Galitskii-1992 (1185113), страница 114
Текст из файла (страница 114)
12.21. Оператор магиитиого момента иуклоиа 1"Я (бг,р +бе,р )(2+ 3)+(Юг,п +бе,п )(2 в) где гиромагиитиые множители бс р = 1, йс О, де, р 5,69. бе, о = — 8,83. Соответственно длв ЯдРа имеем ас~ + бзЗ+ Е ((бгр бгп) (а+(кзр бзп) аа)таа' а бгр + бгп 8 С а, а а — еп — 0 8 йз= 2 = 0,88, где сумма берется по всем иуклоиам в яезаполиенной оболочке (сравнить с формулой (1) предыдущей задачи, определяющей магнитиый момент в схеме )!ссвязн).
После усредиения выражении (1) по состоянию ядра, отвечающему определенному значению изоспина Т и его проекции Тз = О, последнее слагаемое (сумма) обращается в пуль. Соответствеиио магнитный момент такого ядра определяется лишь первой, изоскаляриоб частью, 1е 8 (, + 8 8, оператора р пзоск С 3 и равен (8 +8 ) у(7+1)+(8,— йд) (С(С+1) — з(8+1)) )з(Ь,Я, Х)- 2(Т+'1) сравнить с 12.19 и 12.20. 12.22. Оператор магиитиого момента ядра, в котором все иуклоиы сверх заполненных оболочек находятся в одинаковых состояниях л1ь имеет вид (сравнить с 12.20) )з = 2 (вр(! !) +ба (! !Н з+ (бр (! !) Уп (1, l)) )' тза!а. а После соответствующего усредиении (сравинть с 12,18 и 1221) для магнитиого момента ядра получаем )з = )зпзсск + (зпзозек, где 1 11%с (знзоск 2 (бр + бп) ~ )зпзозек =е (Ыр бп) г тза(за а (1) Так как зеркальные ядра, обозначим нх А к Х, рвьашаютсн лишь знаком проекции изоспина Тэ, то для иих иэоскаллрлые части магнктного момента одинаковы, а иэоаекториме части имеют противоположные знаки, так что р(А)+р(А) = [бр(! !)+Во(1, ])]Х (2) Применательио к зеркальным ядрам 'Н и 'Не согласно (2) получаем !э(эН) + И(эНе) =О,ВВ, а экспериментальное значение составляет 0,78 (см.
12.17». !2.23..Напомним, что квадрупольным моментом лара по определению называется среднее значение ()о (У У. У] ~' (зэ',— грз)] У, У,=У). Для рассматриваемых ядер доминирующий вклад з !гэ вносит лишь протон сверх заполненных оболочек, поэтому Ооиэ ~ Ч„!П(3соэз — 1)Чэ!Нг Л', где Ч'я!ц — в. ф. такого протона, прн этом 1 = ! и У» = ] . Так как а данной задаче ! = ! + 1/2, то волновая функция имеет внд / 1 1 (2! + 1)В . ш Ч~ )г! Уы(и)[ )7 (г), ] Уы [з= — у — — Мп В.
э ~О) 2 ~~п!! Прн этом согласно (1) имеем Яо= ~ (Зсоззб — 1)з!п~~ВЫЯ(г~), (2) где Ю (г,) = (п]ц ] гз [ п)ц) = ~ гч)~ (г) Нг о — среднее значение квадрата радиуса. вектора дла рассматриваемого протона. Элементарное интегрирование в выражении (2) по углам дает 2 а) Юо(з!гэ) =О; б) г2о(рыя) = б ('~)' а) ыо (г(зд) у (гр) Руководствуясь- уквзаннем к условию задача, замечаем, что центр сферического распределения заряда нуклонов заполненных оболочек, совпадающнй с их центром масс, находится в точке гавел = — го/(А — 1) где г, — раднус-вектор нейтрона относительно центра масс ядра. Прн этом квадрупольный момент ядра связан с протонамн заполненных оболочек, определяется выражением ф' -,, (р,!П !(Зсоз'3-!) г'(Ч „,) (сравнить с 12.23), где %'л!! — в.
ф. нейтрона, н равен (1) как это непосредственно следует нз результатов двух предыдущнх задач; прн этом спин ядра Х = ). Заметим, что й!а! < О. 12.27. Основному состоянню ядра соответствует распределение нуклонов по ннжннм одиочастнчным уровням с учетом принцнпа Паулн. В пренебрежении кулоновским Фщт взанмодействнем уровни для протона н нейтрона одинаковы. При этом для ядра с А = эз = 2Л в основном состояннн будут занятыми одни н те же одпочастичные протонные н ней. тронные уровни.
Обозначив через ег макснмальную энергню занятых состояний (см, рнс. 45, настоян- Рнс. 43 ная — У~ в потенцнале опущена), замечаем, что объем фазового пространства, соответствующий занятым состоянням в объеме о'г', равен 4рн 4п 3 3 ИГ = — о'г' = — (2та — лззюзг') 1з ~Л/, 3 Разделнв его на (2лй)з, получнм чнсло занятых орбитальных состояннй. В каждом нз ннх находится по четыре нуклона (в разлячных зарядовых нли спнновых состояниях), так что общее чнсло нуклонав в объеме о'г' составляет 2 у гз 'хзд l 2е~ НФ вЂ” (~~Я)~ ~! — ~ ~ о')т, » (Л '~/ —. (1) 3 ьй 'х.
~ Ъ Соответственно плотность нуклонов в ядре описывается выражением 2 гг ъз1г л(г) 3 ' ' (щюй)з~) з~ г,~Я (2) (прн этом лр и, = и/2; для г) й, очевндно, л се 0). Условия нормировки выражещгй (1), (2) яа полное число иуклонов приводит и соотиощеияю — тыйз * (12А)пв й между параметрами ю и Р рассматриваемой модели ядра и иоз. валяет записать выражение (2) з виде 8А г гз хэтг и( ) = — 11 — 1 г()1 нгпз ( оз (3) Нормировка на полное число нуклонов А дает (рг)г)з = йяАЬЧ8, или р„.
— (9п) мз " (2) 2 ге с учетом выражения для Р. Соответствующая такому импульсу рг максимальная скорость нуклонов в ядре (рассматряваемом в условиях задачи как идеальный ферми-газ) составляет рг 1 т аи й ег —— — — — — (9я)ьв — — — т— т 2 т г тап 4 (здесь тгт. = 1840, аэ т 0,53 10- см, о„= й/т,аэ = с)137, с — скорость света), а максимальная кинетическая энергиа ег т т 30 МэВ ~ тсз яг 940 Л(эВ, так что нуклоиы в ядре еще можно рассматривать как нерелятнзистскне.
12.29. Будем нумеровать индексами 1 н 1 частицы в начальном и конечном состояниях, так что 1 41,1= 2 1г,(+1з; г,(. (нормировочный интеграл вычисляется подстановкой гЯ з(п и). Заметим, что для тяжелых ядер выражение (3), основанное на осцнлляторном самосогласованиом потенциале, противоречит экспериментальным данным, согласно которым для таких ядер плотность нуклонов почти постоянна, за исключением узкой области вблизи границы, сравнить с 12.28.
12.28. Задача решается аналогично предыдущей. Теперь, однако, граничный импульс внутри ядра постоянен, р =* ~/2те„ так что вместо формулы (2) предыдущей задачи получаем а(г) = — —,-1- сопз1, г < )г. (1) Зягй Ив закона сохранения наряда следует ~ д! Я 91, а иэ евк Раиенна Мввецииа з) имеем Я Тэ г Уз Тз /, Отсюда иолУчаезз Е с у ~ у/, что и означает сохранение гииерэаряда. Заметим, что так каи среднее значение т, для частиц данного изомультнплета равно нулю, то гиперзаряд равен удвоен* ному среднему электрическому заряду частиц в изомультинлете. 12.30. Искомый оператор в изопространстзе должен выражаться через следующие: единичный 1, операторы комяоиент изоспина иуклоиа т, и пиона !, и быть изотопическим скаляром.
Так кан операторы т, 1 являются изовекторнымн онераторамн, то из иих можно построить только следующие изоскалярные операгоры: тз, 1', (т1), а также различные комбинации этих операторов. Однако все онн линейно выражаются через два оператора: 1 н тг, сравнить с !2хд Действительно, операторы ть 3/4 и д = 2 кратны единичному, а для ч1 справедливо соотношение (т()з= (1 — тг]/2, Оио следует, например, нз 1.2!, если зэметить, что оператор т1= Т'/2 — !1/3 имеет лишь два различных с.з., равных — 1 н +!/2 (в состояниях с суммарным значением нзоспниа яг(-системы Т = 1/2 н 3/2, соответственно).
Таким образом, искомый оператор имеет вид й ~,+у,(т-(-), (1) где ус з — операторы в конфигурационном пространстве, ие зависящие от изоспина. Отсюда находим внд операторов (/(Т) п)чвзанмодействия в состояниях с определенным значением Т = 1/2 н 3/2 суммарного изоспниа: 0 (Т = 1/2) = )г, — Рз, (2) (/ (Т = 3/2) = Р~ Ц- — Уз, 2 а также связь 1/ с этими операторами: ~/ = 3 Н/ (1/2) + 2~ (3/2)) — 3 Г (1/2) - ~/ (3/2)) .1. (3) 12.31. Задача решается аналогично предыдущей.
Различие проявляется в том, что теперь опеРатоР 1 1 — уз — 2 имеет 2 трн различных с.з., равных — 2, — 1, +1, соответственно значениям О, 1, 2 суммарного изоспнна пионов. Поэтому иезависимымн нзоскалярными операторами являются 1, 14, и (14р)з (цри этом ° ) Фактически достаточно сохранения лишь Тз-комяоненты изосцина. л А1з)з = 2+ (1А) — 2 (1~1з)з) а нзотопяческв инвариантное мдмазанмодействне имеет вид й = У", + У, (4,1,) + У, КЗ,)з. Операторы взаимодействия пионов в состояниях с определенными значениями изоспнна: ()ля (Т = О) = У~ — 21'а+ 4Уз) (Гяя (Т !); = У~ — Уз + Узг и„, (Т = 2) = У", + У"з+ У"з.
12.32. Так как оператор заряда пиона связан с оператором его 1,-компоненты изоспнна соотношением бя = е1з (сравнить с 12.29, е ) О), то оператор кулоновского взаимодействия двух пионов имеет внд ;0);1з> куа (г, гД 3 3 ' 12.33. Оператор кулоиовского пХ-взаимодействия ез изгл = (1 + 2тз) Р„ 2) г„— гм / сравнить с 12.9 и 12.32. 12.34. Изотопнческая инварнантность предполагает, что различные частяцы, относящиеся к одному и тому же нзомультиплету, следует рассматривать как тождественные частицы, находящиеся в различных зарядовых состояниях.
При этом кваитовомеханнческий принцип неразличимости тождественных частиц распространяется и на различные частицы одного н того же нзо. мультяплета. В частности, прн взаимной перестановке двух пионов, являющихся бесспиновымн бозонами, волновая функция системы должна оставаться неизменной (быть симметричной). Для двухпионной системы перестановка пространственных переменных пионов эквивалентна отражению координат относи. тельно центра масс, так что симметрия координатной в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
