Galitskii-1992 (1185113), страница 139
Текст из файла (страница 139)
Соответственно если в левых частях соотношений заменить матричные элементы !(т!х!л)!з на !(т!г!л)!», то правые части окажутся равными: 1 - Ь а) (и/г')п); в) —,(и! р'1и); г) — (л)ИI )л). Заметим, что для частицы в кулоновском потенциале, (Г = = — а/г, имеем Л(1 = 4исгб(г), так что в случае г) сумма оказывается равной а )(т ! г ! л) ! †, ! 1р (0) ! и обращается в нуль для состояний !л) с отличным от нуля орбитальным моментом. 14.12. Рассчитаем вероятность перехода в единицу времени системы «частица+ фотон> из начального состояния, описываемого волновой функцией гр (1а, О, ...) — ехр~ — р г)1 р,=б, Ее=да, ° (1) ! г'1 799 в состояние с волновой функцией ! /1 рэ Ч'1 —— ~1а, О,...~ — ехР(ч — Р г~1 Š— + Аы (2) эоэ' ''''у „/)г 'чй з 11 1 2ш под действием возмущения (сравннть с (Х(Ч.
2)) Агап (г) р+ — э Аква ('). (3) Она определяется общей формулой теории возмущений второго порядка, см. (1, $43), — Р)~ + ~ пР1. (4) ! ч Специфика взаимодействия (3) как оператора возмущения в том, что оно включает в себя члены различного порядка малости — линейные н квадратичные — по параметру разложения теории возмущений, определяемому зарядом е частицы (фактически в процессах взаимодействия с полем излучения параметром разложения является сс = ез/йс). Соответственно учет эффектов, связанных со слагаемым сс е'А' в первом порядке теории возмущений, должен производиться одновременно с учетом второго приближения по взаимодействию, определяемому первым членом в выражении (3). Вклад в матричный элемент э 2 дает лишь второе, осе А„ш слагаемое в возмущении (3).
В мат. ричных же элементах 1~1 и Р суммы по промежуточным состояниям должен учитываться вклад лишь первого в (3), линейного по «е» слагаемого. Так как в условиях данной задачи РЧг = р,Ч' =О, то сумма в выражении (4) равна нулю и соответственйо (( ( (г ( 1) = , (( ( Атал (г) Аищ (г) ) 1) = (е е,) ~ р~1(й, — й — Р )г~г( 2пе'й ° (е е~) йь а (» (5) и уя,(Оер з сравнить с выводом (Х1Ч. 4); использованы обозначения е, вместо еа о и т.
Д.). 1 ! Появление в выражении (5) множителя бь ь +р ы- отраэ ~э( жает сохранение импульса в процессе рассеяния фотона и означает, что конечное состояние системы полностью определяется заданием квантовых чисел йэ, пе фотона. При этом энергией 600 отдача частицы можно пренебречь, так как 2 1 2 э Ья э Рэ йй! эФглс, Ез — Р— 8 й ~ ййс — Кйы 2щ э щ 12 тс и, воспользовавшись выражением (Х!тг. 6) для плотности конечных состояний йрг с ю = ыз яв ев согласно (4), (6) получить йо= — йщ = —,, ~ (еэе!) ~ Юэ (6) йо = '/»гл (! + соз 0) йй, го = е /то~. (7) Здесь гр — классический Ридиус заряженной частицы (27).
Интегрирование по углам дает полное сечение рассеяния 8л о — го 3 (8) (оно не зависит от поляризации падающего пучка фотонов). Выражения (7) и (8) не содержат постоянной Планка и совпадают с соответствующими результатами — формулой Томон. на — классической электродинамики (квантовые эффекты проявляются в релятивистской области, когда Ье) щсэ), 14.13.
Переход из начального состояния системы «ротатор -1- + фотон», описываемого волновой функцией Ч"! — — (!во, О, ...) Уцг Е! — — йыг, 801 26 В. М. Галицкий н хр. (о связи дифференциального сечения с вероятностью см. (Х1У. !4)). Сделаем замечание о полярнзацнояных явлениях при рассеянии фотона. Для векторной частицы (имеющей спин зт = !) с отличной от нуля массой зависимость амплитуды упругого рассеяния от векторов поляризации вида / = Аезе1 означает, что поляризацнонное состояние частицы при рассеянии остается неизменным. В случае рассеяния фотона ситуация иная из.за поперечности его поляризации Это приводит, в частности, к возникновению поляризации даже прн рассеянии неполярнзованных фотонов.
Так, при рассеянии под углом 0 = ч/2 фотон оказывается полностью линейно поляризованным в направлении, перпендикулярном плоскости рассеяния. Вычислим дифференциальное сечение рассеяния для неполяризованных фотонов. Записав ~(езе1 ) ) = езгеыеэле!ь, с помощью соотношения (Х11г. 8) в формуле (6) можно выполнить усреднение по поляризациям падающих и суммирование по поляризациям рассеянных фотонов и получить дифференциальное сечение рассеяния неполярнзованпых фотонов свободным зарядом (0 — угол рассеяния, М» = й'соз 0): в конечное 'Р, =) („е О, ...) Увг Е, = йш, под влиянием взаимодействия ротатора ') с полем излучения, г' = — оопЕ„е(О), см.
(Х17.12), происходит во втором порядке теории возмущений. Вероятность его (в единицу времени) определяется согласно общей формуле, приведенной в предыдущей задаче. В рассматриваемом случае в ней Уп = О, а отличный от нуля вклад в сумму вносят лишь следующие промежуточные состояния; йз Е, = — +йы +йе; рт! =!!»т (п)((жа' !за*О ''')' йе Е тз Ч „= У,„(~) (О)т, в которых ротатор находится на первом возбужденном уровне с 1 = ! (для других состояний ротатора матричный элемент дипольного момента в операторе возмущения равеа нулю), Учитывая, что ш, = ыэ = ы — частоты падающего и рассеянного фотонов одинаковы, и выражение (Х1(Г. 6) для плотности конечных состояяий г(р» находим ~4 4 о чт 3! ~ (Усе 1 вг ) У! )(! пи ! вь( Уее) Х т езгегя езьеы Х~„„' „.„- „„',„,„1'-, Сумму по лг здесь легко вычислить, если заметить, что суммирование по т при ! = 1 можно распространить на все возможные значения 1, т, так как <у»э)п(у» ) чь О лишь для ! = 1.
Воспользовавшись после этого условием полноты системы шаровых функций, ~ (уг )(у (=1, н учтя значение интеграла пе 1 Г 1 (уео(вгвь( увз) 4 3 пгльг(») = 3 бгь получаем дифференциальное сечение упругого рассеяния фотона сферическим ротатором, находящимся в основном состоянии, ге э з) Рассматриваем только внутреннюю степень свободы ротатора н, пренебрегая аффектами отдачи, считаем его, как целое, локализованным в точке г О. (о связи сечения рассеяния с вероитностью перехода см. (Х!Ч. 14)), где "о сгз = — -~З-4- . (3) Заметим, что поляризациоиные явления при упругом рассеянии фотона на ротаторе такие же, как н при рассеянии фотона свободным зарядом: сравнить выражение (2) с формулой (6) из предыдущей задачи н связанный с ней комментарий.
Поступая как н в предыдущей задаче (усредпяя н суммируя по поляризациям фотонов), находим дифференциальное сечение рассеяния неполярнзоваиного пучка фотонов 1 ач по = — по...,, (! + соз'6) г(!!. (4) Интегрирование па углам дает полиос сечение упругого рассеяния фотонов невозбужденным ротатором 2 ач 3 ' (а' — йз(!т)з ' (6) Отсюда в предельных случаях имеем 31 при йа К вЂ”, (6) при йа Ъ вЂ”.
! ' 3 "('й")' о(а) яз 2 — а, 3 Зйз ЧР! У (и)! 1 0 > и Е! + йаз йап 26» 803 При частоте а- й/1 сечение рассеяния неограниченно возрастает, что отражает его резонансный характер (резонансная флуоресйенйия), отвечающий возможности возбуждения ротатора при поглощении фотона (при таких частотах формулы (2), (4), (5) непосредственно не применимы; теперь при расчете сечения необходимо учитывать естественную ширину возбужденного уровня ротатора). В связи с данной задачей см. также !4.!4, где рассмотрено неупругое рассеяние фотонов ротатором.
14.14. Решение может быть получено в результате простых преобразований в формулах предыдущей задачи. Так как в случае (! — !'( чь 1 матричные элементы (У ! п ( У ° .) = О, то замечаем, что во втором порядке теории возмущений, кроме упругого рассеяния, происходит неупругое рассеяние фотонов, сопровождающееся возбуждением состояний ротатора только с моментам ! = 2. При этом для возможных конечных состояний системы имеем в. ф. Поступая, как и в предыдущей задаче, получаем дифферен- циальное сечение неупругого рассеяния фотона ротатором 4 3 3 '~зы1шз ! ° ! Ио и К 1ц а(О)езге 1 (3+ г )з(я у Ыа (1) Выполним суммирование по проекциям момента т ротатора.
Для этого запишем сначала ((2т изиз (О) езге>ь)~ еззеыезе1 (О /и и (2т)(2т) и и )0) и воспользуемся соотношением (О ) и и, ( 2т) (2т! и и ~ О) = "~ (0(и и ~ Хт)(1т) и,и ) 0) — (О! и,и !0)(0(и,и / 0) = тт — (О 1 и и и и ~ 0) — (О ~ и и 1 0) (О ( и и ~ 0)— 45 (36ыбзг + 36~гЬь~ 26гдбзг) ' при выводе которого учтено, что слагаемые суммы по 1, т от- личны от нуля лишь при значениях 1 = 0 н 2, использованы условие полноты системы шаровых функций и значения инте- гралов (О (и,и (0) = — ~ и.и и'Я = — Ьзи 1 Г 1 4п3 'а 3 1 (О ! и,иьи,ит 1 О) = 13 (Ьгзбзт + Ьгзбат + Ьзгбьз). В результате отмеченных преобразований получаем з з "оы~ыз 1 3+ е'е ' би (3 + ~ езе, ~ ) Н(1з. (2) иозетпр 3 ИЯ 160и = — (!3+ созз0) пзегяр (ы~)1 (3) После усреднения н суммирования по поляризациям фотонов (соответственно до и после рассеяния, сравнить с 14.12) дифференциальное сечение неупругого рассеяния неполяризованных фотонов принимает вид полвое сечение иеупругого рассеяния 4ы!ы2 12 27 аз (й+ ум~)з(й — (ы~)з ' (4) Вблизи порога возбуждения ротатора, т.
е. при Ьо, -ь Зйз/7, имеем 46 И, 'Г здт' пнеупр ~ еп ! оз ы 9 йзсг'х ! л (5) а при больших частотах фотонов 1бп пО Ь Оэ~ яв ыз Ъ вЂ”. 1 ' (6) Последнее выражение, как и сечение упругого рассеяния фотона п„„найденное в предыдущей задаче, пе содержит постоянной Планка; при этом полное сечение рассеяния 16п ач ггпалн = пупв + онеупв 0 )з ° й н ~ — (7) 7 совпадает с результатом классической электродвиамикн для сечения рассеяния электромагнитной волны сферическим ротатором 127, % 78]. 14.15. Расчет сечения рассеяния может быть выполнен ках и в задаче 14.13. При этом удобно воспользоваться выражением для взанмодействвя частицы с полем излучения в аиде (Х1Ъ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
