Galitskii-1992 (1185113), страница 121
Текст из файла (страница 121)
70б) ) я!па Г (т — 1) Г (! + (3 — т)/2) т з ;-!Гз,„/„ „, , (т „Р 1)/2) ' В случае ! = (т — 3)/2 интеграл в выражении (1) при й-»О расходится иа нижнем пределе. Воспользовавшись разложением / (х) при к-»О, легко найти расходящуюся часть витеграла и я значение фазового сдвига аз!~!! (3) 2" » !Гх(!+ 3/2) Сделаем два заключительных замечания. 1) Хотя полученные результаты основаны на иснользоваини борновского приближения, они иа самом деле прн ч ) 2 носят достаточно общий характер.
Действительно, в задаче существенны большие расстояния, на которых ) 0(г) ) С Аз/тгэ, так что потенциал можно рассматривать как возмущение 2) Для потенциала, представляющего суперпоэнцию «сильного» короткодействующего и «слабого» дальиодействующего (со степенной асимптотикой) потенциалов, вообще говоря "), их вклады в фазовый сдвиг аддитивиы, 6! = 6!, г+ 6!,а» При этом для аномально малых й доминирующим будет вклад дальнодействующега потенциала, а для не слишком малых й — уже вклад короткодействующего потенциала; см.
в связи с этим 13.37, а также 13.42. 13.30. Имея в виду решения двух предыдущих задач, нетрудно получить следующие разложения: 6+ай = — — й ~ — Х гг+! яа!а т-з ! 1 ! ! 32 ) т — 1 о „з!+ ! х[х1„,(*>- ч;г — — )ь. О! 2 ч!Гл(!+ 3/2) Д (т — б)/2 ( ! < (т — 3)/2. м) Исключая случай, когда в короткодействующем потенциале имеется состояние с малой энергией связи, В случае 1= (ч — 3)/2 в аналогичном (1) выражеыин нижний предел интегрирования равеы М н, вычысляи расходящуюся часть интеграла, находим б +а йтг+! м— йтг ьз 1„ й/(. (2) 2т + ' (2/+ 3) Г (/ + 3/2) В частности, для потенциала, имеющего на больших расстояниях вид (/ яа а/г' (т е, т = 4), при 1= О согласно формуле (1) получаем б +пой ж — — й ~ — ~ — — х1Ых= — Ф. тгь! 2та т ! ! Г Ыв'х 1 2птп й* ~х~ х 1 =33 о Прн этом обобщение разложения эффективного радиуса (ХП1.
15) принимает вид йс13бз(й)= — — + 1 2пта ао 33 ае 13.31. Для вычисления длины рассеяния аз следует найти ограниченное решение радиального уравнения Шредингера с Е = О и ! = О. Его асимптотнка 'з) Я!=о,н-о~(1 ас/г) прв г-ьсо А з!и (Дг/Л), г < /1, Х= г — а,, г) ?1. Из условий непрерывности Х и Х' в точке г = Р находим 1 ае — — (1 — — 13 Х) Л. л (1? б) Для б-сферического потенциала Сг, с<Я, Х= ае — г, г) /1. 'з) Такая асимптотика предполагает более быстрое, чем гл1/гз, убывание потенциала на больших расстояниях. 'з) Используемое для состоиинй д. с. граничное условие Ч'(оо) = О теперь естественно, не возникает. определяет значение аь Решения у.
Ш, для рассматриваемых потенцыалов обсуждались в задачах главы 4, поэтому здесь ограничимса лишь иекотоРыми замечаниами "); ниже Х ганн„о г о а) Для прямоугольной потенциальной ямы Сшивание решения в точке г Р, см. 4.8, дает Ло ао = — — )7. 1 — Ло (2) в) Для экспоненциального потенциала решение радиального уравнения Шредингера )( Уо (2Л) Аго (х) — й(о (2Л) Уо (х), где х = 2Ле ™, й/о(х) он — У,(х) 1п — + — + — (1 — Я')х', ! х(~1, 2 х 22Г ! н 2 л 2п по асимптотике 7.(г) находим длину рассеяния ао = — ~ — Уо (2Л) !п уЛ вЂ” А!о (2Л)1. л)7 Г2 Уо(2Л) 1 и (3) г) Для указанного потенциала решение у.
Ш. имеет внд (сравнить с 4.25) !(о . г гч чл-о, !=о=с '~/1+ —, з(п ~араго!8 — ), го где й = чг1+ ЛО. По его асимптотнке находим а,= Ис!й (ч — н$). у! (4) д) Аналогично решению задачи 4.25 находим волиовуюфуикцню Ч'д о 1 о —— Аехр ( — Л)7/г) и длину рассеяния а, Л)7. (5) Переходя к обсуждению полученных результатов, прежде всего отметим существенное отличие характера зависимости длины рассеяния а„от параметра Л оо'тУо при Уо-ьО в случае д) по сравнению с другими случаями а) — з).
Согласно (1) — (4) ао при малых Л разлагается в ряд по степеням Ло и является аналитической функцией параметра Уо. При этом в зависимости от знака Уо этн выражения определяют длину рассеяния либо в потенциале притяжения, Уо ~ О, либо в потенциале отталкнва- 701 Уо и й(о — функции Бесселя и Неймана. При этом учтено граничное условие Х(г = 0) = О, сравнить с 4.8. Так как при г-ь -ь со имеем х -ь О, то, используя соотношения (у еж = 1,781..., Ж = 0,5772...
— постоянная Эйлера) хз Уо(х) яэ! — —, 4 ния — при У» ( О. Так, формула (1) прн У» < 0 принимает вид о»=(1 — !п(а() А' 1 )А) и описывает длину рассеяния на потенциальном барьере. В случае потенциала У = а/г«, а = У,Е', зависимость а, от параметра г« (илн У») является уже иеаяалнтнческой, так как а»«Ч/ощ Такая неаналитичность отражает существенно различный характер влияния пот»ициала на частицу при малых значениях а ) 0 и а ( О, проявляющийся в возникновении «падения на центр» в случае' ») с« ( О. При этом формула (5) несправедлива, так как использованное при ее вывооо де граничное условие »Р(0) = 0 уже ие может быть реализовано ! ~ и требует модификации, срав- ! ~ нить с 9.!4.
Далее, формулы (1) — (4) ото ' ! у йа ражают общий характер записи. з ! мости длины рассеяния а» от параметров Уа и Е для знакопостояннаго (как функции г) регулярного потенциала вида У(г) = Рис. 48 = — У»)(г(Е), где (((г() ~ ~0 (притяжение — при У» 0 и отталкивание в при У» ( 0). Качественный ее характер изображен на рис. 48. Здесь проявляются следующие закономерности. 1) При (Х!з «~ 1 («слабый» потенциал) длина рассеяния также мала, так как (ао( Я»Е ~ Е.
Записав аа = — ОЛ»)(, согласно (!) — (4) находим значения параметра р, равные соответственно 1!3, 1, 2, я/4. Эти результаты могут быть получены непосредственно по формуле борновского приближения аов )в(Е О) ~ У (г) о прн этом знак длины рассеяния совпадает со знаком потенциала. 2) При увеличении (Х!з величина длины рассеяния также возрастает. При этом зависимость а» от У» является монотонной, кроме исключительных значений л» параметра )г в случае притяжения, при которых длина рассеянна а» обращается в бесконеч- ") Сравнить с аналогичным свойством фаз рассеяния б~ в случае потенциала притяжения У вЂ )а(/гз, следующим иэ формулы (1) задачи 13.19, когда при 2гл)а(/йз =(!+ 1/2)' возникает «падение иа центр» частицы с моментом Е 702 Хо 6» ()«) (),) Хз ы 2гл г'гд Х = — 1,» (По+6(гз) ) ( у) Х при значениях Е = 0 и 1 = О.
Граничные условия имеют вид Ха(0) = Х(0) = О, а аспмптотика решений при г -» сс соответственно Х, яз а, — г н Х ж а — г, причем а = а« + 6по (бпа определяет изменение длины з-рассеяния при изменении потенциала на — 6(1«)), Умножая первое из уравнений на Х, второе— на Х», почленно вычитая их друг из друга и интегрируя по г в пределах от 0 до а«, получаем l бпз (Хуо ХОХ ) ~ йз ОНО ~ 1 ~ ) Хз(г) ~~г В интеграле положено, Х яз Х,, что имеет место ввиду предполагаемой малости 6У»-»О и условия а«Ф са; при этом ба«также мало, причем ба«16(У«< О, что и доказывает монотонность зависимости а»(0«).
3) Наряду со значениями Л, близкимн к Л„для которых длина рассеяния аномально велика (резонансное рассеяние), существуют и такие значения Л„параметра Л, при которых, наобо. рот, а« = О. Так, в случае прямоугольной ямы согласно (1) это имеет место при условии 12Лл = Лл. Для таких значений Л«параметров потенциала сечение рассеяния о=4пао частиц с энер- 2 гней Е = 0 обращается в нуль. Соответственно при значениях Л, близких к Л„, сечение рассеяния медленных частиц, И «1, может быть аномально малым, что и проявляется в эффекте Ралзауэра — Таунсенда. Подчеркнем, что отмеченная малость сечения рассеяния, о « яЩ медленных частиц в «сильном» коротко- действующем потенциале радиуса Я может возникать только в том случае, если он имеет притягивающий характер. з') В случае 6-ямы при ее углублении появляется только одно связанное состояние с моментом 1 = 0 при значении параметра Л ~ Л, = 1, см. (2).
УОЗ ность. Такие значения Л. отвечают условию возникновения в потенциале нового связанного состояния с моментом 1 = 0 по мере углубления ямы"). Действительно, асимптотика волновой функции при г-» о в момент появления связанного состояния имеет внд зг о» Цг (а не С~ + С»)г, как в общем случае, сравнить с 4.25), что и соответствует длине рассеяния а, = ао, Покажем монотонность изменения аз с изменением (1« в случае знакопостоянного потенциала.
Запишем два уравнения Шредингера: Наконец, отметим следующую закономерность для длины рассеяния в случае очень сильного потенциала, когда !Х) ~ 1. Если потенциал имеет резко выраженный радиус )т, как для прямоугольной или б-ямы (илн соответствующих барьеров), то при этом а« яв )т, исключая лишь очень узкие области значений Х вблизи точек ") Х„, см. выражения (!), (2). Подобная ситуация сохраняется и в случае резко — экспоненциально — спадающих потенциалов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
