Galitskii-1992 (1185113), страница 132
Текст из файла (страница 132)
,Ео г' зиг 13.74. Обозначив 5! = ! Е! ! е г, имеем для парциальных амплитуд в (Х!11. 9) выражения 1 1т ф = — (1 — (5!(сов 23!), 23 (3) При заданном значении ! щ ф~ величина ) Ке ф~( максимальна при (Я,/ = 1 (в этом случае неупругое рассеяние отсутствует и оы~ = ом), так что, записав !т ф~ = (1 — а~)/2Й, получаем ! Ке Р (Е, О) ! ( ~ (2! + 1) ! Ке ф! ) ( — ~ (2! + 1) ~/1 — о! . < —.3Я т йК~! — — ~ ~ (= ~/ог !йК. Щ Поступая как и в предыдущей задаче, приходим к следующему ограничению на вещественную часть амплитуды упругого рассеяния вперед при заданных полном сечении рассеяния и радиусе взаимодействия: (Ке )(Е, О) ! < Отсюда, учитывая, что оьн ч- 4нЩ и ограничение на рост ра- диуса взаимодействия с увеличением энергии, см.
предыдущую задачу, получаем ()(Е, О) (~ей ~/ню, (Е) Рл ( Е ) (2) (здесь для мнимой части амплитуды рассеяния использована оптическая теорема). Как отмечалось, ограничение (1) предполагает отсутствие неупругих процессов. Аналогичным образом (с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа) можно получить менее жесткое ограничение на амплитуду рассеяния при заданных значениях как полного нмь так и неупругого ш,и сечений столкновения. 13.73.
Так как для полиномов Лежандра Р, (1) =1(1+ 1) I2 то с помощью разложения амплитуды рассеяния по парциальным волнам (ХП! 9) при высоких энергиях получаем — 1ш )(Е, О) ~ ж~ И1щ ~рг (1) 4 сов б )з-о с Имея в виду, что !ш ~, ( 1/л, залучаем, что прн заданном полном сечении рассеяния, а следовательно, и мнимой части амплитуды рассеяния !ш((Е,О) (ввиду оптической теоремы), вели. чина суммы (1) принимает минимальное значение, если в 1( 1., 1 !тгр = й' О, 1)Еь (2) н! ! = — ~ (21 + 1) 1гн гр яа —, 4н чч би ч~ !=о Заменяя суммирование по ! интегрированием, получаем Е! = 2 =й о з!4и и пРиходим к следующему ограничению; 2 — — „, 1ш)(Е, дз) ~, =- —, йоют(Е). (3) Подчеркнем, что соотношения (2) соответствуют «насыщению» полного сечения рассеяния за счет низших парциальных воли.
При этом н~ы = ом (нет неупругих процессов) и более того, для 1 ( (ч все фазы б, = и/2, так что ограничение (3) должно выполняться с большим запасом. 7бб Прн этом значение Е~ определяется величиной полного сечения взаимодействия с~ Аналогичным образом замечаем, что максимальное значение сумма в выражении (1) привимает в случае, когда полное сечение рассеяния насыщается за счет высших парциальных волин О, 1<Ез, 1/й, ба <1~~ бз = йй. Теперь приходим к следующему ограничению (уже сверху): д й)(гогот / нг г Х Ю~отег )ш)(Е рз)~ < ~1 — — о]< .
(4) пдз ' 1~ =о 1би Х 8и)7з,Г !би Для амплитуды дифракционного рассеяния на непрозрачной сфере ралиуса )г (см. 13.57 и 13.90) , й)т /авфэ =1 — / (С)7) Ч отмеченные в условии задачи ограничения, являющиеся непосредственным следствием соотношений (3) и (4), принимают внд следующего неравенства (послс сокрашения на /гз/4): 1/4 < < 1/2 < 1. В заключение подчеркнем, что, как отмечалось выше, ограничения (3) и (4) предполагают отсутствие иеупругих процессов. С помощью метода Лагранжа, как н в 13,73, можно получить менее жесткие ограничения при заданных независимым образом значениях как полного, так н неупругого сечений столкновения. 13.76. В условиях применимости эйконального приближения существенны лишь малые углы рассеяния.
В этой области углов правая часть соотношения (ХП!. 26) с учетом эйконального выражения (ХП1. 18) для амплитуды рассеяния может быть преобразована к виду — ~ ~ [5* (Р) — 1] (5 (Р) — 1] ехР ( — Й1хр) Изр (1) (для выполнения интегрирования по углам, приводящего к формуле (1), следует воспользоваться соотношениями г й — й =О, й' — й =9, й' — й=а — й, о з. о- 1 х 1 з г гЯ' яа — г( л /аз г хотя дх, л Кй, ио ввиду быстрого убывания подыитегральной г функции по йд можно интегрировать в бесконечных пределах) Теперь, используя для 5(р) выражение (Х!П.
19), замечаем соотношение ]3' (Р) — 11! ~ (Р) — !] = (1 — 3 (Р)] — Р' (Р) — 1], 761 так что (1) принимает внд /((г,й,) — 7 (йь)с), что и доказывает унитарность амплитуды рассеяния в эйкональном приближении. Отсюда, в частности, согласно оптической теореме следует вы. ражение для сечения рассеяния быстрых частиц, обсуждавшееся ранее в 13.51. 13.77. Взаимодействие налетающего электрона с атомом имеет вид (г — радиус-векторы атомных электронов) Еез чч еэ (/(.,(г.»=- — + 7 г 2~ ) г — гс(' а Амплитуда упругого рассеяния электрона на атоме в борновском приближении в пренебрежении обменными эффектами, играющими роль, аналогичную поправкам более высокого приближения "), описывается подобным (ХП!.
6) выражением: /н 2, йг ~ Ро(ьл) з () (г (г тг) з Ро(га) с(~ с(т! (1) (интегрирование по К, включает и суммирование по спиновым переменным атомных электронов). Выполняя в нем интегрирование по 5, и учитывая, что ф„(г) = ~ 1 — — ~ ! ) Ч'з ($а) Р дт (2) г (г — гл( ! а определяет среднее значение электростатического потенциала, создаваемого атомом, замечаем, что выражение (1) принимает вид формулы (ХП1. 6) для амплитуды рассеяния в борновском приближении для локального потенциала У(г) = — е<р.,(г), Приложения ее рассмотрены в задачах !3.4 — 13.6.
13.78. Гамяльтопиан системы (с бесконечно тяжелым ядром- протоном) описывается выражением 1 г т ез ез ез У= — (р!+р,)- — — — + 2гл г, гз ) г~ — гз) При этом проекции спиноз з, для каждого электрона сохраняются и электроны с з, = +1/2 и з, = — !/2 можно рассматривать как различимые частицы (антисимметризация волновой функции не отражается на результатах). Соответственно, обозначив через е~ электрон с з» = +1/2, а ег — электрон с з, = = — 1/2, замечаем, что рассматриваемый процесс е, + (е,р) -ь ез + (е~р), где символ (е„р) соответствует атому водорода с электроном е„ ") Сравнить с 13.78. 762 является процессом с перераспределением частиц, в котором начальный и конечный каналы реакции — различные.
Амплитуды таких процессов выражаются через матричные элементы соответствующего Т-оператора, который может быть записан в двух различных видах (см., например, главу 18 в [251): 1 т,=)г +)г Š— Й+ 10 1 т =)г +И Е вЂ” Й+ 10 (2а) (2б) где сс, р нумеруют каналы реакции, )го,р аписынают взаимодействие разлетающихся комплексов — потенциалы взаимодейстаия — н каждом из них (а — начальный, р -- конечный каналы; отметим, что хотя у~ Ф г г, тем ие менее амплитуды реакции (р(ус з)и> совпадают).
Б дальнейшем мы будем использовать для плоских воли Ч' = е и относительного движения в каягдом из двухчастичг г!а Р ных каналов м) нормировку на единичную плотность вероятнасти. При этом дифференциальное сечение процесса связано с элементом Т-матрицы (()(Г(ц> соотношением — — ( (р ( т ( и> (' сМ (2п)' 64 Р, где Рс т и )П т — импУльсы отиосительнага двнженна и пРаведенаые массы для сталкиаающихся (разлетающихся) частиц в каналах и, (); Ы(1 — элемент телесного угла рассеяния в с.
ц. и. Обычно используемая амплитуда упругого рассеяния (р, = рз, Р> — — Рт) связана с Т-матрнцей соотношением 44) Имение оии (а не расходящиеся нли сходящиеся волны!) в произведении с волновыми функциями связанных состоянии, соотаетствующих состааным частицам в каналах, сраанить с выраженнем (3), фигурируют и матричных элементах (й ) Т ) а), определяющих амплитуды реакций. 763 Такое же соотношение справедлива и в случае неупругих столкновений, если гм рг Р~ Рз. Воспользовавшись выражением (2а), рассчитаем амплитуду процесса (1) и первом борновском приближении, т.
е. огра начинаясь слагаемым уо в То В данном случае )го = = — ез/г~ + ет/ ) г~ — гз ( и амплитуда рассматриваемого процесса с «переворотом» свинов электронов принимает вид Х е ""0 Ч (гз) о()г! Л'з, (3) где рь о — импульсы падающего н рассеянного электронов, Ч'о(г) — в.
ф. основного состояния атома водорода. Воспользовавшись импульсным представлением (ниже используем атомные единицы е = 6 = лг = 1) у (г) = — = ~ еыг() (х) сгзх, г 1 1 Что (г) — о г — — ег~~Ро (х) й и, „(и = (2и)з!2 1 тт8 и(х) = —, ~,(х) = 2п'х' ' я (! + Хз) з ' выражение (3) можно преобразовать к виду — (2л) ( ~ Чо(р!+к) Чо(рз+х) Урз(н)п х+ + оРо (Рз) $ (Ро(Р!+ х) ()~ (х) о( х ~. (4) Так как до о ~ 1 (как необходимое условие применимости боряовского приближения), а фо(р) при р- со убывает быстрее, чем ()(р), то замечаем, что доминирующую роль в интегралах (4) играют области интегрирования, в которых аргумент одной из волновых функций фо(х) порядка 1.
При этом в обоих интегралах х ом )рьэ( = р и можно вынести из-под интегралов О(р), после чего они легко вычисляются (сравнить с 4.1У): оРо (Р, + х) %о (Рз -1™) г(ах = ~ Ро (х') ко (Ч+ х') о(зх = ~ ~Ро (х') Тало (х') Ы х = г =~о ч (Чго(г)! Ы)г= зз ° Ч=рз Р~ з 1б (4+4 ) (интеграл сводится к формфактору основного состояния атома водорода) и ыо(Р, + х) д х = (2л) Гз Ч'о(0) = у 8 иь В результате получаем амплитуду рассматриваемого процесса 32( 1 1 гтр. 44(ри Р!) р '( (4+ д~) 2(! .( з)з ) Ч = Ро Р (5) Отсюда видно, что доминирующую роль в рассеянии играет область значений д ц~ 1, т.
е. углов рассеяния 9~ (1/р. При этом второе слагаемое в выражении (5) пренебрежимо мало, так что дифференциальное, Фо/г(Р. = )1]з, и полное сечения рассеяния оказываются равными э(о 4 (бмпв Ж2 = р" (1+ р»3»/4)4 р ' = Зр» = 3 (йп )з (заменнв Ы(1 на 2я8 г(9, можно интегрировать по 0 в пределах от 0 до оо ввиду быстрой сходимостн интеграла). Сделаем несколько заключительных замечаний.
1) Сечение рассеяния электрона на атоме водорода с «переворотом» спиноз, предстапляюшего фактически неупругнй процесс, при больших энергиях много меньше сечекия упругого рассеяния ат,» = 7п/Зр', см. 13,4. 2) Появление дополнительной малости 1/(ран)» в амплитуде (и 1/(рав]4 в сечении) рассматриваемого процесса по грзннению со случаем упругого рассеяния (без переворота сиена) имеет простое объяснение. Действительно, чтобы «поменяться» местамн, электроны должны рассеяться друг на друге под углом яэ!30' в с.
ц. и. Зависимость амплитуды резерфордовского рассеяния от переданного импульса, г 0 (д) 1/(рав)з, как раз и приводит к такой малости; при этом д яэ р (в случае упругого рассеяния уже даэ 1, значение дю» 1/аз при этом определяется экраниравкой кулоновского потенциала в атоме на расстояниях аз). 3) Сушестнеиным является то обстоятельство, что в рассматриваемом процессе большое изменение импульса имеют именно две частицы (два электрона) и оно может быть обеспечено уже при их однократном взаимодействии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
