Galitskii-1992 (1185113), страница 145
Текст из файла (страница 145)
Б. Мигдала [31!. Обсудим зависимость критического значения У«,.р глубины ямы от ее ширины а. Положив в формулах (3), (4) ез = О, приходим к уравнению 15 ~ — „'~/ — '., — 1 ~ = — '~/ ',,э — 1. (5) ') Заметим, что одночастичная задача теряет физический смысл также и а слу чае не слишком сильных полей, если они являются быстропеременными ао времени, так что сущестаешю отличны от пуля фурье-компоненты «потенциала» У(ы), отве чающие частотам ы)~ шсз/6. Формально неприменимость одно- частичного подхода в этом случае связана с невозможностью «разбиения» решений волнового уравнения на независимые по ложительно- и отрицательно-частотные части (из-за переходов между ними), янляюпгегося существенным элементом в интерпретации решений волнового уравнения, сопоставляемых состояниям одной частицы (или античастицы; физическая причина состоит в возможности рождения новых частил).
834 Из него в предельных случаях «широкой», а а К й/тс, ям имеем: тс' а»й» Г тс' х а) ис .. — + ~~- ), 2 2та' х 2 ) пзйз тс' б) (Г~ кэ на —., + — (>> с ), йта» 2 » й/тс, и «узкой», й а » —, (б) а~— тс (отметнм, что независимо от ширины ямы Ом,р ) тсз/2; приведенные выражения определяют наименьший корень (/с,,р уравнения (5), другие корни уравнения отвечают обращению в нуль е„с и ~ )1). Как видно, «шнрокая» скалярная яма «съедает» 2 энерппо покоя при глубине (/, ж тс'/2 По мере уменьшения ширины глубина критической ямы возрастаег.
В отмеченном стучае б) «узкой» ямы зна |ение (Гс .» относительно мало отличается от глубины ямы„отвечающей нозникновению связанного состояния 15.13. Уровни энергии н соответствующие нм волновые функции определяются из решения уравнения Клейна — Гордона (стационарной формы уравнения (ХУ. 2) с А = 0 и ф = Хе/г): ( — йзс»Л -1- т'с') Ч" = ~е -1- — 1 Ч". г) Это уравнение имеет форму радиального уравнения Шредингера (1У 2) для водородоподобного атома в нерелятивистской теории: й' 1 д» й»((1+!/2)» — 1/4) Еез)- — — — — г+ — — э1« г — — Е г1« 2т г Нг 2тг* л ч„чГ н получается нз него с помощью следующих замен (и = е'/йс): ~(+ Ч'- (1 + Ч'- г а, Уе г- —,, тс» г» тзс4 чгГ 2тсз Теперь, воспользовавшись известным выражением для энергетического спектра перелятивистского водородоподобного атома т (Лез)» т (Еез)' 4 2йза» 2й» (и + 1/2+ 1+ 1/2)з Учитывая сферическую свмметрию задачи, решенве уравнения ищем в виде Ч'(г) = Р,(г) у~ (О, гр).
При этом нз (1) следует йз 1 Л» й» ((1+ 1/2)г 1/4] Ее»е 2»е" г+ эЯ= 2т г Зй 2тг» тс'г 2тс»г» ) е» лг»с4 1«, (2) и произведя в нем замены (3), находим ( — ' ~! ° ~- — ";лгзтГ2)' — «»'! — — ' ь'. 1з 2 Отсюда следует выражение для искомого энергетического спекз ра: У»а» 112 Д1 ".'.[ ~ ~.««»ч»' — е ] 1 (5) (формально здесь з правой части следовало бы ввестя два знака, ж, однако выбор знака « †» отвечает «лишним» уровням, не входящим з энергетический спектр; такие уровни ассоциировались бы со связанными состояниями античастицы, а их в уело. виях рассматриваемой задачи, т. е. для точечного ядра, нет, сравнить с 15.!6).
Сделаем несколько замечаний в связи с получеаным результатом (5), Как видно, учет релятивистских эффектов снимает «случайное» вырождение уровней в кулоновском поле в нерелятивистской теории: теперь они зависят от орбитального момента частицы. В случае Еа « ! из формулы (5) следует гп(7е')» т(Еез)» / 1 3 д Е .=е .— шс»ю— — Яа лг! эг! 25»пз дз з (5) Второе слагаемое здесь представляет релятивистскую поправку к результату нерелятивистской теории, сравнить с !1.1. При значениях Яа ) 1/2 формула (5) приводит к комплексным значениям энергии (сначала для з-состояний, а затем и для ббльших значений орбитального момента), что указывает па появление неустойчивости в рассматриваемой задаче. Причину ее легко понять, если заметить, что слагаемое — 2»е4/йгпсзг» в уравнении (2), сингулярное при г -» О, можно рассматривать как часть потенциальной энергии, имеющую характер притяжения.
При значениях Еа,» 1/2 такое притяжение является настолько сильным, что возникает «падение ца центр», см. (1), а также 9.14. При учете конечности размеров ядра потенциал ограничен и соответственно такой неустойчивости уже ие возникает. Однако даже в случае ядра конечного радиуса Р дальнейшее увеличение его заряда приводит при некотором значении Е,р (зависящем от радиуса Я) к появлению новой неустойчивости спектра рассматриваемой системы. Физическая причина ее аналогична обсуждавшейся в предыдущей задаче; в достаточно сильном электростатическом поле (как и в скалярном поле) становится энергетически возможным спонтанное рождение пзр «час- тица + античастицар, так что одночастичиая задача теряет физический смысл, В таких сильных полях возникает также перестройка вакуума. В связи с этим отметим, что неустойчивость вакуума относительно рождения электрон-позитронных пар в поле ядра с обычной плотностью возникает при заряде ядра Я„р яз 170; см.
по затронутым вопросам 131). 15.!4. Уравнение Клейна — Гордона для свободной частицы (ХУ. 1) можно записать в виде Г— д х/' д — с'р'+ зс') ) 13 — — сзрз+ зг ) Чр = О. (!) д! .) (, дг кг Его решения Ч'Кг, описывающие физически реализуемые состояния частицы, соответствуют положительным энергиям (частотам), см. 15.1, и удовлетворяют уравнению д !6 — — с'р'+ т'с') Чркг=О д1 (2) д имеющему уже вид уравнения Шредингера, Гй — Чр = НЧр, с гад! мильтонианом й йОи, т~чрр ц (3) Ч" .
= ехр ~ — — тс Г) Ч' ( 1 з р кг (4) (выделение здесь экспоненциального сомножителя соответствует записи энергии частицы в виде е = гасз+ Е, т. е. выделению из нее энергии покоя тгз) и выполним разложение радикала в (2) по степеням рз/тзсз. В результате приходим к уравнению д / 1 1 - 1 13 — ЧР = — рз — рй+ — рз+ ...) Чг, (5) д! 'х 2 йт с 1бтзс' где второе и последующие слагаемые в скобках в правой части уравнения представляют релятивистские поправки к гамильто.
виану Не = Рз/2т свободной нерелятивистской частицы. В заключение обратим внимание на следующее обстоятельство. Из уравнения Клейна — Гордона следует сохранение во 837 (для отрицательно-частотных решений уравнения имеем д 13 — Ч' = — Йту; после выполнения зарядового сопряжения, д! Чрр =СЧ', это уравнение принимает вид (2), но уже для вол- новой функции Чгрт античастицы, см. 15.2), Для перехода к нерелятивистскому случаю сделаем подста- новку времени величины 1,У = З! Р Н)г, где р» определяется вираже. + Г нисм (Х)Г, 3) с гр — О, см.
также 15.!. В то же время согласно уравнению Шредингера (5) сохраняется значение гу ~ р д)г где уже р = )Ч'~». Сравним СУ» и 9. Для Ц с учетом уравнения (2) имеем (б) Для справедливости соотношения О- = О (=1 для нормированных волновых функций) прн переходе от Ч'кфг к шредингеровской в. ф. Ч' в принципе следует выполнить, в дополнение к (3), неуннтарное (!) преобразование Ч'+, = ЯЧ', Л = (! + Р'/ 'Р) '", (7) обеспечнваюшее сохранение нормнровкн прн различных способах ее определения (при обычных унитарных преобразованиях остаются неизыенными как значение, так и аид — ~ ) Ч" )з г()г = сола!в нормировочного интеграла).
Однако в случае свободной часгицы оператор этого преобразования 3 коммутнрует с гамильтонианом н поэтому уравнение (2) имеет такой же внд, как н уравкение длЯ шРедингеРовской в. ф, Ч' = 5 Ч'кгу сРавнить со случаем частицы во внешнем поле, рассмотренным в 15.15. 15.15. Стапионарное уравнение Клейна — ( ардона для заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле 1 'Г ' ) чз са ~р — — А) + тас« ~ Чгктг = (е — еду) 'Гк~г с в случае ) еф ) ~ тс» и ) Е ) ц тсз, где а = тс» + Е, удобно записать в виде (далее индекс ~~! у в. ф. »Р'"г, см.
15.1 н 15.3' опускаем); ( 1 Г е '! (Š— еф)» — 1 Р— — А ) + еч' — Е) Ч кг = 2т'ч с 2»пса Ч Кг (1) При этом правая часть уравнения много меньше каждого из слагаемых левой частн, и, пренебрегая ею, получаем в «нулевом» приближении уравнение Шредингера нерелятивистской теории с гамильтонианом //а — — пз/2т + еф, где и = Р— «А/с. Расчет релятивистских поправок к гамнльтониану связан с последовательным вычислением членов его разложения по степеням параметра, включаюшего множитель 1/ст, и основан на воэможности приближенного преобразования уравнения (1) к виду уравнения Шредингера (с точностью, соответствующей рассматриваемому приближению по 1/с'). Теперь ситуация отличает.
ся от случая свободной частицы, для которой сразу можно написать замкнутое выражение для релятивистского гамильтониана, см. формулу (3) предыдущей задачи. Начнем с вычисления первой, оэ 1/сз, поправки Имея в виду, что в правой части уравнения (1) унсе фигурирует множитель !/с-', замечаем, что в ней можно заменить (Š— еф)зЧКг его значением в «нулевом» приближении. Так как в этом приближении 1 (Š— еф) ""кг = (//е еф) Ч"кг = 2 "'Ч'кг (2) то в правой части уравнения (1) можно выполнить следующие преобразованию (Š— еф)з Ч" . лз Г ! 1 аа (Š— еф) — Ч" = ] — — [еф, пз] ! пз (Š— еф) УЧг "г 2т КГ '! 2лз ' 2щ ' ) К 1 1 '! = ( — — [еф, и'] + — и' э Ч', 2т ' ' 4тз В результате это уравнение с рассматриваемой точностью, 1/с', принимает вид и' и' 1 ° — ~- еф — + — [еф, пз] ~ ч'кг = еч'кг.
(3) ( 2т йтзсз 4шзсэ Хотя внешне оно подобно уравнению Шредингера, но таковым еще не является. Это связано с тем, что оператор в фигурных скобках, претендующий на роль гамильтониана, не является эр. миговым. Для перехода от уравнения (3) к искомому >равнению Шредингера следует еще выполнить преобразование волновой функцви вида = ЕЧ' = [(е — еф)/тсз] !/з Ч" = [! + (Š— ей)/юс') '/з Чт = 1 3 = [1 — (Š— еф) + — (Š— еф)э+...~ Ч'.
(4) 2гнс' 3лтзс" Такое неунитарное преобразование обеспечивает сохранение нор. мировки в. ф. '"кг — з (е — еф) Ч"кг 3Р = ~ ] Ч" ]' 3)г обсуждение этого вопроса см, в предыдущей задаче. 839 Подставив выражение (4) с учетом в нем членов порядкав) 1/с' в уравнение (3) и заыетив, что в рассматриваемом приближении, как и выше, можно в слагаемых с 1/с' воспользоваться соотношением (2), приходим к уравнению Шредингера с первой релятивистской поправкой 1 1 — и» вЂ” — ив + еф ~ Ч' = ЕЧ». 2ш йтв«» Как видно, эта поправка к гамильтониану, равная — пв/йтвс», такая же, как и в случае свободной частицы, и представляет естественное квантовомехаинческое обобщение соответствующей релятивистской поправки в классической теории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
