Galitskii-1992 (1185113), страница 111
Текст из файла (страница 111)
12,2. Напомним, что магнитным моментом рэ некоторой системы, характеризующейся полным моментом Х (я другими квантовыми числами), по определению называют среднее значение г-компоненты оператора магнитного момента системы р в состоянии с проекцией момента 7* = 7, т. е. ра (7, уг = 7 ) !ьг! 7, ул 7). (!) 639 Для системы, состоящей из протона и нейтрона, имеем 1 )ь = р,ее+ )х = — 1, + ренэ+ мог = 2 1- 1 = 21+(Мз+)те)8+ — (Рз — Ря) (нэ — пя) (2) (магннтные моменты выражены в ядерных магнетонах ей/2трс; орбитальный магнитный момент связан с движением протона и равен 1./2, так как орбитальный момент протона составляет половину полного орбитального момента системы в с.ц.и.).
В синглетиых й-состояниях (3 = О) очевидно $ = ор = п„=б и / = /., так что согласно (1) и (2) имеем р('/.) = /./2; в частности, )г(Юо) = 0' р('Рд = 1/2; и('/гт) 1 и т. д. Для триплетных по спину 'Ь.состояний замечаем, что для иих (ор — н„) =0 (спиновая функция состояния с 5 =! снмметрнчна, а оператор (пр — и„) антисимметричен по отношению к перестановке спиноз протона н нейтрона), так что из (1) и (2) следует «(зй) (/ / / / 3~1/~+(р +р)с ~/ / / (3) Отсюда, воспользовавшись результатом 3,40, получаем р('/.г)= 2 / (138/(/+1) — 0,38[8(8+1) — 2)) (4) (учтено, что В = 1 н подставлены значения ри „); в частности, имеем р(зю,) =0,88; р(зР,)=0,60; М(зР,) =0; р(з/),)=0,31, Для дейтрона экспериментальное значение магнитного момента ре = 0,86 свидетельствует о том, что волновая функция дейтрона, имеющего спин /а = 1, представляет суперпозицию Я- н З-воли, причем примесь Р-волны мала и состаиляет ша ю 0,04, сравнить с 12.3.
12.3. Записав волновую функцию дейтрона в виде суперпозиции Я- и В.волн, Ч'з = Ч'з + Ч'э, где ('К, ~У,)=1, (Ч' )Ч' )=1 — шх, (Ч'„)Ч' )=ы яг0,04 (конкретные выражения для в.ф. Ч'з, э см. в 12.5), находим )ь = ~ гул)ьЧга "т+ ~ Ч"!з)зЧ'тзг(т. Здесь учтено, что интерференцнонные слагаемые,равны нулю: (Чэ)м )ЧО>=(зу 1) )Рэ>=О. Действительно,так как)з = )ь +)зсш см, 12.2, имеем )а э"Рэ 1 — ).Чг О (Р = О для 3-волны), а также 8 <Рэ)м,„)ч.>-<чэ)т.>=О нз-за ортогональиости в.ф. состояний с различными значениями Е. Непосредственным следствием соотношения (1) и является приведенное в условии задачи выражение для рь Для квадруяольиого момента дейтроиа, Я = е (Зя~~ — г > сятуация иная, так как иитерфереициониый член уже отличен от нуля: Чгд(йх г > Чгпбт + ~ Ч~гз (Зя г > Чгз бт ~ чь О, 4 ( Более того, имея в виду малость примеси Р-волны в дейтроие, следует ожидать, что непосредственно ее вклад в квадрупольный момент го ш будет существенно меньше вклада интерференцноииого слагаемого со ~/а~ 12.4.
Совокупность экспериментальных данных о дейтроне, в том числе и об его магнитном и квадрупольном моментах (сравнить с предыдущими задачами), указывает на то, что его волновая функция представлиет суперпозицию 8- и Р-воли, так что орбитальный момент Р не имеет определенного значении, как зто должно быть для ие зависящих от спина центральных сил. Из приведенных в 'условии задачи потенциалов только третий, описывающий теизориые силы, может привести к указанному состояишо дейтроиа.
Действительно, первый из потенциалов ивлиется центральным, хотя для него интенсивность взаимодействия и зависит от значения суммарного спина нуклоиов: У = — Зр (г) в состояниях с 3 = О и Оэ р (г) в случае 5 = 1. Для этого потенплала интегралами движения ивляются орбитальный момент Б и суммарный спин 3 и отдельности. Для спии-орбитального взаимодействия векторы Б и 3 в отдельности не сохраняются, интегралом движения является только суммарный момент 3 2+3. Тем ие менее и этот потенциал ие может привести к состоянию, представляющему суперпозицию 3- и Р-воли.
Это связано с тем, что хотя для такого потенцяала сами векторы Б и 3 ие сохраняются, квадраты ятях векторов 21 В. м. Гааяяяяа я лр. являются интегралами движения: операторы 1.з и 8з коммутируют с оператором спин-орбитального взаимодействия. Тензорное взаимодействие, в отличие от спин-орбитального, не сохраняет не только вектор )., ио и его квадрат. Оно приводит к состоянию, представляющему суперпозицию з8~ + 'Рь и совместно с центральным потенциалом используется для описания свойств дейтроиа, см.
следующую задачу. Заметим, в заключение, что потенциал тензорных сил, ие сохраняя вектор 8, все же сохраняет значение 8з; для всех рассмотрениых потенциалов интегралами движении являются как полный момент 1 (и соответственно зэ), так и четность системы. 12.6. Сферически-симметричная волновая функция Ч'(з8~) = = [0(г)хз-~ описывает состояние с й = О; для него з = Я, так что эта в.
ф. соответствует з5мэолие. Покажем, что в. ф. Ч'(зР~) = [в(г)8~здзсм опясывает зРя состояние. Запишем ее в виде Чг (зР,) = У (г) (блгля 26 ) 8ф Кв=4 (1) Угловая часть этой в.ф., Ум = бл;ль — 2бм, является симметричным тензором 2-го ранга с равным нулю следом, Тл = О, так что согласно 3,41 можно утверждать, что волновая функция (1) описывает состояние с орбитальимм моментом Л = 2. Далее, так как коммутатор [8', 8глэа[ = О, то имеем 8 т('Р ) =1 ( ) (бл,.л — 26 ")8 8абз~ = 2Чг(зР ), т. е. волновая фуикция Р(зР~) описывает состояние со спином 5 = 1. Аналогично, из условии коммутативности оператора полного момента системы у~ со скалярным оператором [з(г)8~з еле.
дуст дзЧ' (зР ) 1 (~) (бл л, — 26 а) 8 8аУз)(~, = 2Чг(зЦ) (так как спиновая функция )(з-~ не зависит от углов, то для иее Л~Х= 8~2=2т,). Таким образом, и.ф. Ч'(зР~) отвечает состоянию с Х = 1 и действительно соответствует эРяволие. Обсудим свойства оператора З~з = 6 (8п)э — 28'. Учитывая что (8п)з = (8п) для спина 8 = 1, сравнить с 1.21, получаем З~з —— — 28~э+ 48 (2) (это соотношение справедливо как для значений 5 = 1, так и в случае 8=0, т. е. для всех состояний системы из двух иуклонов). Далее, воспользовавшись значением интеграла 4м Ягаь И= 8 находим Г (8) Отсюда приходим к условию нормировки для волновой функции дейтрона в виде рассматриваемой суперпозиция '5, и Юг волн: (туз ) йга) = 4я ~ ( ~ Уз (г) )'+ 8 ((з (г) (т» Н Нг = 1, (4) е пРи атом (тз ~ )йз.
~)=1, а также к отмеченномУ в Условии задачи результату об отсутствии сдвига '5суровия ВВ1 (у('5)~(Г (р(з5)) б под влиянием теизорного взаимодействия в первом порядке теории возмущений. Наконец, уравнение Шредингера для дейтрона ( — — й+й)Ч4=54уа (т — приведенная масса системы) с учетом соотношения (2) сводится к системе двух дифференциальных уравнений для радиальных функций 1о, з = гге, т: йа -а — — )з + (и И вЂ” Еа'((о + йи г (г) гт = б, йт Из Зйз , +, +Ц,(.) — 2Ц, () — У1,+ иг(.)1з=а. (б) (й) = Х'52, сравнить с 8.2!. 12Я. 1) Ввиду аналогии свойств изоспина и обычного спина изоспиновые волновые функции 'Угг, двухнуклоииой системы 21е Заметим, имея в виду состояния непрерывного спектра, что тензорное взаимодействие вызывает переходы между состояниями с различиымв (но одинаковой четиостиВ значениями орбитального момента 1.
лишь в триплетиых по спину, 5 1, состояниях. В синглетиых состояниях, 5 = О, тензорные силы отсутствуют и орбитальный момент является интегралом движения, совпадая с 3. В заключение, в связи с рассмотренным видом волновой функцин дейтроиа, уиажем на соотношение с определенными значениями суммарного пэоспина Т н его иро. екцнн Уо могут быть найдены как в 5.10, см. (ХП. 1) и (ХП.
2): ()() () (). Чадно= — (( )( )+( )( ) ~~ 1 — (ау р (1) Ч'и (2) + 'Рп (1) Ч'р (2)); (1) %,-1 =( ) ( ) пп Чап(1) Чае(2)' ораз=~-(( )( ) — ( )( )~пп — (Чар (1) Чап (2) Ч'и (1) Чар (2)). 1 (~з ПодчеРкнем, что в состоанцах Чаг г, о каждый пз пУклоиов ие находится в определенном зарадовом состоянии, а с вероятностью 1/2 может находиться «ак в протонном, так и в нейтронном состояниях.
Поэтому взаимодействие, сохранюощее изоспин, носят, вообще говоря, обменный характер. 2) Согласно нзотопической симметрии протон и нейтрои рассматриваются как различные зарядовые (илп изотоппческие) состояния одной и той же частицы — нуклона. Так как цуклон является фермионом, то волновая функция системы нуклонов должна быть антиснмметричной по отношению к перестановке всех переменных — координатных, спиновых и изоспииовых — любых двух нуклоиов (обобщенный принцип Паули).
Так как для системы из двух нуклоиов: и) перестановпа координат эквивалентна инверсии относительно центра масс системы и поэтому симметрия координатной функции с данным значением орбитального момента Ь совпадает с четностью ( — 1)", б) симметрия спинозой фуякции для состояний с суммарным олином 5 относительно перестановки спииовых переменных определяется множителем ( — 1)о+« в) симметрия изоспнновой волновой фунпции, аналогично спинозой, дается множителем ( — 1)г+а, то волновая функция Ч'оот состояния с определенными значениями квантовых чисел Ь, 3 н Т прн перестановке нуклонов умиожаетсп иа ( — 1) ~~; при этом из условна аитисцмметрячностн стлэг.
в. ф, следует соотиоцмнне Заметим, что это взаимодействие ие только ие является изотопнческн симметричным, ио даже не является н зарядово неэависямым, сравнить с 12,8. 12 8. Так как для протона н нейтрона тзр — — +1/2 и тз, = = — 1/2, то для рассматриваемого взаимодействия в различных зарядовых состояниях имеем 1- У„,= У =(г, + — Рм 4 1 м У„„=); — -гэ. Равенство Урр Уи„свидетельствует о зарядовой незавнсимости рассматриваемого взаимодействия.
Однако оио не обладает изотопической иивариантиостью, так как представляет суперпоэнцню изоскаляра (Г( и компоненты изотеизора (гэйэ Фэ, сравнить с О) (2) 12.9. Поэтому взаимодействие в рп-системе отличается от взаимодействия в системе из двух одинаковых иуклонов. 12.9. 1) Искомый оператор, являющийся скаляром в изопростраистве, может выражаться только через следующие иэоскалярные операторы: э э 2 1, ч! 3, т)чя,..., т(тз, (т,тэ)э, ... здесь чь з — (иэовекторные) операторы нзоспииа отдельных иуклонов. Однако из всех этих операторов независимыми являются э э только два: 1 и т(ч, Действительно, операторы г) --* чэ — 3/4, 84$ !)т ( Па+6+! (2) Так, в состояниях с 5 = 1 н четнымн значениями й — как, например, у дейтроиа, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
