Galitskii-1992 (1185113), страница 118
Текст из файла (страница 118)
(2) 84рз 8 В этом приближении амплитуда )М> — вещественная функция. Ее мнимую часть согласно (1) легио найти в общем случае, если заметить, что Рщ 1 = б(и — йо) "В з (сравиить с 13.11). Записав ози = — и оиз 4(!2 и иитегрируя сна- 2 чала по кз, а затем по углам (выбрав полярную ось вдоль вектора М+>4,), находим !щ)(2> ( ш 4)( ) ~~ мб(из йз) К р ~ — мз)!2 + — (й + й ) )!физ ц() = 1 2 2(>2)(4 = 28 )й+й (В" ~д !й+ йз)М2)е (3) (заметим, что ! !4+ !44 ) = (4й' — рз)82). При бо.чьших энергиях, М» 1, и малых углах рассеяния, когда д>ты,!, амплитуда второго порядка определяется в основном мнимой частью (3), как это следует из 13.14 (формула (2) при ВЯ ~( 1 иепримеивма), При больших же изменениях импульса, наоборот, доминирующей является вещественная часть амплитуды (<зд Более того, так как це)гз) „а-ч'Луэ а (0> )в оз У (о) оз е ч'Дйл то прн достаточно больших значениях дй будет ()(е(~з~( лэ л (Цэ(, что указывает на неприменимость борновского приближения независимо от величины параметра 0м характеризующего силу взаимодействия').
Подчеркнем, что отмеченные заиоиомерностн характерны для потенциалов с зкспонеициальным убыва« пнем фурье.компоненты У (д) ь«ехр( — ад ) с « ~ 1 при о- с« (сравнить с 8.29, а также со случаем степенного убывания С(д), рассмотренным в предыдущей задаче). В заключение отметим, что с помощью формулы (3) и оптнческой теоремы (ХП1.
11) можно найти сечение рассеяния в борновском приближении; результат, естественно, совпадает с вычислением его по формуле пв ~ (( ) пгз, см. 13.1е). 13.14. Во втором порядке теории возмущений амплитуда рассеяния описывается выражениеи .1з! шз ( у (й — н) И (и — Мз) 0=,.) 8пч8 " м — йе — гв (см. 13.10). При большой энергии, М Ф 1, и малом угле рассеяния, когда дЯа~1, как видно из (1), вектор к, как и й, «близок« к йо.
Запишем эти векторы в виде й = йэ+ ц = й,по+ Чх, н = язпо+ мх где и = й /йз, а ц, х „Л п . При этом ( цх (яя д и й „= де+ Чы дз — дз/2йе, сравнить с 13.2. После подстановки явных выражений для фурье-компонент потенциала (через !Г(г)) интеграл в (1) принимает вид !г(»» а ) О (», а ) ех» (г — 1(гк', (з,— аэ)+кл(»,— »з) +й г»Д 2 2 Х 2йэх„+(м„) + к гэ Хл",8", ( ',8',. (2) г Здесь Я1 —— хг — йз и в показателе экспоненты опУщеио слагаемое — (я„аз, так как ) о,а (~(д'Я/йе С 1. Заметим, что члены ряда теории возмущений дли амплитуды рассеяния, см.
формулу (2) из 13.10, наглядно можно интерпретировать как описывающие последовательность однократных столкновений частицы с ') Это относится лишь к большим значениям дР (вилад которых в полное сечение рассеяния мал). 682 ехр [ — 1х„(г, — г )[ о х „ 2А х„+ (х„)з+ хт„— 1е 1х [ )х „ — ехр [ — (г, — гз)~, гз > гь 1оо [. 2ло (3) )х — ехр (21йо (г, — го)), гт ( гь йо Показатели возникающих экспоиенциальных сомножителей здесь имеют существенно различные значения. Так как ) й,г,л) — лоР » 1, то в случае г«) г, экспонента в (3) является быстро осциллирующей функцией.
Это означает, что при последующем интегрировании по гь о в выражении (2) вклад таких гь и будет малым и им можно пренебречь. Соответственно выражение (3) можно считать равиым )х х„(г, — гз) ~) — т) (г, — г~) ехр [1 йо [. 2!то (4) где т)(г) — ступенчатая функция '), а так как характерные значения г, з~)! и х„~й ~, то экспоненту вообще можно заменить на 1.
Появление в выражении (4) ступенчатой функции допускает наглядное объяснение: для быстрых частиц каждое последующее «столкновение» происходит при все больших значениях г (нет рассеяния назад), Теперь в выражении (2) легко выполняется интегрирование по х, а возникающая при этом 6-функция 6(р, — ро) позволяет д проинтегрировать н по ро. В результате получаем о — ([ [ ов,*оь,[ оь *о»,[ 2пдойо .0 г! Наконец, заменяя здесь нижний предел интегрирования по го нл — «о н вводя при этом коэффициент 1/2, приходим к приведен. ') Напомним, что О(г) = 1 для г ) О и т)(г) О для г < О.
683 внешним полем, в каждом из которык происходит соответствующее изменение импульса частицы. В этом смысле радиус-вектор гг в приведенном интеграле соответствует точке первого столкновения, после которого импульс частицы йо становится равным х (после второго столкновения он принимает конечное значение й). Замыканием контура в верхнюю полуплоскость комплексной Р переменной хг в случае гз ) г, и в нижнюю полуплоскость при l гз < аг в выраженин (2) можно выполнить интегрирование по х,: ному в условии задачи выражению. Отметим, что для центрального потенциала оно является чисто мнимым (вещественная часть амплитуды (<а~ много меньше мнимой н в рассматриваемом приближении не вознякает, сравнить с 13.12 н 13.13). гл Ч Применительно к потенциалу У = Уа ехр ( — — в-~ получаем г! 2 2 4 1т! . нлг Усй -ч ячз =( „< е что совпадает с формулой (3) из 13.13 для значений й)1 с~1.
В заключение заметим,:то, положив д = 0 в формуле для (~з~ и воспользовавшись оптической теоремой (ХП!. 11), получаем выраженно, определяющее в бориовском приближении полное сечение рассеяния и совпадающее с результатом 13.2. 1Здб. Уравнение Липпмана — Швингера ((1) из 13.10) ос. гастся справедливым для достаточно произвольного взанмодейстана У, если заменить фурье-компоненту потенциала У (й — й') иа ядро У (й, й') оператора У в импульсном представлении Для сепарабсльного потенциала У (й, й') = Да (й) а'(й').
д (й) = ~ е '"" Х (г) ~' и уравнение Лнппмана — Швингера нринимает вид Обозначив фигурирующий здесь интеграл через К(йз), имеем )(й йо) = — — а (й)(й' (йо) + л (йа)1 н после подстановки зтого выражения в указаняый интеграл находим г" (йз) и амплитуду рассеяния (й = йо): )ггл яз (й) 1(й, йо) = — ) (й) = —— 2нйз !+ К (й) ' где Лю ( ! а (н))2 дзн 4нзйз ) мз — йз — (а ' Одним из характерных свойств ее является независимость от угла рассеяния а), так что угловое распределение рассеянных частиц оказывается изотропным и полное сечение рассеяния о(Е) = ') Сравнить с рассеянием на потенциале нулевого радиуса, рассмотренным в 13.20.
4п Щэ (поучительно убедиться в совпадеини его с результатом вычисления согласно оптической теореме). Отметим также предельный случай больших энергий: н (Е) оо (н(й) (' прн Е-ь ее. 13,16. При Е = 0 имеем ) (0) — 2 йэ $ (Г(г)лг, )то~(0) = — 2 )з ~ (г(г)Чэ(г) НУ, (1) где в. ф.
Ч"г(г) удовлетворяет уравнению (ХШ. 4) Ч'а (г) = 1 — — ~ У (г'), Ч'а (г') Я~'. (2) 2яйэ,) ( г — г' ( Если в потенциале Е/(г) иет связанных состояний частицы, то волновая функция при Е = 0 не имеет нулей, я так как Ч'о(ео) = 1, то Чгэ(г) ) О. При этом, как следует из уравнения (2), для потенциала отталкивании 0 < Ч'о(г) ~ ! и согласно (1) имеем неравенство !)э(0)( ) (Г„,(0)(, т. е.
борновское приближение лает завышенное значение сечения рассеяния. Аналогична в случае потенциала притяжения, У(г) ( О, получаем ((з(0)) ° ( ((„,(0)(, так что борновское приближение дает заниженное значение сечения рассеяния (в отсутствие в потенциале связанных состояний). Подчеркнем, что установленные соотношения между сечениями не предполагают малости потенциала, требуемой для применимости борновского приближения. В связи с данной задачей см, также 13.69 и 13.70.
13.17. В первом порядке по магнитному полю взаимодействие имеет вид 'г" = — — (рА+ Ар). 2тс Подставляя это выражение в формулу (ХП!. 5) вместо (7(г) н заменяя в. ф, Ч'э, плоской волной, получаем амплитуду рассеянна 1(й, йэ) = 4пйз $ е (РА+ Ар) е "' лат = (й + йэ) А (Ч) 4пйс где А (6) = ~ е гч" А (г) г(г' — фурье-компонента векторного потенциала. При калибровочном преобразовании А(г) изменяется на (ГХ(г), при этом к А(Ч) добавляется слагаемое (йт(Ч).
Однако так как Ч(6+ йз) = О, то значение ), как и величина дифференциального сечения рассеяния, не изменяются в согласии с калибровочной инвариаитностью. 685 !3.18. Воспользуемся разложением з!п цг з!п (/ййзгз — 2й*гз соа 8 ~е — ~' (2!+ 1) [У!+!~(йг)]з Р! (с 8), г=о которое следует из теоремы сложения для цилиндрических функций, если заметить, что (з!п г)!г = У!~ (г) з/и/2я. подставив его в формулу (ХП1.8), получаем боряовскую амплитуду в виде ряда г-1 ~ы+ц [ — Я[п<ок„,„<ь~! й~г,~ а~.
г=з (1) Сравнивая с разложением (ХН1. 9) амплитуды рассеяния по парциальиым волнам, заключаем, что борцовское ириближеиие соответствует случаю малых фаз рассеяния!), ]6~(й)] << 1, когда 6! (й) [ = ~~! (2!+ 1) Рг(соей) м ~ (2!+ 1) Рг(оззВ). ! (2) Из сопоставления (1) и (2) следует известное выражение (ХП1. 12) для фазовых сдвигов в борковском приближении, представляющее первый, линейный по потенциалу член разложения 6!(й) (сравнить с задачей к $128 из [!]). 13.19.
записав в, ф, гр = и (г) У !з/ж имеем для фуикции иы(г) уравнение (сравнить с (1Ч. 8)) и,",+ — 'из!+(й' — ' Е!+ 2) + й' 11оа1-0. Решеиие его, удовлетворяющее граничному условию и(О) = О, есть и =Су (йг), где 1 — функция Бесселя с иидексом ') Малость всех фазовых сдвигов является необходимым (но ие достаточным!) условием вримеиимости борновского приближения; именно она обеспечивает вещественность амплитуды рассеяния в этом приближеиии. По асимптотние решения при г-ьоо /2 . Г ач п1 и иэС ~/ — з!п~йг — — + — 1 ем а1- 7 мйг ). 2 4) /2,Гм! = С ~~/ — з!и ~йг — — + 6" Ч айг ~ 2 11 накодим фазовые сдвиги 21''г!/(, + 2/ + дз ( + 2/) что совпадает с результатом бориовского приближения, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
