Galitskii-1992 (1185113), страница 141
Текст из файла (страница 141)
(3) Заметим, что преимущественный вылет электронов перпендикулярно импульсу фотона отражает «пресбладание» в нерелятивистском случае волновых свойств фотона: именно в этом направлении действует на электрон сила Лоренца со стороны электромагнитной волны. В релятивистском случае, для более жестких фотонов, начинают проявляться их корпускулярные свойства, что приводит к преимущественному вылету электронов в направлении импульса фотона, см. 129). Интегрирование выражевия (3) по углам дает полное сечение фотоэффекта где (с = 1/лз = 13,6 э — потенциал ианизации атома водорода. Заметим, что сечение (4) для значений 2 = ! и йш=б кэВ составляет сиб 10™ см'. Выражение (4), умноженное на 2 (два К-электрона), можно использовать н для (приближеапого) вычисления сечения фотоэффекта на атомах, отличных от водородоподобного.
Вклад в сечение других электронов атома, находящихся в возбужденных состояниях, меньше, чем К-электронов: они более слабо связаны с ядром, а в пределе свободных электронов поглощения ими фотонов не происходит. Оценка сечения фотоэффекта на таких электронах атома может быть выполнена аналогично тому, как это сделано в следующей задаче !4.19 для процесса радиационной рекомбинации электрона. 14.!9. Решение данной задачи может быть получено в результате простых замен в решении предыдущей задачи (заметим, что общее соотношение между сечениями взаимно обратных процессов фотоэффекта н радиационной рекомбинации электрона непосредственно следует из принципа детального равновесия, см.
13.93). Перестановка начального и конечного состояний не изменяет значения ! Уп(з в силу эрмитовости оператора Р. Следует произвести следующие изменения: 1) в выражении для плотности конечных состояний, теперь йрг описывается формулой (Х1Ч.8) с йю = в,+1 еэ е,; 2) в соотношении (Х!Ч.!4), связывающем вероятность и сечение, в данной задаче ип = Уг(ш/и;, 3) заменить усреднение по поляризациям фотона суммированием по ним, что дает дополнительный множитель 2 в сечении процесса. 812 В результате указанных замен приходим к следующим выражениям для дифференциального н полного сечений радиационной рекомбинации быстрого электрона на основной уровень соответствующего водородоподобного атома (иона): Отметим, что рекомбннация быстрого электрона на возбужденные уровни атома имеет значительно меньшие сечения.
Действительно, из формулы (1) предыдущей задачи следует, что ) В оэ ер Ф» (Р) где Ф»(Р) — волновая функция рассматриваемого состояния электрона в водородоподооном атоме в импульсном представлении. Для аз-состояний аснмптотика этой в. ф. прн больших импульсах имеет вид Ф„этС/ч/пзр», так что э) пр,„ „э со оь 1/аз (для состояний с орбитальным момевтом 1 Ф 0 в. ф. Фы(р), а соответственно в сечение рекомбинации убывает при р -~.ао еше более быстро, чеч в случае з-состояний, см. 4.18).
Поэтому учет рекомбинации на возбужденные уровни сводится к умножению сечений (1) на ~ и = ь (3) = 1,202 (ь (а)— ь дзета-функция Римана), т, е. увеличивает сечение рекомбинации всего на 20%. 14.20. Процесс фоторасщеплепия дсйтрона по своей физической природе аналогичен фотозффекту и расчет сечения его дублирует решение задачи !4.18.
Укажем изменения, которые следует произвести в формулах этой задачи применительно к данной. Под волновой функцией Ч',(г) теперь следует понимать в. ф. дейтрона, имеющую в приближении потенциала нулевого радиуса действия сил вид / и а-"' йзиз Ч'а (г) = Ско ~/ — —, во = —. (1) ~/ 2и г ' М Здесь ер — энергия связи девтрона (М вЂ” масса нуклоиа, Р = = М/2 — приведенная масса рп-снстемы) и соответственно Е, = = йю — ез. Заметим, что в волновую функцию (1) введен аснмптотнческнй коэффициент С , учитывающий поправку иа конечность радиуса взаимодействия; см.
по этому поводу 12.1, а также 11.36. ') Такую же зависимость, п„оэ ч ', имеет сечение фотоэффекта из возбужденного пз-состояния водородоподобного атома. 813 Во взаимодействии (протона) с полем излучения следует произвести замены: е- — е, лг- М, г-ьг, = гУ2. Вид волновых функций конечных состояний %'г не изменяется, но теперь Е~ = Рз/М, Соответственно изменяется н значение интеграла в матричном элементе возмущения (см.
формулу (1) из 14,18); теперь он равен е" вг~р — Ыг= ..1га- е "' з 4пв Р г (Рз+ й'и') (2) (слагаемое )йг/2 в показателе экспоненты опушено по указанной в 14.18 причине). Плотность конечных состояний в условиях данной задачи Рз ') Р г)зр Мр'и" П() ",=1 (--" —.) „.„.= „,.„. Р = ЧУМ (Дю — еа). учитывая сказанное, приходим к следующему выражению для дифференциального сечения фотораснтепления дейтрона: ез г)а=2 — Сзо Р ', )ер(зЖ.
.о з1з з (3) После усреднения па поляризациям фотонов (сравнять с !4.18) получаем Ыо = — Скс з юп 0 с(Я. е з Р 'тее . з (4) кс 31(эж з Интегрирование по углам дает полное сечение фоторасшепления дейтрона 8п е' а у'еэ (йы — еэ) ' (5) 3 Ьс ио Мйыз 814 Сделаем зак.'почительное замечание в отношении области применимости полученных резуль~атов.
Онн основаны фактически на использовании приближения нулевого радиуса для потенциала рп-взаимодействия. Такое рассмотрение предполагает, что в задаче существенны расстояния, много большие радиуса действия ядерных сил. Как видно нз выражения (2), оно опрандано пРн Р Ди, т. е. таких частотах фотонов, что йю еэ (и неприменимо прн значениях импульсов «освобождающихся» нуклонов Р ~ й/га, гДе г, — РадиУс ЯдеРного взаимоДействиЯ; пРи больших импульсах нз-за быстрых осцилляций экспоненты в интеграле (2) существенны малые расстояния, на которых уже важен вид точной волновой функции дейтрона).
14.21. В тормозном излучении быстрого электрона начальное состояние системы — свободный электрон и вакуум фотонов— описывается волновой функцией гР = — е р~ — р г~(0), Š— — рп г /)г ~д 1) т' г 2 и Рассеяние электрона, сопровождающееся излучением одного фо- тона, происходит под влиянием возмущения Хез е 1'= — — + — А д(г) р, лтс са 2 сравнить с (Х1Ч. 2) (слагаемое ~~ Агап опушено, так как оно отвечает за переходы с четным изменением числа фотонов).
Для конечных состояний гр ==акр~ — р,г((1ь,0, ...), Е = — р +Ью. ,~/р ~ д т/ о' ''''' 1 2 Вероятность рассматриваемого перехода, происходящего во второц порядке теории возмущений, рассчвтывается по формуле 11, 5 43) (2) дзкз 2пг при этом суммирование по ть, сводится к сумме по всем воз- можным значениям волнового вектора и электрона в промежу- точном состоянии. 815 Отметим, что л~атричный элемент возмущения Угг отличен от нуля уже в первом порядке за счет второго слагаемого н возмущении (!]. Однако он содержит множитель 6 „таз, выражающий о вз сохранение импульса при излучении фотона свободным электроном, что совместно с законом сохраненвя энергии приводит к не. возможности излучения фотона свободным электроном.
Поэтому взаимодействие с внегпним полем, приводящее к передаче импульса ядру, является существенным элементом рассматриваемого процесса. Промежуточные состояния (т) в сумме (2), дающие отличный от нуля вклад, описываются волновыми функцвями двух типов: 'Р = — е (1,0,...), Е = —.1 Лои 1 ~ . Ьзм' т~ у7 во' ' '' ' тл (з) Чг = — е "' ( О), тз г7- т и связь (Х1Ч. 14) сечения и вероятности процесса, находим диф. ференцизльное сечение тормозного излучения зз (Лез)з йз , зйз зй, «) евой ~ "(!т'((!з'(м (5) Теперь выполним интегрирование по направленням вылета излучаемых фотонов (оно проводится элементарно, если выбрать полярную ось вдоль вектора й, при этом 3а «о з(пз 8т и!! ): 8 е' (Яе') «йз с!о — — — — Ж, и'ы.
3 йс пй'с'й, мдз (7) Наконец, выполнив интегрирование по углам вылета рассеянных электронов, которое проводится элементарно, если вы- 2 2 2 брать полярную ось вдоль вектора й! (при этом л =й! + йз— — йй!йз соз 8з), находим дифференцкальное сечение тормозного излучения как функцию частоты излучаемых фотонов (т. е. спектральное распределение фотонов): 8 е' (Хез)' 1 (ЧIЕ + 4Š— йа) 3оэ — — — — — й — — !и 3 Лс теЕ м йю 4(ю, здесь Š— начальная энергия электрона.
Так как г(о/г(м о !/ы при ы - О, то полное сечение тормозного излучения бесконечно (это — так называемая инфракрасная катастрофа). Однако эта расходнмость сечения несущественна прн вычислении потери энергии электроном на излучение, характеризуемой «эффективным торможением», илн «эффективным излучением» и= ~ йю бом! используя (8), нетрудно получить и к = Ь ~ м Фо = — Я вЂ” шс г, 1б з е' и 3 Яс о (8) где г, = е'/гпсз — классический радиус электрона. В заключение подчеркнем, что так как при решенви задачи действие поля ядра рассматривалось как возмущение, то применимость полученных результатов (5) †(8) требует выполнения 817 Эта формула дает наиболее полную информацию о процессе тормозвого излучения. Интересуясь лишь спектральным составом тормозного излучения, проделаем следующие преобразования. Прежде всего выполним в выражении (5) суммирование по двум независимым поляризациям фотона с помощью соотношения (Х!Ч.8), что дает е' (уе»)з й, / (йй)з ч г!о = — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
