Galitskii-1992 (1185113), страница 130
Текст из файла (страница 130)
При этом Акз совпадает с амплитудой рассеяния второго приближения на потенциале Уа(г). Для потенциала (Окавы она была рассчитана в 13.!2. С помощью формулы (5) этой задачи получаем (с заменой в ней сс на — Еез) (3) " яч Для зависящей от спина части амплитуды (сю согласно (2) и (1) находим -1 В 1 Г 'г1'йе [ (йк) бак оч!щВ'зс= — ~ — ~ /ги ) [ з з[[„ (4) ()к[ = й = йа; о вычислении мнимой части интеграла см., например, 13.11), Входящий сюда интеграл запишем в виде — ( + )+ Ф () [(й — к)'+ й '[[(й — к)а+)( з) После умножения на ()«а+ 2) получаем (й, + й)з С, = — ! дГ)„~(в ! Г Г 1 2 ( (йа — к) +К 1 45~+ М (1с — к)а+Я з [(1са — к)з+Я з)[(й — к)з+)с з) Интегралы от первых двух слагаемых здесь вычисляются злементарно, а интеграл от третьего слагаемого непосредственно выражается через мнимую часть амплитуды рассеяния /(з~ на потенциале Юкавы, см.
13.!2; в результате получаем при М » 1 (напомним, что (и( = й): (йз+ й)з С, = 2н ~ — — 1п 2/гЯ+ — 1п 4/(~, ! 4 йз цз Замечая, что слагаемое Сзй в (5) не вносит вклада в значение интеграла (4) и что (кз + й)з = 4й' соз'(О/2), находим рб 1 / 3ез 'гз Ып 0 ( !пйй/( 4й 1п д/(] 4(,йсУ,О (. й дз соз 2 Теперь, используя соотношения (1), (3), (6), по формуле (Х1П. 24) получаем поляризацию электрояа при рассеянии в кулонозском поле ядра: р нз — (1ш А(з! .
В10 — А10 1ш В1~!) т = (А(~)) Лез о з(пз (О/2) Г . 0 Ч =2 —— !п ~з(п — /!ч; Лс с сок(0/2) ч 2 г' ' (1гз1г) ! (йзЦ ! дзйз ~ьы! ~/П ~ьы (г)' 2гл Здесь Ф ! — спин-угловая часть волновой функции (см. 5.24 и / У» 5.25, однако в данной задаче ее явный вид несуществен). Так как и 1 Ф .; = ~/ (/ + ! ) — 1 (! -1- 1) — — ~ гр .;, то замечаем, что радиальное уравнение П!редингера для /(зл имеет точно такой же вид, как и в случае бесспииовой частицы с орбитальным моментом ! в потенциале 1/! (г)=(/о(г)ж(!+ ~ — /(/~(г) 1 ! ч 2 йг' 749 (подчеркнем, что радиус обрезания потенциала в окончательный результат не входит).
При рассеянии позитронов вектор поляризации имеет противоположное направление (амплитуда /'о изменяет знак, а остается неизменной). 13.63. Решение уравнения Шредингера, отвечающее определенным значениям квадрата орбитального момента /(/+!), полного момента / = / ~ 1/2 и его проекции /„имеет вид (верхние и нижние знаки относятся соответственно к значениям / = 1 щ 1/2). Поэтому замена в выражениях (ХП1. 12 — Х1П. 14) потенциала (/(г) на (/г~ определяет фазовые сдвиги бс* в разложениях (ХП1.25) инвариантных функций амплитуды рассеяния по парциальным волнам в соответствующих приближениях. Так, обобщенве выражения (Х!П.
14) имеет вид б, = — —,'„" ~ [и (4/р'+ ). йр(/,(4/р + Ипю /=рй»1, Используя это соотношение, с помощью формул (ХШ. 25), как и в случае бесспнновых частиц [1, 5 131], можно получить выраженяя для инвариантвых амплитуд А и В в приближении эйконзла; прн этом полезно иметь в виду, что з1пО Р (сов В) се — — /е(!О) = //~ (!В)! 1»1, В С1. д стВ е Особенно наглядно выглядит в эйкональном приближении выражение для амплитуды рассеяния / как оператора (матрнцы) в пространстве спнновых состояний = — 1 ~ (1 ехр [2/б (йз р)]) е ~аз пзр 2н 9, если ввести оператор квазнклассического фазового сдвига (срав- нить с (ХП1. 19)) б (йм р) = — — ~ [(/з (р, з) + (/~ (р, л) [ойэ] и) с/з.
26п С помощью соотношения ехр (/апт) = соз а + /пч з1п а, где т' = 1, (2) =И вЂ” =~ ) ~ соз (В/2) Х у — з)п (В/2) ~ )(з/з — т. з)п (В/2)/. 2 в чз — 'ч соз (В/2) / 750 теперь не представляет труда получить эйкональные выражения для амплитуд А и В в формуле (ХП!, 22).
13.54. Пусть плоскость реакции есть плоскость (х, г), причем ось з направлена вдоль импульса р, частицы со спином з=1/2 в с. ц. и, до столкновения. При этом имеет место: рз = (О,О,Р), р = (Р з1п 0,0, р сов О) и ч = (О, 1,0), так что йч = и„. Учитывая, что спиральные состояния: ф — до столкновения х н )( — после рассеяния, описываются спинорами (см. 5.20) Н ° з находим спиРальные амплитУды )ь —— уоРРх: н — ) Пе ,)з = сов (В/2) А - з)п (В!2) В, Уоз ,Р—— — ) Вз Пз = — з!п (В/2) ° А — соз (В)2) В, 13.65. Волновая функция относительного движения сталкивающихся бссспиновых частиц на больших расстоиниях имеет вид е'з*= ~ гг(2! -)-1) Р, (соей) — ~е Щьг Яг!з) — е! 1з' поз)). 1 2йт г Слагаемое 1~ (21+ 1) Рг (соз О) е ' Рм Я~ГЗ!/2йг этой суммы описывает состояние сталкивающихся частиц (до взаимодействия) с моментом ) = 1, четностью!~ = ( — 1)' и проекцией момента на ось з, направленную вдоль импульса рз = йй, равной нулю, т.
е. ), = (, = О. Возникающие при этом в результате взаимодействия частицы в рассматриваемом канале реакции на большом относительном расстоянии гз друг от друга будут описываться расходящейся волной вида т) (Е)Ф1 т т; е(п,) — е '', п,= —, (!) 1;е„, г, з= гге ' г~ г, Здесь Ф П (п) описывает спнн-угловую зависимость в. ф. раз~а летающихся частиц в состоянии с соответствующими квантовыми числами; величина параметра тп опредедяется интенсивностью взаимодействия. Для определения явного вида Ф(п~) замечаем, что орбитальный момент в конечном состоянии совпадает с исходным й Действительно, при полном моменте !'= ! и спине з= 1 орбитальный момент может принимать лишь значения 1 ~ 1; при этом с учетом значения четности состояния следует, что У'= ! (причем ! Ф О).
Поэтому ФЫ О (П,) = ~ Сгм, м Унн (П!) )С,л, (2) м=о, ы Используя здесь выражения для шаровых функций Уьь компонент вектора )( (см. ЗА1) н коэффициентов Клебша — Гордана: Уг ! — — ~1 1ь4 1 1 1 ~ з!п ВРг(созВ)е ~ — (1, ~й О); С! и ! !==г( — !) =, 2 2 Сто,ю 0 го 751 приводим выражение (2) к виду I Фы о ут юп В, Р, (соз О,) ( — з1п фп соз фм О), где у = ( — 1) [(21+ 1)/4п1(1+ 1)]ча. Замечая, что вектор с компонентами з)п В~( — з)п фь соз фь О) равен [рар4Р«рь и выполняя суммирование по 1, приходим к выражению для векторной амплитуды «рассеянной» волны— коэффициенту перед е ' 'гг, в асимптотике волновой функции быт, ~ при г, -» о» в рассматриваемом канале реакции Ф (пю) = У (Е О) [роро, 7(Е О) = Е цг (Е) Рс (соз О) (3) т здесь тр(Е) = тн(Е)урр«рь При этом дифференциальное сечение и'о реакции, просуммированное по спиновым состояниям, — = ~И э~ = — ] Ф]з, где э«, ~ — скорости отнасительногодвижения частиц в эа начальном и конечном состоянии.
Полное сечение реакции п,=~ о, ~., о,, г = — „' ] у, , ''Рс~р] [ ц, ]' - — „' [ цг (Е) ]з. ([] 1 ] 1) = а*Ф = й(Е, О) а' [рчр,], (4) Оно очевидно заранее (н не требует проведенного выше исследования) из соображений о скалярном характере амплитуды реакции, так как представляет единственно возможную скаяярную комбинацию, которую можно образовать из векторов р«, р, и а (причем в силу принципа суперпознции вектор поляризации должен входить линейно), При этом следует учесть, что а является акснальным вектором (псевдовектором), так как при инверсии 1а = +а ввиду положительной внутренней четности частицы с з = 1.
Заметим, что согласно (4) частица с з = 1, образующаяся в рассматриваемой реакции, оказывается линейно-поляризованной в направлении, перпендикулярном плоскости реакции (проекция спина на это направление имеет определенное, равное нулю, значение). Из условия унитарности 5-матрицы вытекает ограничение на парциальные сечения реакции: о, ~ ((21+ 1) и/йэ, см. [1, $ 142]. Амплитуда реакции с образованием частипы с з = 1 в конкретном сииноном состоянии, описываемом вектором поляризации а, определяется выражением В случае реакции, когда частица со спином з = 1 имеет от. рицательиую внутреннюю четкость, ее вектор поляризации ч является полярным вектором (так хак при инверсии 1» = — ч).
Соответственно теперь из условия скалнрности амплитуды перехода следует, что ее спиновая структура имеет вид 4') () ) "1 ) 1) = ч'(), (В, Е) р. + )з (В, Е) р ). (5) Появление здесь двух инвариантных амплитуд 1, з связано с тем, что при данном орбитальном моменте 1 сталкивающихся частиц орбитальный момент частиц в конечном состоянии может принимать дяа значения: 1' = 1~ !. !3.66. Е борновском приближении амплитуда рассеяния описывается выражением (сравнить с !3.7 и !38) (Ао (д) + 1Во (д) йлт) ехр ( — 1йач); (!) и здесь а„— радиус-вектор а-го центра; вещественные функции Аэ(Ч) и Ва(Ч) определяются формуламя из !3.59. Дифференциальное сечение рассеяния, усредненное по начальному спиновому состоянию рассеивающих центров и просуммированное по нх конечным спиновым состояниям, имеет вид ( ч)-ч(с х .
'""$ .Р- Ь(е~,ь)х Х Д Р та!п(й(а„— а ))+УВо~(д)+ + Во (д) ~~~ (и ч) (пач) соз (й (а„— аь)), (2) где черта озна гает усреднение по исходному спиновому состоянию центров. Если между состояниями отдельных центров нет корреляции, то (а ч) (а т) = (Р т) (Р т), л Ф й, и в случае веполяризованиых центров, Р,=О, из всех слагаемых в выражении (2) отличны от нуля лишь первое и трепе. Первое из них определяется не зависящей от спина частью У,(г) взаимодействия и имеет такой же вид, как и в случае рассеяния на ") При этом, как н в предыдущем случае, существенно, что все остальные бесспииовые частицы, участвующие в реакции, имеют положительную внутреннюю четиость (точнее: должно быть положительным их произведение; в противном случае выражения (4) и (5) должны быть взаимно заменены друг другом).
753 бесснпиовых центрах, сравнить с 13.8. Слагаемое же УВо(41 2 определяется спин-орбитальным взаимодействием. Характернан его особенность — пропорциональность числу рассеивающих центров — указывает на некогерентность рассеяния. Дело в том, что это слагаемое отвечает рассеянию, при котором происходит <переворот» спина рассеивающего центра (так что можно указать, на каком именно центре произошло рассеяние; в таких условиях интерференция не возникает, см. 113) ) 13.67.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
