Galitskii-1992 (1185113), страница 129
Текст из файла (страница 129)
Полное сечение рассеяния равно 2пкз. Наконец, в области углов 0 — (Ы)-ыз амплитуды )„э» и )„одного порядка; вклад в сечение от рассеяния под такими углами пренебрежимо мал по сравнению с пйз. Для достаточно малых углов рассеяния (пока не начинают сказываться осцилляции полиномов Лежандра как функций 1. при 0 = 0 они вообще отсутствуют, так как Р~(1) = 1) дифракционная часть амплитуды рассеяния оказывается доминирующей и 1 яэ 1„.эг.
Действительно, так как фазовые сдвиги (1) велики, )б~) ~ 1, и быстро изменяются, то в сумме для 1., происходит ша, взаимная компенсация, из-за осцилляций е ~, вкладов различных слагаемых. Воспользовавшись соотношением Р~(соз 0) — lю((1+1/2)0) при 1л 1, 0 ~ 1 и заменяя суммирование в )„э» интегрированием по 1, получаем (й ж йк); здесь использована формула ~ хуо(х) ых = ху~ (х)). ( 742 Амплитуда дифракциоииого рассеяния — чисто мнимая. Воспользовавшись оптической теоремой и соотиошеиием /г(х) як яах/2 при х-ьб, находим полное сечение рассеянии а = 2я/7з, что в два раза превышает классическое сечеиие (сравнить с 13.51). В области малых углов рассеяния дифференциальное сечеНо пие — =] /хяфа] является осциллирующей функцией О, приг/Я чем расстояние между соседними максимумами имеет порядок величины ЛО 1/я/1.
Воспользовавшись известиыми асимптотиками функций Бесселя, согласно (4) находим цо„Ф ! га — (й /!)з /7з; /а е«!/лл 4 бо,„фр 2/7 и!и* (ИΠ— я/4) б(! !/ай«а«~ кьйз Наибольшую величину дифференциальное сечение рассеаиия имеет в области углов О(!/й/7 и быстро спадает с ростом О.
Полное сечение дифракциониого рассеяния /з (МО) охиФа = ~ ]/хчев]зг/В из2п!7з ~ бО= я/7з, О о т. е. составляет половину полного сечения рассеяния (ввиду быстрого убывания подыитегральиой функции интегрирование распространеио до бесконечности и использовано значение интеграла 1 з 1 — /! (х) г!х = — !. х ' 2!' 13.58. Рассмотрим часть /„ амплитуды рассеяния 1 ч-з згб! (2/+!) е Р! (соз О), Е = й/7, (1) г-о где бк даются формулой (1) предыдущей задачи. Общий подход к вычислеияю сумм вида (1) в квазиклассическом случае изложен в [1, 5 127].
Не повторяя вывода основных формул, укажем лишь результаты их применения к рассмахриваемому случаю. Формула (127.3) из [1] принимает вид 2 агссоз — ~ О = О, !+ 1/2 й/7 Отсюда следует, что экстремум имеется лишь у показателя первой экспоненты в (127.2), причем для экстремальной точки 1з имеем 1 0 1г 1Х . 0 1+ — -йй —. Ь = — (1 +-) 0-Юэп —. о 2 2' 5 2(о 2) 2' Окончательное выражение для (, определяется непосредственно формулой ") (127.6), принимающей вид 1 Г, .
0 ! Екл — — — — Р ехр !ь — 2ЕЙ)1 з!и — ~. 2 21' (2) Отсюда имеем гйткл = ) (зз (з = озл п)1~ Лй 4 (3) что совпадает с результатами классической механики. В заключение приведем рис. 50, иллюстрирующий качественную зависимость дифференциального сечения рассеяния г1а)г(Я от О г В- — ж, Ат Рис. 50 угла 0 при рассеянии быстрых частиц, М ~ ! (более точно, прн (йЯ)мз» 1), на непроницаемой сфере согласно результатам данной и предыдущей задач. !3.59.
Формулы (Х111. 1 — Х111. 5) очевидным образом обобщаются на случай рассеяния частицы с отличным от нуля спи- 'з) Она относится фактически к отталкивательному потен- циалу; в ней пропущен фазовый множитель е "д, возникающий прн переходе от суммирования по ! к интегрированию по 5 (что, конечно, ие отражается на величине дифференциального сечения рассеяния). 744 ном. Подстановка оператора взаимодействия У (вместо потенциала У) и невозмущенной волновой функции%'а е "огХР где уг — спиновая функция частицы до столкновения, в (ХП1. 5) определяет спииорную амплитуду рассеянной волны Е = /Хо в борковском пряближении.
Отсюда ~(й, йо) = — — „, ~ е ""(Уо(г) + У, (г) 1и) е'"'го(У = т Г- 1 д = — — (Уо (д) — (й,й) н. — — и, (п)~, (П 2пйо ( дп где У,, (о)) = ~ Уо, ~ (г) ехр ( — Гйг) ИУ. Согласно (1) и (Х1П. 23) полное сечение рассеяния в борнавском приближении описывается выражением (сравнить с 13.1) оо' и ~ ~( Уо(д)(о+ (йо ч ) ~ ~ ч ~ ~ддо (2) о (подчеркнем, что в общем случае слагаемое в дифференциальном сечении ао тро, описывающее азимутальную асимметрию в рассеянии, см. (Х111. 23), при вычислении полного сечения рассеяния исчезает; сечение, просуммированное по проекциям спина рассеянных частиц, от вектора поляризации Ро в начальном состоянии не зависит). Отсюда для быстрых частиц получаем ") и (Е) яэ Со/Е + Сь (3) где т т 1 1 дУ,(п) (а с,= ~ (У(п))дп, с, = ~3! ! ыд.
— впй 3 4нйо 3 1 дл о Оставленные здесь слагаемые отвечают различным взаимодействиям, и при большой, но конечной энергии ани могут быть одного порядка. Фактически из релятивистского характера спин- орбитального взаимодействия для электрона следует, что именно ") Читателю предлагается самостоятельно обсудить вопрос о применимости борновского приближения для спив-орбитального взаимодействия и вопрос об ограничении на закон убывания У1(г) на больших расстояниях, обеспечивающем конечность полного сечения рассеяния.
Подчеркнем лишь, что независимость от энергии при Š— ьос сечения рассеяния прн таком взаимодействии отражает его эффективный рост с увеличением Е, так как Хоф й)Г оа т/Е. 745 второе, не убывающее с ростом энергии слагаемое в иерелятивнстском случае оказывается менее существенным, Для рассеяния электрона в кулоновском поле получаем 2тХез Г, Дзйз /= — 1 1 — 1 — 1-з)п 8 (чй) Э, Дздз ( 4глзс (4) где ч= [йой]/] [йай]]; зависящая от спина часть амплитудырассеяния имеет малость -Оо'/сз.
Сделаем замечание о вычислении зависящей от спина части амплитуды рассеяния в случае спин-орбитального взаимодействия у д с (/, (г) = — — (/,(г). Имея в виду для нее выражение (1), г дг выполним следующие преобразования: е гьг(/ )ег"'г г(]г = Г/ гг1та] е — гчг Л 1 = — у ~ е ""[йзти,(г)] П = — Гу[йзй] йа(4) Поэтому для рассматриваемого спин-орбитального взаимодействия амплитуда рассеяния в борновском приближении описывается выражением /= — 2 „, Г/а(4)(1 — /у[й,й]й), (5) Квантовомеханическое обобщение этой формулы, получающееся путем замен: р на оператор спиноаого магнитного момента зз) И = роп, где ра = ])ед/2Мс (для нейтрона экспериментальное значеиие ]) = — 1,91), и Е на М, определяет оператор взаимодей- ствия ]35'е у= 2Мзсз ' у дф и= — п), г аг зз) См.
сноску к условию задачи 13.59. Отсюда, воспользовавшись выражением (/з = — 4пЕез/па дли фурье-компоненты кулоновского потенпиала и значением параметра у = дз/4тзсз, приходим к (4). 13.6(ь В исходной системе координат имеется только электрическое поле Р— Р~р с 4~ = Яе/г. Чтобы получить выражение, описывающее взаимодействие с ним нейтрона, движущегося со скоростью т = р/М, перейдем в систему координат, связанную с нейтроном. В этой системе появляется магнитное поле Ж ив [5'т]/с, см. [27], и энергия взаимодействия оказывается равной (р — магнитный момент нейтрона) и = — ркиб = — — рВ.
Ь = [гр]. 1 дф (1У Мсг дг Используя выражения для амплитуды рассеяния при спин- орбитальном взаимодействии в борновском приближении, полученные в предыдущей задаче, находим , 23езМу - . Облез 0 ] = ! — ~- — н [йзй] = ! — с10 — (оч) й дз 2Мсз 2 (3) (» = [йчй]/][йчй]] — орт нормали к плоскости рассенния). Диф- ференциальное сечение рассеяния, просуммнрованное по спино- вым состояниям рассеянного нейтрона, — - Р'Р = Х ! ]Х = [ ] с!О' —; Ып, ° ч.
т 02ез тз 0 тЯ ' ! 1 2Мсз) 2' (4) ] = А (й, О) + !В (й, О) чо в борновском приближении, см. формулы (!) и (5) из 13.59. Отсюда согласно общей формуле (Х111. 24) для поляризации рассеянных частиц следует, что вектор поляризации Р = О, если первоначально частицы были неполяризованы, Рз = О. При рассеянии поляризованных частиц вектор поляризации рассеянных частиц равен "), см. [1, $ 140]; (]А)з — ]В]з) Рч+ 2]В]'ч(чрз) — 2)!еАВ*[чр,]+ 21щАВ'ч ]А ]з+ ] В + 21щАВ'чРз Так как в борновском приближении А и  — вещественные функции, то 1 Рв = з+ ((Аз — В') Ро+ 2Взт(чра) — 2АВ [чро]] и, как леско убедиться, Рн — — Р . Поворот вектора поляризации 2 2 происходит вокруг нормали к плоскости рассеяния, при этом чрв = чРь зз) Напомним, что по сравнению с [1, й 140] в выражении (1) перед инвариантиой функцией В введен множитель !.
747 здесь В = !)( — спинорная амплитуда рассеянной волны. Для -3 рассеяния под малыми углами, О-ьО, имеем дп/б() се О, так что полное сечение рассеяния оказывается бесконечным (расходимость сечения устраняется при учете экранировки заряда ядра). 13.61. Зрмитовость оператора взаимодействия (! = Уз (г) + +(т~ (г)п! предполагает вещественность функций Уь ~(г). Прн этом вещественны и их фурье-компоненты Ук ~(д), а соответственно и ннвариантные функции А и В в выражении для амплитуды рассеяния 13.62. В первом порядке по взаимодействию йа дУ» (г) Лаз г 1» У Уа(г)+ 4щасзг дг — н1, где Уа(г) = — — е г) амплитуда рассеяния имеет вид ()с, й,) =...
~1 — с —,, (й,Це~ = СП 2пс2еа Г . йз йз [(1с — )са)з.(- )( з[ 1 4псзсз ~ А(~1+ ГВ(йте (1) (см. формулы (4) и (5) из 13,59). Функции Асо и Всс~ — вещественные, и поэтому в первом порядке теории возмущений полнризация при рассеянии не возникает, см, формулу (ХП1. 24). Общее выражение для амплитуды второго приближения получается, как и в случае рассеяния бесспиновых частиц (см.
13.10): Р (й, (са) = †, ~ (П~((с, к) [П1 (к, (са) , , (2) При вычислении А'а' — не зависящей от спина части амплитуды в амплитудах первого приближеяия 1'и> в выражении (2) следует учитывать только слагаемые А<" (вклад в Асз~ от «спиновых» слагаемых в обеих амплитудах (см имеет дополнительную малость -(о/с)«).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
