Galitskii-1992 (1185113), страница 144
Текст из файла (страница 144)
(5) а (р), (2пй)зр Используя последнее соотношение, преобразуем выражение (3) следующим образом: ! — р1г — г'1 е = 25 х — з- ~(р с + и~с ) Чгт* (г, 1) е а Чт (г', 1) азр )ч )ч ехр ~ — р (г — г')1 Ч" ~(г', 1) азр Н г'а г (б) [б (обратить внимание иа порядок расположении сомножителей в последнем интеграле, удобный для его дальнейших преобразований).
После выполнения в (5) интегрирования по импульсам с помощью формулы — ~ ехр [ — р (г — г')~ бар = 5 (г — г') (2 5)з 3 ! й элементарно выполняется интегрирование и по г', так что для среднего значения энергии частицы получаем следующее выра. жение: в = ~ ~ Чгт ' (г 1) (- б~ьДЬ + я~с ) Чт+ (г, 1) с(~г. (7) При этом условие нормировки (2) волновой функции в коорди- натном представлении принимает вид (см. формулу (2) преды- дущей задачи) (а'(р, Х) ('д'р= — дт) Чг "— — — Чг гдг= !.
(8) 2глсз,) ), дХ дХ Можно получить и несколько иное, эквивалентное (7) выражение для среднего значения энергии частицы, если воспользоваться вытекающим из формул (!) и (5) соотношением — г — а (Р, Х)=— ЬХа + д а (р, Х) й ' дХ ЪХа Х Г з Зт д с!зг = — ~ е — Ч' /шсз дХ (2ий)зХ (9) С помощью выражения (9) формулу (3) легко записать в коор- динатном представлении следующим образом: е= — ~ ( — Ч (г, Х]! — Чг (г, Х) д г. (1О) пюз З т,дХ ' г' дХ Согласно полученным выражениям (7) и (10) среднюю энергию бесспиновой частицы можно записать также в виде 2 3 е = — ~ ~ — — + (тЧ)+) (РУ+) + — (Чг+ (я~ с(зг, 2га „. сдХ сдХ йз (11) аналогичном (с точностью до нормировочного множителя) энер. гии классического скалярного (илн псевдоскалярного) комплекс- ного поля, удовлетворяющего волновому уравнению (- дз глс — Л+ + из) Ч'(г, Х) =О, н- —.
сз д(з ) 6 Энергия такого поля Е ~ Тзздзг выражается через компоненту Тзз (или Ты) тензора энергии-импульса, имеющую вид (27) Тес со ~ — + ((ГЧг ) (ЧЧ') + и Ч" Ч'1, 929 см. также следующую задачу о связи среднего импульса частицы с импульсом классического поля. В заключение заметим, что проведенное рассмотрение непосредственно нереносится на случай античастицы, если для р = ~ р ( а+ (р, 1) !я с( р ° ~ а+ (р, 1) ра (р, 1) д р. (1) Используя соотношения (см. формулы (5), (9) решения предыдущей задачи; там же обсуждается связь в.
ф. в координатном и импульсном представлениях н используемая нормировка в.ф.) г ~/" — аг да — а+(р,1)= Чг+(г,1)е в (р) З (2яй) 1 5' й д1 (2яй) 1з выражение (1) можно записать в виде 1 '* а Р1т — г'1 д з з з Ч'+ * (г, 1) ре — Ч'+ (г', 1) г(ар д г' с(~г д1 1 '* д — 'в1г-г'1 д Ч'+ * (г, 1) — е " — Ф+ (г', 1) д р д г'г( г. дг д1 (2) 1Л Р (2яй)з пгсэ (2яй)з шсэ Здесь элементарно выполняется интегрирование сначала по пе- ременной р (дающее множитель б(г — г')), а затем и по г', что позволяет получить искомое выражение для среднего импульса частицы: — йх Г, д д р — — 1 Ч' * (г, 1) — — Ч' (г, 1) б г.
гнсэ э ' дг д1 (3) Имея в виду отмеченные преобразования, легко сообразить, что оно может быть записано в более симметричной форме: йз Г Г дЧгт* дЧге дЧ'+' дЧ'+ р — — ~ 1( — — + — — ~ с(~к (4) 3( дг д1 д1 дг )' '' Это выражение для среднего импульса бесспиновой частицы с точностью до нормировочного коэффициента имеет такой же вид, как и формула для импульса классического скалярного (илн псевдоскаляриого) комплексного поля.
Компоненты им- описания ее состояний используется зарядово-сопряженная волновая функция Ч"+ (г, 1), см. 15.2 н !5.3. 15.9. Как и при решении предыдущей задачи, исходим из импульсного представления, в котором волновая функция частицы, как и в нерелятнвистской квантовой механике, имеет смысл амплятуды вероятностей значений импульса, При этом среднее значение импульса частицы определяется выражением пульса поля определяются выражением Рг ~ Тю~(зг, где Ти (или Тм) — плотность импульса поля, являющаяся соответствую.
щей компонентой тензора энергии-импульса 127); при этом / дЧг' дЧ' дЧг' дЧг х Тг, — ( — — + — — ), ~, дкг д( дг дх где ( = 1,2,3 (сравнить с аналогичным замечанием в предыдущей задаче относительно энергии). 15.10. Задача решается аналогично двум предыдущим. Исходя из формулы для средних значений компонент орбитального момента часпщы в импульсном представлении Т = ~ а+*1а~г(зр = — 1 ~ а+" (р, Г) (раз) а+ (р, Г) и' р и используя преобразования, аналогичные описанным в решениях указанных задач, приходим к выражению ,)Ч' *'г г)Г 3 щсз,) ' 1. дг 3 д( или в более симметричной форме: В таком виде оно совпадает с формулой для момента 1, классического скалярного поля (сравнить с аналогичными замечаниями в отношении энергии н импульса, сделанными в указанных выше задачах).
При этом выражение для плотности момента поля имеет наглядный физический смысл, так как его можно записать в виде 1 ь(г, С) = — (ггс), й ) е тт сз(р — — А) + щзст ~ Ч' = взЧ.', с здесь е — заряд частицы, ай = го1А. Это уравнение отличается от нерелятивистского уравнения Шредингера — (р — — А) Чг = Ете" (2) 831 где п(г,() является плотностью импульса поля, см, предыдущую задачу. 15.11. Энергетический спектр и соответствующие волновые функции стационарных состояний определяются из решения (стационарного) уравнения Клейна — Гордона для заряженной час. тицы в магнитном поле, имеющего вид лишь заменой Е на (зз — тзс')/2тсз.
Поэтому, воспользовавшись известными результатами решения последнего уравнения для час. тицы в однородном магнитном поле в 7.1, где оно было получено ври различных калибровках векторного потенциала, в релятивистском случае находим 1ч а „т с + р с + 2тс йв (и+ — 1, л = О, 1, ..., в = (е) зэ > О. тс Отсюда следует вр, = т Л (т~с~+р~~сз+ 2тсзйв (и + -) (3) ! ч (сравнить с з (р) = ~ чутзсз+ р'с' для свободной частицы). Интерпретация двух значений а „, отличающихся знаком точно такая же, как и з случае свободной частицы (см, 15.2, а также 15.3).
Одно из иих, зр > тс', описывает энергетический спектр частицы, заряд которой равен е, как и в уравнении (!). Отрицательные значения з ( — тсз ассоциируются р и с состояниями античастицы, имеющей заряд — з; при этом энергия античастицы равна ( — з) ) тс' Таким образом, энергетические спектры частицы и античастицы в магнитном поле одинаковы (это обстоятельство очевидно заранее, так как энергетический спектр не зависит от знака заряда частицы) В заключение сделаем замечание о характере энергетического спектра. Как и в нерелятизистском случае, он имеет не.
прерывную зависимость от р„ связанную со свободным продольным (здоль магнитного поля) даиисением частицы, а также включает дискретную зависимость от квантового числа л, связанную с понеречвым движением частицы (носящим фииитпый характер). При этом поперечное движение частицы отражается на кинематике свободного продольного движения (в отличие от иере. лятнвистского случая) и согласно формуле (3) может быть наглядно описано как «изменение» йв гл-з тз = т т(/! + (2п + 1)— массы частицы, 15.12.
Энергетический спектр частицы в скалярном поле определяется из решения уравнении ( — дзота + йтсз(7 (г)] 'чт = (з' — т'с') 5г. (1) 832 Оио имеет вид нерелятнвистского уравнения Шредингера для частицы в потенциале (/(г), в котором энергия Е заменена ка (е' — т'с<)/2шс'. Ограничиваясь рассмотрением з-состояний частицы (так что в. ф. является сферически симметричной) н сделав подстановку <т(г) = гЧ'(г), приводим уравнение (1) к виду <(з 2лт вз — глас< — —, )(+ — „, (/ ( ) )с = (2) <хля рассматриваемой потенциальной ямы его решение, удовлет- воряющее граничному условию Р(0) =О, в случае (е' — т»с<) (О описывается выражениями Аз!п~гц — — м»г, г(а, Р(г) = Ч 6' Вэ — иг Г)л< где и= — Х/гл»с< — е* > 0 1 Лс (3) / 2щ(/эа з а ! Г 2л<(тэа' д< — ма = —— м„л т/ 6» — и п, (4) и определяющему энергетический спектр связанных з-состояний.
Обсудим основные особенности энергетического спектра, ко. торые легко понять, имея в виду отмеченную выше аналогию рассматриваемой задачи с задачей об уровнях д.с. нерелятивистской частицы в сферической потенциальной яме. 1) В достаточно «мелкой» яме связанные состояния отсутствуют; они, как и в нерелятивистском случае, появляются лишь при выполнении условия (<< ) пай»/8та'. 2) При дальнейшем углублении ямы (т. е.
при увеличении параметра ()<а<) будут появляться новые дискретные уровни; прн этом для уже существующих уровней значение величины (щ с — е„) будет увеличиваться, что соответствует увеличению )Е<) при углублении ямы в нерелятивнстском случае, т. е, е„уменьшается при углублении ямы. з 3) Специфическая для релятивистского случая ситуация при углублении потенциальной ямы возникает при достижении 833 27 В. М.
Галицкая н дэ. (так как (< = 0 при г » а, то в области значений е».» ттс< энергетический спектр непрерывный; рассеяние на скалярном по. теициале рассмотрено в 15.19). Условия непрерывности а.ф. и ее производной в точке г = а приводят к трансцендентному уравнению основным уровнем значения еа — — О. Прн дальнейшез«унеличе- 2 нии (!«значение е«становится мнимым, что свидетельствует о появлении неустойчиаости в рассматриваемой задаче. Для понимания причины возникновения такой неустойчивости необходимо иметь и виду следующее обстоятельство. Решение задачи позволяет найти величину е„, так что при этом 2 е = М: .!аз Получающиеся дна значения энергии, различающиеся знаком, следует интерпретировать так зке, как и в случае свободной частицы: одно из них, е„ ) О, дает уровни энергии частицы, другое, и„ ( О, отнечает узке античастице, энергия которой равна ( — е„) ) О. Действительно, при уменьшении глубины ямы нсе уровни с„ ) О идут вверх и переходят в верхпяй континуум е ) тсз, а уроани е„ ( О «слиааются» с пнжнпи континуумом е ( — тсз Соответственна, энергетический спектр частицы и античастицы но ацешнем скалярном поле одинаков, т.
е поле оказывает на них одинаковое воздействие (в отличие, например, от электростатического поля, сравнить с 15.3 н 15.4) Таким образом при рассматриваемых критлчегхих значениях парачстрон ямы (ее глубины и ширины) энергия основного со. стояния как частицы, так и античастицы в яме принимает значение е, = О. При этом оказывается возможным спонтанное рождение пар «частица + античастица» (или одиночных частиц, если они истинно нейзральные) Именно это обстоятельство является физической причиной возникновения отмеченной выше неустойчивости решения одночастнчпой задачи в сильном внешнем поле'). В сильных полях возникает также перестройка вакуума, см, по затронутым вопросам монографию А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
