Galitskii-1992 (1185113), страница 142
Текст из файла (страница 142)
( ! — — ~ пь) М!з г(ы. (5) =й. й" й, с (. дЧ 3 условий Лез/йоь з щ 1 (электрон должен быть быстрым как в начальном, так и в конечном состояниях), Поэтому онн неприменимы, если почти вся энергия налетающего электрона передастся излучаемому фотону. Однако формула (9) справедлива при выполнении лишь одного условия, Егл/до~ щ 1, так как вклад области интегрирования, примыкающей к верхнему пределу, где неприменимо выражение (8), не играет существевной роли в значении интеграла (9) в целом. Наконец, укажем обобщение выражения (8) на случай тормозного излучения прн столкновенви двух частиц с зарядами н массамн ен щ, и ег, тз в случае их чисто электростатического взаимодействия.
Как нетрудно сообразить, оно получается из е е, ез формулы (8) с помощью замен — Хез -ь е,ез, нг ш, тз и имеет вид 8 зз/ е е, Хз р 1 ('!/Е "/Е "ю) до = — е ет !н — — ) з де, 3 ' 'н т1 тг ) ЬегЕ ы ды (10) где р — приведенная масса частиц (прн этом Е = Ро'/2, и— относительная скорость сталкивающихся частиц), Глава 15 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.1. Общее решение уравнеявя Клейна — Гордона (ХЪ'.1) можно представить в виде суперпозипии Ч' (г, г) тн (г, !) + р (г, г), 1уа (г !) ~ о* ((г) Чгнн (г !) дзй (1) частных решений этого уравнения, образу|ощих полную систему: г-'" трн ем !(аг — н(ь! ) ы (!г) л 1г с + — / ) 0 (2) а (обращаем внимание на используемое обозначение в.
ф. 1уа ). Функция чга описывает частицу, имеющую импульс р = бй и энергию е = Яю- шс~. Функция ту„формально отвечает состоянию частицы с энергией е' = — дгн ~ — гпсг н импульсом — Я(г. Такое решение уравнения после выполнения операции зарядового сопряжения сопоставляется уясе состояншо античастицы, имеющей энергию е = йю -г тгг н импульс М, см. 15.2.
В связи с этим подчеркнем, что общее решение (1) уравнения 818 Клейна — Гордона имеет лишь формальный смысл, так как оно не описывает никакого одночастичного состояния. Одночастнчные состояния описываются лишь функциями Чэ(г, Г) и Ч'-(г,г) в отдельности. Ограничиаансь в выражении (1) суперпозициими Чгэ и зу по отдельности, подставим их а выражение для О, приведенное в условии задачи. Элементарное интегрирование с использованием формулы 1Ь вЂ” Ь') г Г(ЗГ (2П)ай (й приводит к следующему соотношению.
Яь = ~ (2п) — ~ оэ (й)( оэ (й) )з г(зй (3) Как видно, Яе действительно имеют определенный, но разный для функций 'рь знак. Однако подынтегральные выражении рз(г, г) в координатном представлении дли Ое таким свойством, вообще говоря, пе обладают (т, е, не являются знакоопределенными), так что р', как и р-, нельзи интерпретировать как плотность вероятности. В случае заряженных частиц нелнчннам р- можно дать наглядвую интерпретацию, связав их с объемной плотностью заряда. Дли частипы, имеющей заряд е, выражение еръ(г,1) при нормировке Яэ = 1 можно рассматрввать как плотность заряда в соответствующем одночастичном состоянии.
Величина ер- описывает плотность заряда в соответствующем состоянии античастицы, при этом нормировка О = — 1 автоматически обеспечивает противоположные знаки зарядов частицы и соответствующей ей античастицы. Для нейтральных частиц наглядная интерпретация локальных величин р-(г, Г), вообще говоря, невозможна. Однако это обстоятельство не следует рассматривать как порок теории, так как локальные пространственные характеристики а релятивистской области, как это отмечалось во вводных замечаниях к главе, лишены глубокого физического смысла.
По этой причине в релятивистских теориях физический смысл волновой функции частицы как амплитуды вероятности сохраняется лишь в импульсном (ио ве в координатном() представлении, сраввить с 15.7. 15.2. Инварнантность уравнения Клейна — Гордона длн свободной частицы ( — йзсзД+тзсэ)Ч (г, О = — йа '~, Ч (г,г) (1) д(з относительно -зарядового сопряжения С-'означает, что если Ч'(г, 1) явлиетсн решением уравнения (1), то функпия Ч', = СЧ' 819 также является решением этого уравнения, т. е. Ч' и Ч', удовлетворяют одному и тому же уравнению. Произведя в (!) комплексное сопряжение, очевидным образом убеждаемся в рассматриваемой инвариантностн уравнения. Так как оператор С удовлетворяет соотношению Сз = 1, то в соответствии с условием задачи общее решение уравнения Клейна — Гордона, см. формулы (1) и (2) предыдущей задачи, можно записать в виде Чг = Ч'» (г, 1) + Чг (г, Г) = Ч'+ (г, 1) + СЧ'," (г, 1).
(2) Аналогично для решения зарядово-сопряженного уравнения имеем 1«Ч«+ 1«1с +СЧ Общие решения рассматриваемых уравнений включают в себя как волновую функцию частицы Ч'~, так и в. ф. Ч'с соответствующей ей античастицы н имеют лишь формальный смысл (так как преобразование С является ангиллнейныл, то рассматривать соотношения (2) н (3) в духе обычного квантовомехапнческого принципа суперпозицни пе имеет глубокого смысла). Физически реализуемые одночастнчные состояния частицы или античастицы описываются лишь суперпозициями частных решений с частотами (энергиями) одного н того же знака. Отметим, что физический смысл преобразования С как зарядового сопряжения для бесспиновых частиц наглядно проявляется при рассмотрении не свободных, а заряженных частиц, находящихся во внешнем электромагнитном поле, которое поразному действует на частицы и античастицы, см.
15.3. Так как Ч' = СЧ' = Ч", то уравнение )ту = )Ч'1 на с. ф. и с. з. оператора ) при зарядовом сопряжении принимает вид )'(Ч'1) = г'('Р() . Отсюда следует, что если 1* = у, то аарядовосопряженная с. ф. (Ч' ) = Ч' также является с. ф. оператора ), отвечающей тому же самому с. з, 1. Если же )*= — ), то (Ч'1)а тоже является с. ф., но отвечает уже с. з., равному — 1. Соотд .
д ветствеино с. ф. операторов р= — Ир, ! = — 1 —, В=И— бр 31 при зарядовом сопряжении «изменяют» с. а. на противоположное по знаку, а с. ф. оператора 1« при этом «сохраняет» свое с. з. 15.3. и) Так как Ч', = СЧг = Чг', то замечаем, что уравнение Клейна — Гордона для частицы с зарядом е но внешнем электромагнитном поле (сз( — !А(г — — А) -(-тзс«~Ч'=(!й — — е<р) Чг (!) после выполнения в нем комплексного сопряжения нринимает вид (сз (-(ДР+ — А) +шзс«~Ч',= (!й — + е<р) Ч'с, (2) что также представляет уравнение Клейна — Гордона, ио уже для частицы с зарядом — е и такой же массой т, как в исходном уравнении (1), причем в том же злектромагнвтном поле. б) Совершив н (!) одновременно с преобразованием зарядового сопряжения волновой функции также преобразование потенциалов А — А = — А и ~р — ~р, = — ф, приходим к уравнению )( сз ( — !АЧ вЂ” — Ас) + т~с ~ Ч'« = (И вЂ”, — ерс) Ч'с (3) имеющему такой же вид, как и исходное уравнение (1).
в) с1тобы дать интерпретацию установленным выше закономерностям, рассмотрим постоянное электромагнитное поле (потенпиалы А, м не зависят от времени). В этом случае уравнение (1) имеет «стационарные» решения вида Ч'а=е фа(г). -ге!/а Все такие решения можно разбить на две группы, Чг«и Ч' в зависимости от того, в какие состояния свободной частицы, с е ) тот или с е ~ — глс', они переходят при адиабатическом выключении внешнего поля'). Решения Чг", переходящие при выключении поля в состояния верхнего континуума, имеют смысл волновой функции состояния частицы с энергией е в рассматриваемом электромагнитном поле. Решения Ч' ассоциируются с состояниями античастицы. При этом, как и в случае отсутствия внешнего поля, волновой функцией античастицы является а энергия антнчастнпы в рассматриваемом состоянии равна — е.
') Заметим, что такая классификация решений имеет смысл лишь в случае не очень сильных внешних полей, пока нижняя гРаница энеРгетнческого спек~Ра состоЯний Чга" лежит выше верхней границы спектра состояний Ч' . В сильных полях, когда эти границы «сливаются», одночастичная задача теряет смысл: становится возможным спонтанное рождение пар частица — античастица; см.
но этому поводу задачи !5.12 и !5.13. 82! Таким образом, общее решение уравнения Клейна — Гордона (!) для частицы в электромагнитном поле представляется, как и в случае свободной частицы, в виде (сравнить с 15.2) Чг- Ч~'+Ч~--Ч~++СЧ~+. При этом волновая функция Ч'„е античастицы имеет «правильную» временную зависимость и удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона (2) для частицы с зарядом — е, противоположным заряду той частицы, волновой функцией которой является Ч'+. Во избежание недоразумений подчеркнем, что оба уравнения, (1) и (2), несут в себе одинаковую физическую информацию, так как решения каждого из них включают описание состояний как частицы, так н соответствующей ей античастицы (это замечание справедливо н в случае внешних полей любой првроды).
Однако описание состояний частицы и античастицы в каждом нз уравнений является «несимметричным», так как одни представлены непосредственна их волновымн функциями, а для других переход к волновой функции требует выполнения зарядового сопряжения соответствующего решения уравнения.
Данная выше интерпретация преобразования С как зарядового сопряжения, осуществляющего переход от «нефизических» состояний частицы к «физическим» состояниям соответствующей ей античастицы, основана на результате и а) решения. В этом смысле инвариантнасть уравнения Клейна — Гордона, установчеиная в и. б), отражает зарядовую силл~егри>о описываемых им эаковомерностей: любому физическому состоянию частицы, описываемому волновой функпией Ч«+(г, 1), соответствует точно такое же состоявне античастнцы с в.ф. Ч' (г, 1) = «р+ (г, 1).
При этом существенно, что прн переходе к античастице у потенциалов внешнего электромагнитного поля следует изменить знак, что согласуется с физическим смыслом зарядового сопряжения (сравпить с результатам задачи !5.4). 15.4. Так как оператор зарядового сопряжения С для бесспиновых частиц дается формулой 'Рс = СЧ = — Ч" (см. 15.2 и 15.3) и У(г,1) является вещественной функцией (что является аналогом вещественности потенциала и эрмитовости гамильтониана в нерелятнвистском случае), то; совершая а уравнении д~ ( — й»с«Ь + т»с«+ йтс»(1) Чг = — йз — Чг л)« (1) комплексное сопряжение, получаем точно такое же уравнение для зарядоио-сопряженной функции: дз ( — йнссй+л« с + йшс У) '1"а= — й о .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
