.
ф. Хо = Шп [п(л, + 1/2) г//7), где л, = О, 1, 2, ... в порядке появления з-уровней при углублении ямы). Подчеркнем в заключение, что установленные для рассеянна на потенциальных ямах свойства эффективного радиуса гз в момент возникновения связанного з-состояния: величина га Р и знак гз ) О являю~си достаточно общими для потенциалов притяжения С(г) =" О; сравнять со случаем моментоа 1 ~ О а !3.44, а также случаем 1= О для ямы, окруженной потенциальным барьсром, а 11 47. 13,44.
Поступим как и при решении предыдущей задачи. Учитывая. что теперь волновая функция в момент возникновения уровня имеет вид х!1О)=с!г при гъ д, а также соотношение + йш ' с!яб! 1ь,! (21 — !)Н (21+ 1)Н .) (сравнить, например, с !3.39), находим —, „, Сгй "'с!Хб,=а ~ ХШ4 /г, П~г «!/й. с Отсюда, заменяя ввиду малости /гз в правой части Хп на Х!гэ), распространяя интегрирование до бесконечности (в случае 1 = О этого нельзя сделать ввиду расходимости интеграла на верхнем пределе) и используя соотношение й г~ с!й б! = шй /2 (так как зги! з Ш = оа а момент появления связанного состояния), получаем гг — — — 2 [(21 — 1)В)з С~ и, 1~ )1. При этом значение С! однозначно опрсделяется условием норт мировки радиальной в, ф. Х! на 1. с Как видно, теперь, в отличие от случая з-рассеяния, эффективный радиус взаимодействия отрицателен, п.«0 и по порядку величины [ гг ! Р, где Р— радиус потенциала (такого же !-и порядка и размер области локализации волновой функции связанного состояния с моментом 1Ф О и энергией Е = О).
Для б-ямы в. ф, в момент возникновения связанного состояния с моментом 1 имеет вид ое1 Сог г))с, Х) Сгг'+Ч11" +', г < )(. Из условия нормировки находим Сз и эффективный радиус 1 взаимодействия 4 (21.- 3)И (21 + 1)И ! ш 21+ 3 В заключение подчеркнем, что при небольшом изменении потенциала эффективный радиус изменяется также незначительно. Поэтому значение го в момент возникновения связанного состояния применимо и в случае, когда уровень является мелким (реальным или квазидискретным). 13.45.
а) У. Ш, для радиальной функции Х~ = гр~ в случае 1 = О и его решение, удовлетворяющее граничному условию Х~Я) = О, имеют вид Хо+АХ =О, Х (г)=А 3!и[А(г — Л)). Отсюда фаза з-рассеяния б,(Л) = — М и сечение рассеяния медленных частиц, когда лк « 1, описывается выражением а ке о (й) = — мп' б — 4п)( ~! — — А 1(о) 4П оГ 1 с йо о ( 3 (напомним, что поправка к сечению, связанная с рассеянием в р-волне, оо Ао; вклад более высоких волн еще менее существен). В случаях б) и в) также можно было бы найти бо(Л) из точного решения у.
Ш. Однако более просто рассеяние медленных частиц может быть рассмотрено на основе разложения эффективного радиуса (Х!П. 15). При этом параметры низкоэнергетического рассеяния ао и г, могут быть получены с помощью решения у. Ш. для энергии Е = О; см. !3.31 и 13,43 для з-рассеяния. б) Решение у.Ш. при Е = О и 1 = О имеет вид г — ао, г>11, Сшивание решения в точке г = )1, см. 2.6, дает ай ао 2та)1 аз==, С=!.— —, 6= —. а — 1' ' )(' йо 723 Есля а ие близко к 1, то (аь(~й! и для медленных 'частюд а аз4мах (поправку порядка йз)(з к этому выражению можно, о найти, вычислив эффективный радиус гь согласно 13.43).
Если же а близко к 1, то (ае( л к и сечение рассеяния имеет резкую энергетическую зависимость, описываемую резонансной формулой (ХП1. 16), при этом эффективный радиус взаимодействия для б-ямы в момент возникновения свизанного в-состояния 4 2 гц 3 А', см. 13.43. Отметим, что соотношение о = 4аа„требует уточнения также при значениях параметра а, близких к 21+ 1 с 1 ~ 1 (когда в системе появляется связанное состояние с орбитальным моментом 1), ввиду резонансного характера рассеяния в 1-й парциальной волне, см. 13.46. в) Параметры низкознергетического рассеяния аь и гь для прямоугольной потенциальной ямы были найдены в 13.3! и 13.43.
13.48. Как и в предыдущей задаче, воспользуемся разложением эффективного радиуса (ХП!. 16). Ллина рассеяния 1 а з!ь! 2таР (21 — 1)И (21+1)И 21+ 1 — а была вычислена в !3.39. Пака а не близко к 21+ 1, рассеяние в 1-й парциальной волне носит нерезоиансный характер, при этом дли медленных частиц а! яв 4я (21+ 1) ага и доминирующим является з-рассеяние. Если же а близко к 21+ 1, то в потенциале имеется мелкий реальный (при а 21+ 1) или квазидискретный") (в случае й С 21+!) уровень. При этом рассеяние носит резонансный характер и существен член с эффективным радиусом, равным, согласно 13.44, г! яв — 4(21 — 3)И (21+ 1)И Р~ ~~/(21+ 3).
(2) Энергетический спектр системы определяется полюсами парциальной амплитуды рассеяния !!(Е) = !/й(с!38! — 1). В полюсе Е! имеем с!38!(Е!) = 1 и с помощью разложения эффективного радиуса (ХП!.15) для «мелких» уровней получаем уравнение 1йзд = — — + — г,йя. гь! 1 1 2 (3) а! 2 В случае 1 ) 1 величина левой части этого уравнения мала по сравнению с каждым из слагаемых в правой части уравне- ю) Так как 1 ) 1; з-уровень при а ( 1 является виртуальным.
724 иия, так что его можно решать последовательными итерациями, В «нулевом» приближении, пренебрегая левой частью в уравнении (3), получаем Яэ (21 — 1)(21 + 3) (21 + 1 — а) Яэ я тгсас 4 (21+ 1) т(ГСГ' Так как гс < 0 (для 1> 1), то в случае ас > 0 (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
