Galitskii-1992 (1185113), страница 143
Текст из файла (страница 143)
Ч «, (2) 322 что н доказывает инварнантиость уравнения Клейна — Гордона для частицы в скалярном поле относительно зарядового сопряжения. Сделаем несколько замечаний. Уравнения (1) и (2) имеют одинаковый вид, но только первое из ннх (точнее, положительиочастотная часть его решений) непосредственно описывает частицу, а второе в соответствующую ей античастицу, см.
более подробное обсуждение этого вопроса в предыдущей задаче. Поэтому если волновая функция Чьь(г,Г), являющаяся решением уравнения (1), описывает некоторое физически реализуемое состояние частицы в поле (1, то точно такое же состояние с в. ф. Ч'с Ч возможно и для античастицы в том же поле. Это указывает на одинаковый характер воздействия скалярвого поля на частицу и соответствующую ей античастицу ') н является отражением зарядовой симметрии уравнений (1) и (2) (сравнить с заряженной частицей в электромагнитном поле, где для обеспечения зарядовой симметрии требуется изменить знаки потенциалов на противоположные, см.
15.3), 15,5. Внутренняя четность бесспиновой частицы определяется характером преобразования ее волновой функции при отражении координат РЧ'(г,г) = -~-Ч'( — г,т), и равна +1 и †! соответственно для скалярной и псавдоскалярной функций. Как отмечалось в 15.2 и 15.3, волновые функции частицы и соответствующеа ей античастицы связаны с различными частными решениями уравнения Клейна — Гордона для одной и той же (скалярной или псевдоскалярной) функции Ч'(г,г), которую можно записать в виде Ч =Ч'+Ч =Ч" +СЧ,", при этом Ч',+ СЧг =(Ч" ) з.
Функции Чг~ и Ч'+ являются волновыми функциями состояний частицы и античастицы соответственно. Так как функции Ч'" и Ч'- имеют одинаковый характер по отношению к инверсии координат (т. е. обе являются либо скалярными, либо псевдоскалярнымн функциями) н сн не изменяется при комплексном сопряжении, то отсюда вытекает, что функции Ч'+ и Чг также имеют одинаковый характер относительно отрзжения координат, что и доказывает одинаковое значение внутренних четностей бесспнновой частицы и соответствующей ей античастицы. ') Сравнить с одинаковым действием на частицу н античастицу'гравитационного поля. 823 Сделаем несколько заключительных замечаний.
В нерелятивистском случае при взаимодействии частиц число ях (каждого вида) не изменяется, и поэтому внутренняя четность всех частиц системы на разных стадиях процесса одна и та же и не является экспериментально наблюдаемой величиной. Соответственно невозможно различить характер волновой функции относительно отражения координат и из соображений простоты полагают, что она является скалярной. В релятивистском случае внутренние четности бозонов могут быть, в принципе, определены из закона сохранения четности ввиду возможности процессов рождения и поглощения базонов поодиночке (сравнить, например, с 10.5 и !0.6).
Наконец, отметим, что для частиц произвольного спина внутренние четкости частицы и античастицы одинаковы для бозонов и противоположны по знаку для фермнонав. 15.6. В нерелятивистской квантовой механике условие орто. гональности собственных функпий эрмитова оператора ) определяется соотношением Чг). (г) Ч'1 (г) с(У = 5 (1 — (') (или 5 ° для д, с.), (1) вид которого тесно связан с сохранением во времени нормировки волновой функции состояния частицы ~ ( Ч" 1з бУ = сопя( = 1, непосредственно следующим из уравнения Шредингера. В случае уравнения Клейна — Гордона (ХУ.1) во времени сохраняется величина = — ~ (Ч" — Ч' — ( — Чг) Чг ~ с(У.
(2) Именно это выражение должно использоваться для нормировки в. ф, состояния и определять структуру интеграла, выражающего условие ортогональности собственных функций (обобщение формулы (1) на релятивистский случай). Запишем в. ф. Чгр а, нвлающиесЯ Решением УРавнении (ХЧ, 1), в виде (сравнить с 15 1) Ч'~~ С (р) ехр (~ — „(рг — аг)), а (р) = 4р'с'+ тзс' ) глез.
При этом Чг+ описывает состояние частицы с импульсом р и и энергией а, а плоская волна Чг отвечает формально импульсу п — р и энергии — в. Такое решение уравнения Клейна — Гордона сопоставляется античастице уже с импульсом р н энергией е, см. 15.2. Подставив в интеграл (2) вместо функций Ч' н Чг соответственно в.ф.Чг и Ч'р.,убеждаемся в том, что ои равен нулю в случае выбора в ием функций с разными знаками частоты и пропорционален б(р — р') для функций одного и того же вида.
Выбрав в выражении (3) значения 'и' (2пя)з в (р) получаем условие ортонормированности рассматриваемой систе- мы функций в виде представляющем обобщение формулы (1) на релятивистский случай. 15.7. Записав положительно-частотное решение Чге (г, 1) уравнения Клейна — Гордона (Х'т'.1), описывающее физическое состояние частицы, в виде суперпозиции плоских волн Чг~ (г, 1) (см, формулу (3) предыдущей задачи с указанным в ней значением коэффициента С+(р)): Ч + (г, Г) = ~ а' (р) Ч,+ (г, 1) бзр = тса з Юг — зп (2пй)э е ( получаем для сохраняющейся во времени величины 9 ь выраже- ние (сравнить с 15.1) (д~ ) 1 =~(а (р))" сгр. (2) Отсюда, по аналогии с нерелятивистским случаем, функцию а+(р) (точнее, а+ (р, Г) = а+ (р) е ".
) следует рассматривать как волновую функпию состояния частицы в импульсном представлении в обычном квантовомеханическом смысле и использовать значение Яь = 1 для ее нормировки. 825 Аналогично можно ввести волновую функцию античастицы в импульсном представлении, используя разложение отрицательно-частотного решения Ч' — (г,!) уравнения Клейна — Гордона по плоским волнам Ч"э — — (Чг+), Ч' (г,г)= ! †„ !эг -ег! = ~ а (р) Ч' П~р = ( ~/ , а (р) е л~р Р .1 Ч( (2яб)зе(р) и связь волновой функции античастицы Ч',+ =СЧ' = (Чг ) с решением Чг , см.
15.2. При этом в. ф. античастицы в импульсном представлении имеет вид а~ч (р, Г) = а *(р) е а условие ее нормировки ~ ~от (р, Г) ~ д р = 1 эквивалентно зна- чению () = — !. То обстоятельство, что волновая функция частицы в импульсном представлении имеет обычный смысл амплитуды вероятности, позволяет, исходя непосредственно из импульсного представления, волучить обобщение соответствующих квантовомеханических формул я на координатное представление, см.
в связи с этим задачи 15.3 — 15.10 Подчеркнем, что согласно формуле (1) переход от импульсного представления к координатному отличается от нереляти. вистского случая появлением дополнительного множителя (/глез/а (р) в разложении в. ф. Чьг по плоским волнам. Формально именно с этим обстоятельством и связана невозможность введения положительно определенной величины р ~ О, претендующей на роль плотности вероятностей для координат, Несмотря на отмеченный ранее ограниченный смысл локализованных состояний частицы в релятивистском случае, методически поучительно обсудить вопрос о собственных функциях координаты на примере бесспиновой частицы.
Исходным з) пря д этом является вид оператора координаты, г = 15 —, в импульсдр ' ном представлении. В этом представлении искомые с.ф. а„(р) — ехр ( — грг ), + 1 ге (2 )з(а о' з) Несколько иной подход к этому вопросу я обсуждение оли таких локализованных состояний см. в книге: Е. Вигнер.
тюды о симметрии. Мл Мир, 1971. 326 как и в иерелятивистском случае; здесь и ниже 3 = с = 1. В координатном представления согласно формуле (!) получаем где У = (г — го!. Для выполнения интегрирования по импульсам в первом интеграле использованы сферические координаты с полярной осью вдоль направления вектора (г — го); для второго (однократного) интеграла использовано его выражение через функцию Макдональда, см.
[ЗЗ, с. 973). Обсудим свойства собственных функций о(ггт (г). Прежде всего. отметим предельные случаи (мы «восстановили» д и с): 1 ! г — го (Ы 1 ехр !— (г — го! ~ д (г — го!» —, (а) гас д — (г — го(у1, (г — го(Ф вЂ”. д г' тс Ч',+, (г) Эти с. ф. не сводятся к 6(г — г,), как в нерелятивистском случае, а локализованы на расстояниях порядка комптоновской длины волны частицы Д/тс, В нерелятивистском пределе, т. е.
при с-» оо, область локализации функции Ч'г, (г) стягивается в точку и так как при этом ~ Ч'г+ (г) о((г = 1 (для вычисления интеграла удобно подставить в него разложение (3) в.ф. по плоским волнам и выполнить сначала интегрирование по переменной г, дающее 6(р)), то в этом пределе с. ф. У)гт (г) сводится к 6(г — го), как и следовало ожидать.
15.8. Для вывода искомого соотношения воспользуемся тем обстоятельством, что для свободной частицы волновая функция в импульсном представлении а+ (р, г) = а+ (р) ехр (- — е (р) г) Й имеет, как и в нерелятивистской квантовой механике, обычный смысл амнлитуды вероятностей импульсов, см, предыдущую 827 Чгг+ (г) = а, (р) е агггр= го 3 (2 )з(2 ( з + 2)!(4 г« о 1 т д ! соз (гпрг) 2кз г ду ) (рз + !)ьч о „з !. (2п') ( Г ( — ) (тг) (3) задачу. Поэтому при нормировке этой волновой функции ! а+ (р, 1) )з Ы~р 1 (2) среднее значение энергии частицы дается обычным выражением в= ~ в(р))а+(Р,1) )хб р= а+'(р, 1) 4рзсх+ тзсча+ (р, 1) азр.
(3) Теперь заметим, что в координатном представлении волновая функпия Ч'+(г,1) произвольного состояния свободной частицы описывается суперпозицией положительно частотных решений уравнения Клейна — Гордона (ХЧ. 1), связанной с в. ф. в импульсном представлении соотношением тсз э з "' бзр Ч' (г,1)=~ — а (Р,1)е зз, (4) е (р) (йаа)~ж см. !5.1 и 15.7, из которого следует з à — ~ Р бзг — — рг — а (р, г)= 1Чг~ (г, 1)е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
