Galitskii-1992 (1185113), страница 133
Текст из файла (страница 133)
В других реакциях с перераспределением частиц вида а + (Ьс) -»-Ь + (ас) в случае т. Ф т» уже р, Ф рь и большое изменение импульса частиц а и Ь требует также большой передача импульса и частице с. Это приводит к появлению дополнительной малости амплитуды процесса ") — 0(д)/д». Такзн ситуация возникает н в рассматриваемом процессе (1) прн не слишном малых углах рассеяния, когда д ~ 1, как это видно пз формулы (5). Такая дополнительная малость связана с тем, что амплитуда процесса включает в. ф.
атома водорода (составной системы в общем случае) ф(р), имеющую при больших импульсах (р д»!) асимптотику вида ф(р) 0(р)/рз 1/р» (для э-состояний, сравнить с 4.17 н 4.18). Отмеченная малость имеет такой же порядок величины, нак н в членах второго приближения по взаимодействию м) Сравнить с 13.79. в Т-операторе.
Б этом случае (когда велико изменение импульса всех частиц) расчеты амплитуды и сечения процесса на основе первого приближения теории возмущений даже прн больших энергиях носят лишь качественный характер. Последовательный расчет асимптотики амплитуды требует учета в Т-операторе членов более высокого порядка цо взаимодействию (для процессов с большим изменением импульса всех частиц в трехчастичной системе, как, например, в условиях задачи 13.79, следует учитывать члены втоРого поРЯдка по взаимодействию )го 8).
!3.79. Приближение Оппенгеймера — Бринкмана — Крамерса для процесса перезарядки е + (е р) ч- (еее ) + р основано на использовании для Т-оператора выражения" ) т=).=и+ е е ( Г, — гт( ' где гь з — радиусы-векторы позитроиа (электрона). Обозначим через р, импульс налетающего позктрона (в системе покоя атома водорода, шр — — ), а рз — импульс образующегося позитроння (его масса лг(е+е ) = 2).
Из закона сохранения энергии следует, что рг = 'ЛР! (Е =р!(2=рт/4, энергией связи в атоме 2 2 водорода и в позптронци можно пренебречь, так как рс т > 1). Волновые функции начального (какал а) и конечного (капал Я состояний имеют внд т!га = е'~'"'фы (гз), Г ! 1 1 /г~ — гз~ Ч' = ехр ~ — р, (г ~ + гз) ) = фльа ! ( 2 .1 1(8 т, 2 г" Здесь ф,~ (г) — в. ф.
атома водорода (с массой (л = 1!), коэффицвент !М8 и множитель 172 в аргументе в. ф. соответствует тому, что радиус Бора для позптрония в 2 раза больше, чем у атома водорода. Лмщтитуда процесса в ОБК-приближении описываетси выражением (сделана подстановка р = (г, — гт)/2) танк(1з-з и!ш) =(9(и,+,-~а)= Г 1 ~2 ~ ф ( ) ! (з -р»ел~ ф' („— г 1ш-зз,!г,!з„ !з лгт ") Те же результаты следуют и нз выбора Т яз !гб яа и, см, предыдущую задачу, где сделан рвд общих замечаний о процессах с перераспределением частиц.
Отметим, что для процессов перезарядки результаты как точного вычисления амплитуды в первом порядке теории возмущеивй согласно Т = 1" б, так и в ОБК-приближении носят лишь качественный характер (последовательный расчет асимптотики амплитуды требует учета членов второго приближении). Первый интеграл здесь равен (2л)згзфы(д) с О = рз — рь а вто- рой, с учетом у, Ш., есть 'х 2 Ч! Еп) фпгм(Я!) з)з / 1 2 где й =2р — р, Так как д, д, ~ 1, то воспользовавшись длн волновых функций ф(р) в кулоновском потенциале У = — 1/г (прн атом С(р) = — 1/2л'рз) их асимптотикой прн р-~- со согласно 4,18: ~/з /2 2(Л) т1з (Р) ч ~ропп (р) )/ ! 4 ( 21) ) ас (0) 1 пч (н) лр л р~~~ (2) (здесь учтено соотношение для координатных кулонавских вол- новых функций ф„па (г) = !'!т (и) г Алг(г), / (и ) (2!+1)1лзь! Ч (л — ! — 1)! ' см. (1, $36]), получаем 16 у2ггз (ц/2 !) Д~! (О) !!у!м (п ) , 2'(21+ !) (11)')('.г(О) повн (1а-э л!) =64лаи "а ьг !я „зг, (4) (! + 6) (3 — 2 )/2) м) См.
13.78 о нормировке амплитуд; в данной задаче (а~=1, рз=2, раааа/2 рь 767 Здесь п =, а также учтено, что о! — — 24 =2(3— — Рз+ 2Р| 3 з о )р, 2р) ° — 2ц/2 соя 8) рп где 8 — угол между векторами рз и р!. 2 Как видна, з ОБК-приближении угловое распределение об. бо 1 разуюшегася познтроиня"), — =- — )Т )з, не зависит от ' би а/2 лз величины импульса налетающего познтрона, резко анизотропно дзначеиня 3 — 2 ц/2 соя 8 для углов 8 = 0 и и различаются в ж35 раз), а поляризационнае состояние образующегося позптрония характеризуется тем, что проекция его орбитального момента на направление вектора пз (лежащего в плоскости реакции) имеет определенное, равное яулю, пт, = О, значение, так как Уг (8 = 0) у(21+!)/4л Ь о.
Для полного сечения перезарядки, просуммированного па значениям проекции орбитального момента лг образуюшегося позитрония, получаем где )т = Ргяа/й — относительная скорость сталкивающихся пози- трона н атома водороде в атомных единицах. Отсюда, в частности, сечение перезарядки н вз-состояння позитроння можно записать в виде па~в /2,89 тщ пОБК(1.-»~~4) - — '~ — ') вз Х )г ) Обратим внимание на резкую энергетнческую зависимость сеченив перезарядки, и 1/р' ~ (сравнять с результатом предыдущей задачи п со случаем упругого рассеяния, см. 13.4). Она объясняется тем, что все частицы, участвующие в процессе, имеют большое нзмененпе нмпульса. В свнзи с этим отметим, что подобную энергетическую завяснмасть нмеют и сечения перезарядки при столкновении быстрых тяжелых т )) т, частнц с атомом водорода.
Прп т л т, сечение перезарядки ве зависит ат массы налетающей частицы (например, протона, мюона н т. д.). В частностн, в этом случае сечснне перезарядки в пз-состояние 2) агз чаз 2,47 оОБК(1з «"з>=моя б„з(гяз = з 2 ( р ) (8) (Л вЂ” заряд частицы). Из сравнения (5) н (6) вндно, что сечение перезарядки прн столкновении познтрона с атомом водорода в 7 раз больше, чем прн столкновения протона (прн одннаковых скоростях). 13.80.
Обозначим через ((ыз~ радиусы-векторы центров масс частнц А(В), тюв~ н раз — пх массы н импульсы относительного двнження до (1) н после (2) столкновения. Волновые функция начального в конечного состояний системы имеют виды) ага — — ехр ( А Р~(() тудг (уха) вагш (гв~, 1( = ((д 4(в (1) Ч'1 ехр ( й Рз(() 1 д)(ха~ 1 в((тгв)т АЧ = Рз Рг Амплитуда рассматриваемого процесса в борновском приближении опнсывается выражением (сравнять с 13.77 н 13.73): м т'ч ааеь с(п 7,,=- —,7-(1г(( У ) Р,>, — -171з, (2> 2мйз 2.г |ха — г,) сЯ а,ь где Р = т„тв((та+ взв) — приведенная масса частиц А н В, Интегрирование в матрнчнам элементе (2) проводятся как по 'з) Волноные функцнн Ч'ыв~ составных частиц описывают состояния входящих в них частиц относнтельно центра масс соответствующей снстемы (в случае атомов — совпадающего с положеннем ядер). г независимым <внутренним» координатам х„гь (в случае атома — это координаты всех электронов), так и по радиусу-вектору й относительного движения частиц.
Записав в ием х l а ((л + ха и гь Кв + гь, воспользовавшись известным разложением в интеграл Фурье кулоновского потенциала 1 1 Ик )х,— хь( 2к»,) 1 к' » ехр (™ (х» — гьЦ и учтя вид волновых функций (1), получаем ГН вЂ” — — ', Г;1( — а)ГН(Ч) 4яе' л в (3) Здесь срц (ч) (чгл(в) 1~ ~ еа ехр ( — (чга) 1чгл (в) с) (4) а — электрические формфакторы для соответствующих переходов в составных частицах А(В).
Такой амплитуде (3) можно сопоставить график — диаграмму Фейнмана, приведенный на рнс. 52. Он наглядно пере. дает важное свойство амплитуды — ес факториаоаалиый вид ло отношению к уча- Рг:. Рлл ствующим в процессе частицам А и В. На ер(-Ч) л этом рисунке волнистой линии между вершинами сопоставляется множитель, равный лг: 4я/у», а самим вершинам — формфакторы еГН (г Ч) (заметим, что изменения вмл 1в) ерим) нульсов частиц А и В в процессе столкновения отличаются знаком). Рзг Рз' Отметим ряд свойств формфакторов. 1) Для точечных (бесструктуряых) час- ' тиц Г(д) = 5 =- сопМ, где Ле — заряд час- Рис.
52 тицы. 2) При д — » О, разлагая ехр( — (Чг) в выражении (4) для Г(Ч) в ряд, замечаем, что отличен от нуля и равен при этом Г,(0) = 2 лишь улругиб (без изменения состояния составной частицы) формфактор, причем для системы с отличным от нуля зарядом Хе Во всех остальных случаях Ги(0) = 0 (для заряженной частицы — как следствие ортогональностк волновых функций).
Характер <зануления» формфактора прн д †»О зависит ат квантовых чисел — момента и четности — начального н конечного состояний. Наиболее медленно,ерш»м — 1(Г) б(1) Ч оо д убывает формфактор для дннольных (или Е1 — ) переходов. Для переходов с одииаковмми значениями момента н четности (например, для Я-состояний) уже ЕН со 4». По мере увеличения 25 В. М.
Г»ляккяв в хв. 769 разности значений моментов начального и конечного состояний обращение формфактора в нуль при д - О происходит все более резко. 3) При д -~.со формфактар любой составной системы обращается в нуль®з). Закон убывания формфактора при атом уже существенна зависит от числа частиц в системе и от характера убывания фурье-компоненты потенциала взаимоденствия. Из физических соображении представляется очевидным, что чем быстрее убывает 0(д) я чем больше частпц в составной системе, тем быстрее убывает и формфактор, сравнить с 13.84.
Для рассматриваемых переходов атома водорода формфакторы Ры „нн(й) ~ Ч'„г,ч(г) (1 — е ч~) Ч'! (г) г()г легко вычислить, учтя вид волноных функций — см, (1т'. 4), если воспользоваться сферическими координатами с полярной осью, направленной вдоль вектора й: 8зз+ и', 4)/2 дз !з.ьы ат (т) (4 1- дз)з ' !з ьзз г 9 3 Ч ' ' (з) (5) В случае 2р-состояний удобно записать угловую часть волновой функции в виде )/3/4л (в (т) п), где ! е (лт) )з = ! (сравнить с 3.41 и 3.42), после чего получаем е'(лт) д ( / Зг Г!з-азат = 1 — Зт ехр ~ — — — Рйг) с(г' = 4уг2 н дй 3 б,)г'2 ! (~) Ч (б) Й+')' (формфактор отличен от нуля лишь для состояний с проекцией орбитального момента электрона на направлении вектора равной нулю). Переходя к вычислению сечений столкновения, заметим, что ~1 Р! + Рз — 2Р!Рз сок О, Рт 'у'Р! — 2Р(а! — вз) Яа р (а~ — а,) Рь Р~ где вь з ) Π— знергни связи рассматриваемых систем до н после столкновения.
Соответственно, ЫИ можно заменить на нг)дз/Рз! 4з) Для атомов в приближении бесконечной массы ядра пря ,у-~ сю упругий формфактор Р„„р = У (он определяется вкладом неподвижного ядра) . 770 н ннтегрнровать по йз в пределах от 0 до со (ввнду быстрой сходнмостн на веРхнем пРеделе, йюзх Як 4Р!/. ЗаменЯть нИжнИй з зъ предел интегрирования 2 ( )2 ((с(а! ез)) на 0 нельзя, ввиду возникающей расходнмостн, лишь для таких неупругнх столкновений, в которых одна нз сталкнвающнхся частиц имеет отличный от нуля заряд и ее состояние в процессе столкновения не нзменяется, так что для нее г"(0) = Я Ф О, а для другой частицы рассматриваемый переход является днпольным, так что ерн ж — гйай прп а †» О.
Элементарное ннтегрнрованпе приводит к следующвм результатам: 1) а(1з1з +1з1') = )з ') Р! .»!з(ч)дч = 3 з (У) о 2) п(1з-»2з) = 4л2з 2'тля Ы' Ры.+за(ч)дЧ = б,роуз яз0,444 уз о (8) Г г Хз 1 д' (' дх а (1з — » 2р) = 288л !ч — ) 'ч У ) 51 даз з х(а+х) 2 чана =288л ( — ) — ~ — з( — !п з )1 2'л2 г !37 ч 3'У Г (95У) 50 3' Р~ здесь д~~ш=(ззр — е!,) 1!У~=9/54 Уз. Сумма (8) н (9) дает 2'злая 25 ч п(1з -+ л = 2) = — (ч (п 4У вЂ” — ) 3~чуя 24 ) лЛз г 25 ч ян 4,44 — ~!и 4У вЂ” — ) (1О Ут 'ч 24/ 25ч где У = р1/р — относительная скорость сталкнвающнхсн частиц, Ле — заряд частицы, сталкивающейся с атолсом водорода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
