Galitskii-1992 (1185113), страница 134
Текст из файла (страница 134)
Для столкновений с переходом 1з-» 2рт для атома водорода полное сечение, просуммнрованное по проекциям момента нз ( прн этом Ч ~)е(ш)9(а= да) удобно вычислять, записав его в виде (х = дз, а = 9/4) — полное сечение возбуждения состояний атома водорода с главным квантовым числом л = 2 заряженной частицей. 13.31. Как и в предыдунтей задаче, сечение столкновения может быть связано с электрическим формфактором молекулы еГоээкм(й)=(л, Л= О, оКМ( ~ ее ') и, 0); (1) для начального состояния квантовые числа Л = о = К = М = О, а л характеризует электронное состояние молекулы. Волновые функции состояний молекулы с Л = О, входящие в матричный элемент (1), имеют вид 'Гэл-осям=Чаял=о(.а )()~оэ" ()( — %о)1'км(п) (2) Здесь й, — электронные переменные (координатные и спипозые); й = )сп = К, — йз — радиус-вектор относительного положения ядер, нх массы — Мь „ а радиусы-векторы в с.
ц. и молекулы: )с, = МФ/(М~ + Мэ) и Рэ — — — М,й/(М, + Мэ). Суммирование в (!) ведется как по электронам молекулы (г. — их радиусы- векторы относительно центра масс молекулы), так и по ядрам, вклад которых есть 2~э 'ч"'+ Е,е Переходя к оценке сечений столкновения заряженной частицы с молехулой бас «м /2рйаз 'тз (3) где Хе — заряд частицы, р — проведенная масса се и молекулы, заметим, что особенно наглядно онн могут быть получены, если пренебречь изменением состояний валентных электронов атомов при образованна молекулы. В этан приближении воляовая функция электронного терма малек)лы Гол-а '1'1(", )41) " з(гь Вя) где Ч"ь з(г,, ь) — в.
ф. атомов, входящих в молекулу, и для форм- фактора ее получаем Го- чкм=(оКМ(е гйчвГ1(д)+е кьчиГ (д)(0) (4) где Гь т(д) — формфакторы атомов, входящих в молекулу (включающие и вклады соответствующих ядер). Заметим, что при д = 0 формфактор молекулы, как н любой незаряженной системы, равен нулю (см, обсуждение свойств формфакторов в предыдущей задаче). Если ввиду малости амплитуды колебаний ядер заменить )1ьз их значениями в положении равновесия, то из-за ортогональностн колебательных в. ф. отличными от нуля окажутся формфакторы лишь для переходов с о О (т. е. без изменения колебательного состояния молекулы).
Для таких переходов дифференциальное сечение (3), просуммированное по значениям квантовых чисел К, М конечных состояний моленулы, в приближении (4) с учетом условия полноты системы шаровых функций, согласно которому ( ( КМ ) А ) 0) )з = ~ (О (А+ ( КМ) (КМ ( А ( 0) = (О ( А+А ( 0), КМ КМ принимает вид ' тч"- юд40 сравнить с 13.7. Сечения столкновений без возбужденвя колебаний молекулы имеют те же закономерности, как н в случае столкновений заряженной частицы с атомами (сравннть с предыдупгей задачей).
В частности, для столкновений с возбуждением вращательного уровня молекулы с моментом К Ф ! сечение процесса 2 2 4 ~атт Оо.ьокм="Овг Акм( р 1, К~1, (5) где т' — относительная скорость сталкивающихся частиц и Ахм 1 для наиболее существенных переходов. Для столкновений с возбуждением вращательного уровня с К = 1, связанного с основным уровнем днпольным переходом 4'), прн д — 4-0 имеем (сравнить с предыдущей задачей): 4(а (О-ь 01М) 4пЕ~е~4(о~ ,! з = 3дт44)42 (е (М) й( (6) ы) Для этого перехода приближение (4) при д -4-0 не оправдано: дипольный момент молекулы определяется как раэ валентными электронами.
Здесь е(М) — вектор поляризации, определяющий вращательное состояние молекулы с К =! н связанный с шаровой функцией соотношением У а!=а/3/4я е(М) п, при этом (е12 = 1. Формула (6) следует из выражений (1) и (3), если учесть, что: !) прн 4) — ь 0 сумма в (1) принимает вид — !пав, где д — оператор дипольного момента молекулы, 2)усредненне д по электронному состоянию молекулы с Л = 0 дает и'(Р)п и 3) при последующем усреднении по колебательному состоянию с о = — 0 можно заменить 4((Р) иа 4((йз) = — 4(о ввиду малости амплитуды колебаний ядер (сравнить с !1.25). Суммирование в выражении (6) по М дает ~ ) е (М) й (а = йэ; последующее интегрирование по ев с учетом расходимости интеграла иа нижнем пределе (прм 4)з-ьО) н значения ~я/„~ф~1 позволяет получить сечение перехода в состояния молекульв с К = 1 с логарифмической точностью з') 8аЛЯезйох )4 У а (О -ь о = О, К = 1) яе 1п .
(7) тек ат Рассмотрим закономерности для процессов столкновения, сопровождающихся возбуждением колебательных уровней молекулы. Как отмечалось выше, замена )Г на равновесное значение )44 ввиду малости амплитуды колебаний ядер правомерна лишь для переходов без возбуждения колебаний: для состояний с с ~ 0 в этом приближении формфактор обращается в нуль из-за ортогональности в. ф. Соответственно для переходов с с ~ 0 в рассматриваемых выражениях необходимо выполнить разложение по малому параметру М/)44, где дгг = )г — )сев порядка амплитуды колебаний ядер. Для линейного члена разложения, отвечающего за переходы с Лс = 1, в выражении (1) при с = 1, по сравнению со случаем с = О, появляется малый множитель, по порядку величины равный (см.
(П,З) и 1!.25) (о=1) — (и=о)= о ( — 4) )7 )те акое г' те к43 )1е З/2 Яа Й где р — приведенная масса ядер молекулы. Это приводит к существенно меньшим, в (р/т,)ыа раз, значениям сечений переходов с с = !. По мере увеличения значения о необходимо брать все более высокие степени разложения по Л)4/)гч, что приводит к более резкому, в (р/т,) "гз раз, подавлению сечений для соответствующих переходов молекулы, 13.82. Для столкновений заряженной частицы с атомом, сопровождающихся дипольным переходом атома, домииирующузо роль играет область малых значений дй При этом сечение столкновения с переходом из з- в р-состояние атома с логарифмиче- 4') При этом, как обычно, для верхнего предела интегрированна выбРано значение д „авх. Заметим, что хотЯ аРгУ- мент логарифма в выражении (7) существенно больше, чем в случае дипольиого перехода в атоме из-за малости энергии вращения, тем не менее точность формулы (7) от этого не возрастает.
Дело в том, что обычно дипольный момент молекулы йв заметно меньше характерной величины еав. 774 ской точностью описывается выражением (сравнить с 13.80) 4л_#_вев 1 ля яр я я](1!гл0]Ы]0)](паз(1) Овш пв где яе — заряд налетающей частицы, )г — относительная скорость сталкивающихся частиц. Для перехода 2я-ь2р в атоме водорода матричный элемент") (1,0]г(,]0 г= Зепв был вычислен в 11.33 в связи с эффектом Штарка для состояний с л = 2.
В пренебрежении релятивистскими поправками состояния 2я и 2р атома водорода вырождены по энергии, при этом ц~~щ=О и сечение (1) расходится. расщепления Л уровней 2янв, 2рыя и 2рвгв, определяющие значения д~~ы —— (Ь/Ь(г)~, обсуждались в 1!.62. Поскольку теперь переходы в состояния атома 2р,л и 2р,м следует рассматривать раздельно, необходимо учесть, что для них в формулу (1) нужна ввести дополнительные множи.
тели равные 1/3 и 2/3 соответственно для рнв- и рвл-состояний. Эти множители — квадраты соответствующих коэффициентов Клебша — Горлана (см., например, 5.18) — отражают вклад р-состояния с 1, = 0 в состояния" ) р,л и рвл. С учетом отмеченных обстоятельств получаем з г'Еевчз И' и (2я — ь 2р) = 72ллв~ — ) 1п ( йу ) бцзбз)з (2) ав а вдесь Д, = Е(2я,д) — Е(2р,д) и Ь! — — Е(2рз)з) — Е(2я,/з)! числовое значение ла~л,!зле 8 ° 10 т (в атомных единицах). 7 ]гвтд з Как видно из выражения (2), сечение процесса а » !ч — г! пв, где по лг 40ллв характеризует поперечный размер атома я я водорода в состояниях м) с л = 2.
Это означает, что в задаче существенны большие прицельные параметры (»лн). Эффективное взаимодействие иа таких расстояниях Еедг/г' Еяг(/гв. Условие применимости к такому нотенциалу теории возмущений, см. (ХП1.7), начинает выполняться на расстояниях г » Еег(/М(г. вз) Подчеркнем, что выражение (!) описывает сечение, пра- суммированное по проекциям момента р-состояния, Хотя в (1) фигурирует состояние с 1в = О, следует, однако, иметь в виду, что выбор осн квантования г — вдоль вектора й — зависит от угла рассеяния. ы) При учете релятивистских поправок 1в уже не является интегралом движения.
— 1 гл) Для ля-состояний атома водорода гз = — л'(блв+ 1) 2 [1, $36], 775 Даже дли значений )г ма 1 эти расстояния не превосходят' отмеченные выше, что указывает иа применимость формулы (2) и для таких скоростей столкновения. Заметим в заключение, что большая величина сечения перехода (2) означает, что время жизни метастабильного 2з-состояния в газе может существенно уменьшиться за счет столкновений (для изолированного атома водорода т(2з) = 1/8 с, нри переходе в 2р-состояние атом «высвечивает» за время 1О-» с).
13.83. Дифференциальное сечение расщепления дейтрона с переходом протон-нейтронной системы в состояние непрерывного спектра с импульсом относительного движения р = 3)с в с.ц.и. пары в случае точечного ядра описывается выражением 2 4 2 4(п = —,, 1(р,— (е р(0)! 4( й«(а, (13 43 еще 1 гч„а Здесь йй = Р! — Рь Р4 = П4ЕЧ вЂ” импульс дейтрона, Р; — суммарный импульс нуклопов после столкновения, 4(я! — элемент телесного угла, заключающий направление вектора Рь п« м т« = 2пт — массы нуклова и дейтрона. Матричный элемент Го р — — (р, — ! ехр ( — (йгр) ) 0) можно рассматривать как неупругий формфактор для переходов в состояния непрерывного спектра, сравнить с 13.80. Волновая функция начального состояния в нем является в.
ф. дейтрона в приближении потенциала нулевого радиуса действия (см. 4.10 н 12.1) -нг Ч'о(г)= ~/ — — е ", ее=в Ч 2п г ' пг (еа — энергия связи дейтрона), причем гр = г/2. В качестве волновых функций конечных состояний следует выбрать«4) в, ф Чгь (г),имеющие асимптотику «плоская+ сходящаяся» волны,см. по этому поводу [1, 5 136); они нормированы на б(й — й'). Доминирующий вклад в сечение расщепления вносит область малых значений д', при этом существенны переходы в состояния двухнуклонной системы, связанные с дейтроном дипольным переходом, так как для ннх 32« -ПЧ»)д» (сравиить с 13.80). Для таких д имеем (р, — ! ехр ( — !Чгр) ) 0) м(р, — ! ( — 4йгр) ) О), (2). причем в последнем выражении уже можно заменить в. ф. Ч'в иа плоскую волну Чга —— (2п) арте'~г.
Это связано с тем, что в по- »') Другой удобный выбор волновых функций конечных состояний см. в 11.63. 776 тенциале нулевого радиуса в.ф. Ч'и и Ч.'в отличаются лишь а-волнамн, не дающими вхлада в матричный элемент диполь- ного момента (2) (до разложения экспоненты заменять Чгк иа Ч'„ нельзя из-за неортогоиальиости в, ф, Чгв и Ч'о). Вычисление матричного элемента дипольного момента дает (р, — ) (-(йг (б) = —. 4(к Ч д ~ 1 -кг-шг з 8п' д1с ) г 6~ а д ' ук Чй 2и д1с йз + кз (йз + кз)з (здесь угловая зависимость со (Ч(г) от вектора (с отражает то обстоятельство, что для дипольного перехода момент нуклонной пары в коиечнем состоянии ! = !).
Подставив (3) в выражение (!), выполним интегрирование по направлениям вектора (г, воспользовавшись соотношениями дзй = йз дй Ыи, '1 (Чй]з да = дзйз, 4к 3 После этого д()1 в (!) можно заменить на кйэ дц (РР Далее, значение Рь следующее из закона сохранения энергии 1 2 1 з — Рг — ез — — — Р(+ в, 2та 2та где е = дзйз/ш — энергия относительного движения нуклонной пары после столкновения, определяет й %п!з (1 1 1 !) рз (е+ вз) ° Интегрируя теперь по д в пределах от дсиз до ) 4ш,хиз к, 2 2 561 2 я находим 8 (Лез) (врв )ч' йзкзУз э (,+,)1 '" ь». »"' (4) Как видно, характерные значения е ее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
