Galitskii-1992 (1185113), страница 127
Текст из файла (страница 127)
15), из условия с196~(Е~) =1 можно найти положение полюса парциальной амплитуды рассеяния, определяюшего изменение уровня Е~ О в потенциале Уо(г) под влияз1 730 инеи возмущения ЬУ(г). В случае момента частицы 1 = 0 имеем хо — 1»/2тЕо!«и яя 1гао н для аначеннй длины рассеиния ао) 0 (при ЬУ(0) прихо- дим к известному результату (2) Е1 яя — ««1'та ( г (, 1) 1 (3) линеек по ЬУ и описывается первым порядком теории возмуще- ний, сравнить с 4.28. Для значений ас ) 0 уровень — реальный с Ес ( О. Если же ас ~ О, то Ес ) 0 определяет энергию квази- стационарного состояния; при этом его ширина 2«о Е 2тЕ1 Хс+ьч т(г (~ «3 / (4) В случае 1 Ф 0 характер резонансного рассеяния существенно за- висит от знака ЬУ(г), определяющего характер уровня, см., на- пример, 13.46.
13.60. Общее выражение для членов разложения, 1 1', 1Ю » амплитуды рассенния по степеням кратности взаимодействия дается формулой (2) из 13.!О. Так как входящие в нее фурье- компоненты потенциала У(х) сущсствино отличны от нуля лишь при значениях х)! ( 1 (Д вЂ” радиус потенциала), то замечаем, что в случае быстрых частиц, М ) 1, н малых углов рассеяния, когда с)Р = ( й — й ( Й ~~ !.
в интегралах по х в этой формуле доминирующую роль играют области интегрирования, в кото- рых (хэ — Мо((1/)). Записав ха йо+ ха по+ ха, -! х 73! о квадратичной зависимости, Е, о — (ЬУ)', от ЬУ глубины «залегания» з-уровня, сравнить с 4.27, В случае ао(0 также и и, ( О, так что уровень Ео является виртуальным (находится на нефизическом листе). Подчеркнем, что сечение з-рассеяния слабо зависит от знака ЬУ(г), см (ХП! 16), В случае орбитального момента частицы 1Ф О, воспользовавшись выражением (1) и результатом 13.44 для эффективного радиуса взаимодействия г, в момент возникновения связанного состояния, замечаем, что сдвиг уровня (полюса парцяальной амплитуды) где и — » !» и хх ! и имеем для энергетических знаменателей а= приближенное выражение ха — »з — !е яэ 2»эй» вЂ” !в э э (здесь пренебрежено слагаемыми (ха) и (на) по сравнению с 2» х! что приводит к относительной погрешности -1/М).
е а Теперь, после подстановки в указанную формулу выражений для фурье-компонент потенциала С(ха — н» !) ~ ~ ~ У(ра, гэ)ехр( — !(г(й'~ — йа1 !)г+ + (наг — хах !) р ] ] (эр ага замечаем, что с помощью соотношения ~ ехр (1(р, — р ) нэ ] И~хе ~(2н) б(ра+! Ра) выполняются интегрирования по нх, а появлнющиеся б-функ- а цнн позволяют проинтегрировать и по рм так что во всех множителях У(р, га) значения р (с разными») оказываются одинаковыми. Используя, наконец, значение интеграла ехр (г! (га„! — га) ха)],, !я М- — Ч(га+! г„) 2»зха — !з »о (П(г) — ступенчатая функция, см. !3.!4), находим в результате описанных преобразований (» = »,): г| г /(э)гм ( ш ] ~ г(г! ~ г)г — гч р Иг„~ ~ У(р, г,)...
() (р, г„) е г(зр, (2) причем здесь в показателе экспоненты пренебрежено слагаемым — !л!г„,таккако! кр (сравнить с !3.2):В этомвыраженниможно по ноем гз интегрировать в бесконечных пределах, если ввести множитель (л!)-', после атого получаем амплитуду рассеяния 732 в эйкональном приближении; В заключение укажем условия применимости этого выражения, следующие нз приведенного выше его вывода. Преиебрежеяие в показателе экспоненты формулы (2) слагаемым О а ~ ~цап/й — айто ч 1 пРедполагает, что Угол РассеиниЯ 0«1/3/М, Так как /гЕ » 1, то эта область включает углы рассеяния Об„!/йЕ, вносящие доминирующий вклад в полное сечение.
Далее, а свнзи с соотношением (1) отмечалось, что его использование вносит погрешность — 1/Ы. Однако вычисляемая (приближенно) величина входит в показатель экспоненты выражения (3). Поэтому условием его нрименнмости является малость по сравнению с едикнцей абсолютной (а не относительной!) погрешности показателя экспоненты, что приводит к следующему ограничению; — (//г ° — «1, т.
е. ! (/(г)(«Е 1 1 Йэ йй (нзвестному из других соображений, см. (1, $ !31)). 13.51. Приведенное в условии задачи выражение для сечения рассеяния следует из оптической теоремы, если для амплитуды рассеяния воспользоваться зйкональным приближением (ХП1. 17). Условием его применимости для быстрых частиц является выполнение неравенства )(/(г)( « Е; при этом оно справедливо для существенной области углов рассеянияО(1/йй (см. предыдущую задачу). В случае «сильного» потенциала, для которого )(/(г)()~Е при г Л, рассеяние под углами Π— !/й/г уже ие описывается зйкоиальным выражением. Однако для рассеяния вперед, т.
е. под углом 0 = О, амплитуда /(Е, О = О) = — ~ (2! + 1) (е — 1) (1) ! по-прежнему сохраняет эйкональиый вид (фактически это справедливо для области малых углов рассеяния О « 1/Щ пока не начинают сказываться осцилляцин полнномов Лежандра с (~й/т н можно положить Р~им 1 в разложении амплитуды (ХШ.О) по парциальиым волнам).
Чтобы пояснить сделанное утверждение, заметим, что эйкональная формула для амплитуды рассеяния получается при использовании для фазовых сдвигов квазикласснческого выражения (ХН1.!4), см. [1, 3 !31), В случае же ссильного» потенциала для них следует использовать бо. лее общее выражение (ХН1.13). Однако это обстоятельство не отражается на значении амплитуды рассеяния вперед (1). Дело в том, что для таких значений ! в сумме (1), для которых 1(7(гэ)(,жЕ (гз — квазиклассическая точка поворота в выражении (ХН1.
13)), фазовый сдвиг обладает следующими свойствами: он велик, )6~) >> 1, и быстро изменяется с ростом 1, так что (бгь~ — 61 (:1, причем эти свойства следуют как из формулы (ХП!, 13), так и из зз) (ХН!. 14) Это приводит к тому, что в соответствующей части суммы (1) вклад слагаемых с ехр(216~) пренебрежимо мал из-за взаимной компенсации, связанной с быстрыми осцилляциями. Такая компенсация вкладов соседних слагаемых имеет место независимо от того„какое выражение — правильное (ХН!. 13) или «неправильное» (ХН1.
14)— используется) Для значений же 1, для которых )(7(га) ) 'к Е, по- прежнему справедлива (ХН!. 14). Таким образом, амплитуда рассеяния вперед быстрых частиц описывается эйконзльным выражением и при нарушении условия 10(г) ) ~ Е; отсюда, согласно оптической теореме, и следует утверждение задачи. Отметим, что унитарные свойства амплитуды рассеяния в эйкональном приближении рассмотрены в 1376. В случае потенциального барьера (или ямы) находим л о (Е) = 4зт ~ ~1 — соз (6 ~/1 — Р, Л р ар = = 2яй ~! — —, ($ Мп $ + соз $ — 1)], $ = — (2) 2 Ч 2ш(7зЛ з»з (интеграл вычисляется подстановкой х = з/à — — р»7)7з).
Прн значениях $ ~ 1 из выражения (2) следует результат борновского приближения г и',)7 о (Е) яэ нРз ~ — ' ~ С я)(з 6'Е 7' для быстрых частиц (см, 13.1), а прн $ » 1 имеем о яэ 2я)7»вЂ” известный результат для сечения рассеяния быстрых частиц непроницаемой сферой (см. 13,57). ") Так, согласно (ХН1. 14) имеем д 6 1 77 ' щ(и(")! ) 6,+г — 61! ~ 6! 1~ йзй! ('о)) у!7 «зйз 734 13.62. Воспользуемся квазиклассической формулой для сечения рассеяния из предыдущей задачи. Учитывая значение интеграла ~ (/()/р'+') / = «(и 1/аа Г ((т — 1)/2) 2аР 1 (1+ з)т/З ' ! Г( /2) (подстановкой 1 + и' = 1Р интеграл приводится к эйлероау интегралу — бета-функции В (х, у) с х = 1/2 и у = (т — 1)/2), можно выполнить интегрирование") по переменной р и получить а(Е) =2пГ(Х) з!и — ~ — ~ Е )(, (1) пА Г ц/по Г((т — !)/2)1 ! т !! 2 ~ дэ Г (т/2) где Х = (т — 3)/(т — 1) и р = 2/(ч — !).
Как видно из формулы (1), убывание сечения рассеяния при Е-~-«о яаляется более медленным, чем в условиях применимости борновского приближения, когда поз!/Е. Это свяэаностем, что при рассеянии быстрых частиц в потенциале (/ о»г ~ с т ) 2 доминирующую роль играют малые расстояния (малые прицельные параметры), на которых потенциал нельзя рассматривать как возмущение. Соответственно формула (1) при значениях энергии Е -» «е справедлива для достаточно произвольного потенциала, имеющего рассматриваемый вид лишь на малых расстояниях.
Заметим, что для значений т -1-2 энергетическая зааисимость сечения, определяемая формулой (1), «ошивается» с результатом, полученным в борновском приближении. 13,53. Для вычисления сечения рассеяния воспользуемся результатом 13.51. Квазнклассический фазовый сдвиг при значениях прицельного параметра р ~ Й равен 4 (р) = — ~ ехр ~ — — )/р'+ х' ) «(х яэ а(Е) " г 1 яэ — 'ц/2прЯ ( — 1 е аГл (1) 23о 'ч Ео г ") Сначала делаем подстанонку х = р' и выполняем интегрирование по частям, что приводит к интегралу вида ~) 1, гад — «!и ~ — ) «(х с з =(т — 1)/2. Выразив теперь синус чех' ч х') рез экспоненты и сделав подстановки о = ~!а/х*, приходим к интегралам, определяющим гамма-функцию.
733 .(для вычисления интеграла следует впспользоваться разложенвем я/рз + я' м р + г'/2р). Обозначим через ро значение р, для которого 6(р«) = 1. В случае и ~ 1/2 н больших энергий имеем ро Л Я (прн Е -» со также и р«-»о»). Теперь заметим, что фазовый сдвиг является резкой, быстро убынающей функцией р. Поэтому при вычислении сечения по формуле из 13.б1 вкладом области интегрирования р ) р«можно пренебречь вообще (так как в ней 6 нз О), а в области значений р ( р» можно пренебречь вкладом, отвечающим быстро осцнллируюшему слагаемому с соз 26(р) (ввиду 6 л 1) и получить в результатео(Е) ж 2про(Е). Отсюда, используя выражение (1), находим сг(Е) яэ аз!и ( — /, где оо 2п (и — — ) )г', (2) з/Ет (,Ео у' 2! з случае л =» 1/2 (при приближенном вычислении р»(Е) из соотношения 1и 6(р,) = О пренебрежено слагаемым !п(р»Я) по сравнению с р«/Я; заметим, что при значенкях л ( 1/2 сечение рассеяния с ростом Е убывает). 13.54.
Согласно (Х111. 19) имеем для значений р с Е я 6(р) = — — ~ о ( Нв а 2/г яв — — !п — (1) 2до з,~/~з ) зз ьо р -и и для амплитуды рассеяния (Х111. 19) при л чь О получаем выражение с«зя /(Е, д) = — ~ ег !о'в)рбр оьр, 2пг,! с о где 8 = — !п — — ор соз ф. 2п Ао 2)г (2) В случае !а/ л» Ло фаза экспоненты велика н быстро изменяется с изменением р и р. В такой ситуации значение интеграла определяется в основном вкладом областей интегрирования в охрестностях экстремальных точек фазы как функции переменных р, Из условий экстремума находим 2а = дород соз ~ра дро з!п фо = О; отсюда р« = 2!а)/Лед н р« = О в случае а ) О или Зг = и для а ( О (при этом )а(/рз «~ Лйо, т. е.
!Ц < Е, что оправдывает использование яриблнжения эйхонала). Разлагая Я(р, ф) в окрестности экстремальной точки р», <р« с «квадратичной» точ- костью и используя значение интеграла Пуассона, получаем амплитуду рассеяния ят(а( /(Е Ч) ао ! Я» г ехр(18(Ро Фо))' (3) При этом дифференциальное сечение Рассеяния Ь (г) = — — 1п 2йг, о йо фазы радиальной функции, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
