Galitskii-1992 (1185113), страница 140
Текст из файла (страница 140)
12). Учитывая вид волиовых функций сферического осциллятора, см. 4.4 н 4.5, и то обстоятельство, что для (линейного) осциллятора матричные элемевты дипольиога момента отличны от нуля лишь для перекодов между соседними уровнями, см. (11.3), замечаем, что все изменение в расчете сечения рассеяния фотона на осцидляторе по сравнению с рассеянием на ротаторе из 14.13 сводится к замене шаровых функций Уш и У, на залповые функции осЦиллвтоРа Чгл 1„,.' г 2 ~/6 гз)заз о~т ° ~з 04 'а (па 2 -гзгздз 'Уесз — — „4 е Узо (па') Как и в случае амплитуды рассеяния фотона на ротаторе во втором порядке теории возмущений, в сумму по вромежуточиым а~ й/тыо, и энергии ротатора Ег на Е = лью(йг+ 3/2).
Соответственно матричный элемент дипольного момента для рота- тора Из(У~ )п1уоо) следует замеиить иа (О!гп) ег) 000) = ~/ — еа(упз )п) Уо) 3 состояниям вноснт внлад лишь первый возбужденный уровень осцнллятора с моментом 1= 1 н пря суммировании по значениям его проекции по-прежнему прнменнм прием, связанный с переходом к суммированию по полной системе собственных функций гамнльтониана осцнллятора. В результате для дифференциального сечения упругого рассеяния фотона на осщглляторе получаем (вместо формулы (2) нз 14.!3 в случае ротатора)2 аа = — ~(еэе!) ~~ ~ 4(42.
2 4 ( 2 2)2 (1) Для рассеяния непалярнзованных фотонов после усреднения (суммирования) по поляризацням фотонов, сравннть с 14.12, имеем — = — (1 + 26) а (ы), 4(п 3 а(2 16п (2) где полное сечение рассеяния фотона осциллятором (ы ыо) (3) грг = Хз! 12,аг О, ...), Ег —— Аы! в конечное (здесь Хс 2 — соатветствующне спнновые функцни) 'р) = Хз( 12 о ° О " ) ы Пад ВЛИЯНИЕМ ВОЗМущЕНИя )à — )ьуыгаа(О), СраВНИтЬ С 14.7.
Переход пронсходит во втором порядке теорин возмущеннй н его вероятность рассчитывается по формуле 11, 6 43) "--Ф' -' ~'" ! 1227ч2 (1) ! ч В данной задаче сумма по промежуточным состояниям (ч) содержит четыре слагаемых, соответствующнх состояниям, описы- Полученные резулгпаты не содержат постоянной Планка и совпадают с нласснческнмн результатами для рассеянна электромагнитных воли осцнллятором (сравннть с предыдущей задачей; в связн с этим отметим, что прн рассеянна фотона на осцнлляторе во втором порядке теории аозмущеннй неупругое рассеяние отсутствует, т. е. возбуждение осцнллятара не происходит, в отлнчие от рассеяния на ротаторе). 1436. Рассматривая только спнновую степень свободы (т. е. пренебрегая эффектами отдачи прн рассеянии), считаем, для определенности, частицу локализованной в точке г = О. Рассчитаем вероятность перехода системы из начального состояния ваемым волновыми функциями (с а, = ~!/2); ч „ = х, ) о, о, ...), Е, О; кза = Хэа] )а1э, (аэо, О, ...), Етз ьч 26Ы, Г1~ тот где, как обычно, Х +«э — — ( ), Х,, «з — — ( ) и учтено равенство частот (энергий) фотонов: ю, = ыэ = ы Сумма в выражении (!) принимает вид ((Хз ]оаз] Х ) (Х ]па<] Х<)— аэ — (х,]аа, ] х„)(х,,]оа',] х<)), .
р'сэ ° = 4п< — ',а, а<э<(Х ]о,( Х<) (при этом использовано коммутационное соотношение для мат. рнц Паули о,о, — о*о~ = 21ем~о~). Отсюда, имея в виду соотношения (Х1Ч.О) и (Х!Ч. 14), находим дифференциальное сечение рассеяния фотона магнитным моментом йтз< — „,, ) а<а<аз<а<э»,о<х< ) Щ. (2) Выполним в этом выражении усреднение (суммирование) по поляризациям фотонов.
Для этого запишем ] <3 е, <а а э(о<) (< (о ) (о )з< ага э „а,а<эа анг Так как аы = е*менйм, то, воспользовавшись Соотношением (Х1Ч. 8), получаем 1 а<эа<„— ~ ааааа<ай<ээээ, е<эИ<, 1 1 ч 1 Аналогично имеем Х амаэм а< ~э~ йэрйэ, ет где введены обозначениЯ а, <э! — — (е< <т)<г« з)]. УчтЯ здесь Условие полноты, ~» ! Хэ Х <'Х, ! = 1, системы спиновых функций эа' получаем Х Е вЂ” Е ыэУ У! У г 2нрэс а"га, (Х, ] о,оэ — оэо, ] Х ) = < — т Теперь можно выполнить интегрирование по углам рассеянии фотона ~Х 1 ° 4м з 8и ~„пягпзюб()а=ага змм» 3 я бр = 8 ябич. В результате описанных преобразований получаем сечение рассеяния неполяризованных фотонов в вкде 1би и« ог~ = 8 6»с» (аДзГ (пг)д вГагегагвгр«еам«ГГûë~м, нли, учитывая соотношение е из с = 6»«би — 6»Ам, п21 8 ~3~2 (пг)21 ( Г)23 сбй + Гг !ГГ Сечение зависит от спинового состояния частицы до и после столкновения.
Отметим следующие случаи. 1) Сечение рассеяния из чистого спинового состояния с вектором поляризации Р, (Р( = 1, без изменения спинового состояния 1би Р«юз Г / 1« »з1 16п Гь«юз п44 — — 111+ 1 Р— ) 1 — — (1 + созе а), (4) З 6»с 1 1 а)~ З дс где а — угол между векторами Р н (с. Как видно, зто сечение максимально в случае, когда спин ориентирован вдоль импульса падающих фотонов (а = 0 или и). 2) То же, что и в предыдущем случае, но уже с «переворотом» спина, т. е. РГ = — Р: «з и = — — (2+ з!пз а).
Ф 3 Лзс« 3) Сечение рассеяния в случае, когда спиновос состояние частицы после столкновения не детектируется, 64и м«юз и = п)4 + о)~ = (6) оно, в отличие от (4), [5), уже пе зависит от исходного поляризационного состояния частицы. Для частицы с произвольным значением и спина имеем )з = ра/з. Читателю предлагается показать, сделав необходимые изменения в приведенном решении задачи, что полное сечение рассеяния фотонов на неполяризованных частицах, просуммнро- ванное по конечным спиновым состояниям фотона и частицы, равно 1би )гчюз з + 1 о= — — —, = 9 дзсч зз (7) что при з )> 1 совпадает с результатом классической злектроди. намики для сечения рассеяния электромагнитной волны магнитным моментом, усредненного по различным его ориентациям н предполо'кении их эквивалентности: (8) Здесь к — гиромагннтное отношение — определяется соотношением р = кМ, где М вЂ” механический момент частицы. 14.17.
Вероятность перехода в системе «атом + фотона между состояниями Р! 1=Ч'о)1!ае), О ) Е! ! о+"" (Ч'з — волновая функция атома) под влиянием взаимодействия электронов с полем излучения, имеющего в дипольном приближении вид (Х!Ъ'.12) с О = — е ~ г (суммирование проводится по всем электронам атома), рассчитывается согласно известной формуле второго приближения теории возмущений см. !1, 4 43]; в данном случае Рп = О. Вклад во входящую сюда сумму дают промежуточныс состояния двух типов, волновые функции и энергии которых (Ч'„Š— в.ф.
н энергии стационарных состояний атома).С учетом соотношений (Х)зг. 12) н (Х!!!. 13) эта сумма принимает вид Содержащиеся здесь две суммы имеют следующую тенэорную структуру (ввиду сферической симметрии рассматриваемого состояния атома Ч'а, имеющего равный нулю момент): В(ш а)0! г (О) Ы (и)(и(г( 10) м шбъ и ол Выполнив здесь свертку по индексам ! н Я, получаем а (2) н так как в условиях задачи ы -ь О, находим й2 4 ап = —, ~ е е, )~ гЫ.
(3) После усреднения и суммирования по поляризациям фотонов, сравнить с 14.12, получаем дифференциальное сечение рассеяния неполярнзованнык фотояов и полное сечение рассеяния ао 00шч йи Рею' — — (1+савей), а(ю) = — Е . (4) 34) 2са 3 са Как иллюстрацию этого соотношения см. рассеяние фотона на ротаторе н осцилляторе в 14,13 и 14.15; поляризуемости этих систем были найдены в 8.10 и 8.2. Заметим в заключение, что формулы (4) в явном виде не содержат постоянной Планка (в отличие от самих поляризуемостей квантовых систем) и совпадают с аналогичными результатамн классической электродинамики для рассеяния электромагнитной волны поляризующейся системой. 14.18. В системе «водородоподобный атом + фотон», находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией 1 -та ш(ге ) Чг =Ч' (г)) 1, 0...~~ Ч' ==е Ва, Е Яш —— (а Яз/атее), в результате поглощения фотона электроном, е происходящего под действием возмущения )г = — Агэа (г) р 810 1 Замечая, что В (0) = — — Яйа лишь множителем отличается от 2 значения поляризуемостн Ос рассматриваемого состояния атома, и используя соотношения (Х1Ч.
0) и (Х!тг.!4), приходим к дифференциальному сечению рассеяния фотона с малой частотой атомом сравнить с (Х1Ч.2), может произойти ионизация атома, Так как в рассматриваемом случае при этом энергия электрона равна Ег ю Яы ~ 1 лг(Хьл)з/2Аз, т. е, вылетающий электрон является быстрым, то в конечном состоянии можно пренебречь влиянием поля ядра на электрон и выбрать соответствующие волновые функции в виде чт = — ехр~ — Рг)~0), Е( — — —. „/У- ~ / Вероятность перехода рассчитывается согласно формуле 2и г(ю = — ( У1 (тйр(, матричный элемент возмущения в которой А описывается выражением (сравнить с (Х1Ч. 4)) глУ Ч ' ь 2 Интеграл здесь легко вычислить, перенеся предварительна действие оператора р на экспоненту слева от него; после чего он вычисляется в сферических координатах и оказывается равным 8пйа' 8яА' (! + азиз)з р'а где х = р/А — (г; в последнем равенстве учтено, что р )> ЯА, как зто следует из соотношений рз — ю Аы Ясй « лгс' 2гп (возможность превебрежения (г соответствует замене в матричном элементе е аг аг ! в дипольном приближении), н ра/А ~ ! гас ввиду условия Аы ~ Х Наконец, учитывая выражение для плотности конечных состояний рз '! Ур г(рз Ж трУ 1 ~ ( 2т / 2 (2пй)' (2яЯ)з и связь (Х1Ч.
14) сечения с вероятностью процесса, находим днфференцналшюс сечение фотоэффекта ,зй,ьд ! р !з (а=82 — —, (~ев,— ~~ ((). щс (Яю)~(з ~ р (2) 811 Выполнив а нем усреднение по поляризациям фотона с пав 1 мощью соотношения (Х!Ч.8), что дает (е!, р !з — р з!и 9 (Π— угол между векторами р и (г), получаем дифференциальное сечение фотоэффекта для неполяризованных фотонов ио = 322з ( — ) ( —,) ( — ~) з!пз 8 ий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
