Galitskii-1992 (1185113), страница 138
Текст из файла (страница 138)
а Пренебрегая влиянием орбитального движения частицы на излучение '), будем рассматривать только спиновую степень свободы, положив г = О. При этом слагаемое гг'р — (зрьс = — (ьЖэаз в выражении (!) для У (ось з направлена вдоль внешнего магнитного поля) имеет смысл невозмущенвого гамильтаниана спиновой подсистемы. Его собственные функции и собственные значения описываются выражениями ! 1 0)' ! р~о1 рз (1 ) Ез Фьа. Считая, для определенности, что р > О, замечаем, чта Е~~~)ЕЮ1, И Пад дЕЙСтВИЕМ ВОЗМущЕНИя Р= — (Глзг З(0) ВОЗ- ') При этом, в частности, пренебрегается даилеровсиим рширеиием спектральной линии.
ножен переход иэ состояния Ч'з в Чгь сопровождающийся излучением фотона с энергией йе Ез — Е, 2)гЖо (прн этом 1з) (е) состояние Чг, стабильно отаосительно излучения; в случае р < 0 роли состояний Ч', з взаимно заменяются). Преобразования, аналогичные (Х1Ъ'.3) †(Х!У.7), приводят к следующему выражению для дифференциальной вероятности рассматриваемого перехода бюоа 3 1 КП ! НР)= 2 3 ~ [Кеаа1 К~аЧ'т! Н()з. (2) Обозначив здесь М„-рЧ','йЧ'т — = ропп что является матричным элеме~гтом оператора магнитного момента перехода, н введя вектор ап = 1)гр~з), перепищем выражение (2) в виде дю = — [еа а,э! бй„, (3) сравнить с (Х1У. 7). Суммирование по поляризациям фотона, выполняемое как н в (Х1Ч.8), (Х1У.9), дает (прн этом учтено, что 1гам = — 0): = — (й~ ( Мю (з — ("Мл) (к)хм) ) о и после интегрирования по направлениям вылета фотона полу- чаем 4ыз = ~ б Я = 33С.Г) Мж )' (при этом использовано значение интеграла (ай)(ЬЬ) НЯ = а,бь ~ й йаЖ) = а 6 — йзб,з — й»(аЬ)).
4п 4п Заметим, что выражения (3) — (5) являются фактически общими формулами теории магннтно-дипольного излучения. Учтя явный вид функций Чгь з н матриц Паули, находим матричные элементы (пл)гэ — — (1 0) [ (~ ) 1, (о„),з — г', (оз)~з — — 0 0,7'(,1) и приходим к окончательному выражению для полной вероятности излучения фотона, сопровождающего спереворот» спина 794 в магнитном поле 64 )э~3(йв~ и/ г 3 3 аз (6) 14.8. Взаимодействие Рьн электрона с полем излучения описывается выражением (Х!У.2), в котором следует положить р, = — ей/2глс ( — е — заряд электрона).
Матричный элемент такого возмущения для однофотонного перехода дается формулой (Х1Ч.4), в которой под волновыми функциями начального и конечного состояний Чгс г = Ч",(г)йс г следует понимать в, ф, соответствующих лз-состояний атома водорода с учетом сливового состояния электрона. При этом первое слагаемое в матричном элементе (г ( Р! ! ! 1), включающее оператор р, обращаешься в нуль. Действительно, ввиду сферической симметрии в. ф. Ч'„ замечаем, что матричный элемент (Ч' !е 'агр(Чг )сей, а цеха=О. Таким образом, для рассматриваемого перехода атома водорода (7 ! Р!ог)1)= — — )/ — Р(1з(е '"'(2з)еас(Х! ([аЦ! ХД. (1) (1з(е ~~'(2з) ен — — ~ Ч'! (г) (йг) Чгзз(г)паг.
интеграл здесь равен 2эч/2 йэа~~(гйв (в сферических координа4п тах интегрирование по углам дает ~ (йг)э Жй= — йзгэ, после- 3 дующее интегрирование по г, с учетом явного вида в.ф. Ч'цзм. выполняется элементарно); дифференциальная вероятность излучения фотона 2ыезйпч мз омвс й„з, ~ !еа [и!зй! ) 1~ й()„, (2) сравнить с переходом от (Х1У. 5) к (Х1Ч,7), а также с формулой (3) из предыдущей задачи. В выражении (2) йю= ййс =  — В! = За~|8 Ввиду того, что лаз ц 1, в матричном элементе можно выполнить разложение экспоненты (впрочем, соответствующий интеграл можно вычислить точно, см. значение формфактора р! +х (д) в !3.80). Первые два члена разложения, е-(аг ж ю 1 — !йг, дают нуль (первый — из-за ортогональности в.
ф., второй — ввиду нечетностн подынтегральной функции), так что и введено обозначение п,з=()(,(п()сз). Суммирование в формуле (2) по полярязациям фотона и последующее интегрирование па направлениям его вылета, выполняемые как и в предыдущей задаче, дают вероятность перехода 21тезйпз ют 1 ез з шз4 в ~ (ж)~„~ „. м Она зависит от спиновых состояний электрона. Чтобы найти полную вероятность излучения при переходе 2зпз-ь!з„, атома водорода, выражение (3) следует просуммировать по двум незави. симым спиновым состояниям 1з-электрона; поступая как в 14.6, получаем ш (2зпз — ь 1зпз) ч йз ~ ) з яв 0,62 10 с , (4) что соответствует времени жизни 2з,ы-состояния по отношению к рассматриваемому переходу т = 1тш = 18 дней, Сравнение результатов данной задачи и задачи !4.6 с ве.
роятностью двухфотонного перехода шзт яз 8 с ' показывает, что однофотонное излучение из 2з,ы-состояния имеет существенно меньшую (на много порядков) вероятность, чем двух- фотонный переход, т. е. оно сильно подавлено. В условиях 14.6 такое подавление имеет очевидную причину — малость частоты излучаемого фотона, в то время как вероятность излучения ш оса.
Подавление однофотониого перехода 2зпз-ь 1зпз, носящего магнитный дипольиый характер, объясняется тем обстоятельством, что в пренебрежении запаздыванием, е 'Ь" м1, он является запрещенным из-за ортогональности координатных частей волновых функций, кзк отмечалось выше. В связи с этим следует отметить, что малость матричного элемента (имеющая порядок величины й а а =(1(137) и соответственно а4 1О э 3 т з 2 в выражении для вероятности излучения), возникаюшая при разложении экспоненты, имеет такой же порядок величины, как н релятивистские поправки к волновым функциям. Учет последних приводнт к увеличению значения вероятности (4) н 9 раз, см.
[29, 4 521 (так что рассмотрение, проведенное в данной задаче, носит лишь качественный характер). 14.9. В основном состоянии атома водорода с ядром-протоном триплетный уровень, 5 = 1, сверхтонкой структуры выше синглетного, Б = О, на АЕнгз = 1420 МГц 5,9 1О з эВ, см. 11.2. Волновые функции этих состояний имеют вид (для опре- 796 для дипольного магнитного, или М1-перехода; (3) в) для квадрупольного электрического, или Е2-перехода. В приведенных оценках положено с!!я еав, р!я сй/тс, Я!з сан — характерные значения матричных элементов диполь- 2 ного, магнитного, квадрупольного моментов, а = сз/йс=1/137— постоянная тонкой структуры, е., = те'/й' = 4,13.10'з с-'.
Для переходов между различными термами е е„. При этом вероятности М1 и Е2 переходов по порядку величины одинаковы (если они не запрещены правилами отбора) и в а †— 104 раз меньше вероятностей Е1 переходов. Специфика излучения прн переходах между компонентами тонкой структуры одного и того же электронного терма определяется следующими двумя обстоятельствами. Во-первых, соответствующие состояния атома имеют одинаковую четность и Е1-переходы между ними запрещены, см.
14.5. Во-вторых, для таких переходов энергия излучаемых фотонов порядка интервала тонкой структуры терма, т, е. их частоты малы, е а'е„. Сравневие (2) н (3) показывает, что при этом вероятность Е2-перехода в а-т — 1О' раз меньше вероятности М1-пе. рехода. Таким образом, квадрупольное излучение сильно подавлено н доминирующими являются магнитные дипольные переходы. Так как для таких переходов правило отбора по моменту требует, чтобы [й/[ = 0 или 1, а энергия уровней тонкой структуры по мере увеличения У изменяется монотонно, то М1-переходы осуществляются между соседними компонеитамн тонкой структуры терна. Оценка вероятности излучения согласно формуле (2) с е — а»е., дает !! ш с -т е а е а — яв10 с М! ат а в 14Л1.
Д !я доказательства «правил сумм» следует воспользоваться условием полноты системы с. ф. гамильтониана, [т)(т[=1, равенствами е „=- — гэ „и х „= (х, ), а также соотношениями 1 е „,х„„, = — (т [[0, в[[л)= — — (т [)1»[л), И взтлхтп ! (рх)ти й (Л! [! ' 1~х! [ ! ОУ = — (т [ — [ л). =р ах 798 Учитывая сделанные замечания, выполним следующие преобразования. а) ~ )(т )х ! и) !' = ~, (л)х (т)(т)х ! п)=(л)хз!л); б) ~~~ а„„,)(т)х! л)/*= — '7 ((л(~6»)т)(т)х)л)— 2р л.л т т — (л ! х ! т)(т !))» ! и)) = — (и ! !)Г», Х! ! и) = —; 6 2р х' 2р ' и) ~ а „! (т ! х ! и) ! = —, ~~ (л ! б„! т) (т ! д„! п) 2 = †, (и ! р„! п); л) ~ мал ! (пм ! х ! п)!» (л — !т)(т )и ! и) — (л ! Ф» ! т) (т ) д ~ п) ~ — '» (л ! ~))», — ~ ! л) = ь дчг ! д Установленные соотношения справедливы и для других, ум х-компонент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
