Galitskii-1992 (1185113), страница 126
Текст из файла (страница 126)
при а > > (21+ 1)) имеем Еа < О, так что этот уровень отвечает связанному состоянию в 6-яме (сравнить с 4.9). При рассеянии медленных частиц в этом случае 6 ян (йс1цб,)-', а соответствующее парциальное сечение рассеяния А«1«с ас (Е) = 4«с (21+ 1) (/с )«4сс (21 + 1)— (5) тзгтс (Е+(Е () Как видно, ос«с(М)~~ СГс, т. е, в этом случае резонансное сечение в 1-й парциальной волне по порядку величины совпадает с нерезонансным сечением в более низкой парциальной волне с моментом, равным 1 — 1.
Поэтому„кроме случая 1= 1, оно вносит малый вклад в полное сечение рассеяния. В случае а~ < О (т. е, для значений а « 21 + 1, 1 > !) ситуация инан. Теперь, согласно (4), Ел > 0 и левая часть уравнения (3) является мнимой, Следующая итерация позволяет полУчить мнимУю часть полюса амплитУДы, Е~ = Еэ — СГ«/2, определяюшую ширину рассматриваемого квазнстационарного состояния, ГЛ Яэ ) ) Ал (А Р) цэ, Ал —— — „,1/2тЕн, (6) 2А' тсч.с гсес А' 1 Заметим, что зависимость Г«от Аа определяется знергетической зависимостью коэффициента прохождения центробежного барьера: ь / (1+!/2)э ГСт «о С) ЕХР -2 .ЧЧ/ — й и'г я -е р~ — (21+!) (п — )1 (А г) +' 1 -1- 1/2 ! ш я (П = (1 -1- 1/2)/йа — квазиклассическаЯ точка поноРота), сРавнить с 9.30. Теперь парциальное сечение рассеяния о~(Е) в узкой области, шириной -Гт энергий, близких к Еж описывается выражением м(21+ 1) Гя ас (Е) яэ (7) (Š— Е„)'+ Гэ/'4 Как видно, оно велико, ао — й,чз » Ео, и значительно превышает сечение рассеяния в о'-волне (ао — яро), так что полное сечение а ян аь Вне этой области энергий, при )Š— Ео( » Го, сечение описывается аналогичным (6) выражением, с заменой в ием (Е+ (Ео()' на (Š— Ео)'! соответственно приведенная выше оценка сечения рассеяния при ао ) О переносится и на рассматриваемый случай ао ( О.
13.47. Для решения задачи воспользуемся разложением эф. фективного радиуса и вычислим параметры низкоэнергетического рассеяния ао и го. Волновая функция Ло = гйо(г) для значений Е = О и ! = О имеет вид ! 1 С з!икот, г()(! к,= — ЧгйлоУо ° Л ()- ! — г/ао, г > Р. Из условий сшивания решения в точке г = Р, см. 2.6, получаем С з!п Л =! — —, — + ЛС соз Л = а (ч — — 1), (1) )! гЯ ао ' ао ао где Л = ко)о и а = 2таР/йо Отсюда находим длину рассеяния (2) При выполнении неравенств и » 1 и а » Л имеем, вообще говоря, ао оы Я, что соответствует длине рассеяния на непроницаемой сфере радиуса Р (физически естественный результат ввиду малой проницаемости барьера).
Существенное отличие от рассеяния на непроницаемой сфере возникает при такой глубине ямы Уо, когда Л близко к ля с л = 1, 2, ... Записав в этом случае Л = пп + у, где (у) к. 1, получаем ао ~ Р(! — + Как видно, когда а яз соо, = — ля/В длина рассеяния уже велика, (ао( » Р, и обращается в бесконечность при а = ао,«. Такие значения параметров потенциала соответствуют появлению в системе уровня с энергией Е = О (и-го по счету) при углублении нмы, В случае (ао) » Ло рассеяние медленных частиц носит резонансный характер. Вычислим эффективный радиус го. Согласно (1) при значениях параметра Л яа ля имеем С оы ( — 1)оеоа/ла и по формуле для эффективного радиуса го в момент возникновения з-уровня о гв= 2 ~ (1 — Уо(г)) о(г, Хз 1 пйи г-» оо з (сравнить с 13.43 для случая ао = со), находим г а хз го = )! (2 — С') ии — С% яи — ~ — ) лп (4) Теперь, в отличие от случая з рассеяния ямой без барьера (когда го — 1г и го» О, см.
13.43), эффективный радиус в момент возникновения связанного состояния велик, (го( » Р, и отрицателен, г, ( О. Это приводит к тому, что слагаемое с эффективным радиусом в (ХП1. 15) является существенным ") при описании резонансного з-рассеяния. Ситуация аналогична имеющей место при рассеянии с отличным от нуля орбитальным моментом частицы, а физическая причина этого связана с наличием малопроницаемого б-барьера, играющего при ! = О такую же роль, как центробежный барьер при 1 Ф О. Амплитуда резонансного рассеяния (5) 1 1 — — + — г йо — 1и ао 2 о как и сечение рассеяния, а ои 4п)го)о, имеет резкую энергетическую зависимость, характер которой зависит от соотношения между тремя малыми параметрами йй«ц 1, Р/(ао( «К 1, Ф(го( «ц 1.
Ограничимся анализом двух случаев. 1) Если (ао( » (го(, то 4н 1 з г 1 зо' ( — ) +а+ — гайо так что сечение рассеяния (почти) ие зависит от знака длины рассеянии. Прн этом в области значений й щ 1/)го( слагаемое с эффективным радиусом, как и в обычном случае з-рассеяния, выступает как поправка; оно начинает играть существенную роль при й ) 11(го(. 2) В случае 1ао( 'К (го) рассеяние существенно зависит от знака длины рассеяния. При этом для значенй ао ) О имеем 727 м) Заметим, что соотношение (го! » Р имеет место лишь в условиях существования «мелкого» уровня в системе. (в знаменателе выражения (5) можно пренебречь слагаемым Й) Язаз 1 Я' а (Е) т 4л ~ — ~ —, а = — —.
(7) ~ тг, г' (Е+ е)' ' таага ' Аналогичной формулой (ио уже с е ~ — Еа ( О) описывается сечение и в случае аа (О, исключая узкую область значений энергии'а) (Š— Ея') — Гю в которой и Гл 2 Я~~~ (Š— Е )з+ Гл/4 2Язй 2 (ллй)' Я Г т! го! та~к (8) Параметры Е, и Га определяют положение и ширину квазидискретного уровня, существующего в системе в рассматриваемом случае; значение ширины связано с проницаемостью б-барьера, сравнить с предыдущей задачей, а также с 13.48. В заключение рекомендуем читателю обсудить вопрос о полюсах амплитуды рассеяния (5) и о связи энергетической зависимости сечения рассеяния (6) †(8) с характером уровня (реаль. иый, виртуальный или квазистацнонариый). 13.48. У.Ш.
в его решение для з-волны имеют вид йэ — аб (г — й)7, + Яз)( 0; а 2та/Яз, А зш Яг. г<Е Х(г) = (о'ег г — е г) г) й Из условия сшивания в.ф. в точке г = )1, см. 2.6„находим шщ тыя" а)т з!и М+ Яг( соз ЯЕ+(Я)г з1п Я)7 о гс ыо М + Ягс соз Я)2 — Й ге з1п /г)5 ") В которой вещественная часть знаменателя в выражении (5) близка к нулю. При выполнении условий ай л> 1 и ЯŠ— 1 (точнее, М К "а а)1), из (1) имеем, вообще говоря. Зг сэ е-ама, т.
е. бь еэ лз — ЯЕ, что соответствует рассеянию на непроницаемой сфере (см. 13.45). Специального рассмотрения требует при этом случай таких энергий частицы, для которых Яг( — ля с л = 1, 2, ..., н в вы. ражении (1) нельзя заменять дробный сомножитель иа 1. Записав И лаз+у с ]у]м. 1, имеем ая з!п М + М соз й/! — !йА' з)п щ ~ ( — 1) л (аду .р лл — !ллу) ам ( — 1) (а/( — !лл) (да — )мз -(- Л -1- !Лз] где Л = лл/аЯ ~ 1, и выражение (1) оказывается равным -жы! М вЂ” ля+ Л вЂ” !Лз й/1 — ля+ Л+ !Лз ' (2) Умножив здесь числитель и знаменатель на йз ллдз (лЯ+ лл — Л) — яэ —, 2т/!з т/1з ' преобразуем выражение (2) к более удобной форме жаю) Š— Ер.
л !1'л л/2 (3) где б!0) — ЛД и лзл'бз У 2 У, 2лзлзб» лл 2тР ). а/! ) ' л " т/(з (а/()з л ь Выражение (3) имеет обычный для случая резонансного рассенния на квазидискретном уровне вид, см. [1, $ !34]. При этом бс!Ш(/г) описывает фазу потенциального рассеяния (т, е. фазу вдали от резонанса), а Е«, и Гл,, определяют положение и шарику квазидискретного уровня. Таким образом; 1) фаза потенциального рассеяния совпадает с фазой рассеяния на непроницаемой сфере радиуса Й; 2) положение Ел,, квазидяскретных уровней почти совпадает с уровнями в бесконечно глубокой яме радиуса /1; 3) ширина уровня, определяющая время жизни квазистациоиарного состояния, мо кот быть представлена в виде Г = — ~ А/)М = б ° 4Л' °вЂ” б ллй М,л 2т/(з ' где 1) — коэффициент проницаемости (при однократном столкновении) б-барьера прн энергии, равной Е«,, (см.
2.30), а б) = а/2/! = ллб/2т/!з характеризует числа ударов частицы о «стенку» в единицу времени, Из физических соображений следует ожидать, что аналогичные результаты имеют место и для значений момента ! чь О. Поэтому при значениях /г// ~ а/1 сечение рассеяния аа б-сфере по'чти совпадает с сечением рассеянии на непроницаемой сфере та- кого же радиуса, за исключением узких областей бЕ вблнан положений квазндискретных уровней.
Так как паршнальиое се- чение описывается выражением о = 4п (21+ 1) — ( 5 — ! (з 1 йз н при энергии частицы, близкой к резонансной энергии Ез, для з-уровней, рассеяния с моментом 1 = О иа непроницаемой сфере не происходит (при этом 6( 1 из пп), то разность сечений (з1 о ! у' 3 Рис, 49 рассеяния иа 6- н непроницаемой сферах в окрестности квази- дискретного з-урозня оказывается равной (рнс. 49) йхрз / х х((Е Е )х 1 1 р~ ~ О 13.49. Обозначим через 21 и 2~ регулярные решения урав(е1 пения Шредингера (у = гЕ] с нулевой энергией в потенциалах Уо(г) и Уа(г) + 6У(г), нормированные условиями ф1 г и )(г г — г "'((21 — 1)И (21+ 1)О а1) прн г оо (сравнить с 13.39).
Написав у. Ш. для 2)Е1 и Хп умножив первое из них на )(и а второе — иа )(1е1 и вычтя почленио, проинтегрируем по г в пределах от О да с; в результате получим (сравнить с аналогичным преобразованием в 13.31; подчеркнем, что соотношение (1) справедливо при любом значении момента частицы). Используя полученный результат и разложение аффективного радиуса (Х111.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
