Galitskii-1992 (1185113), страница 112
Текст из файла (страница 112)
12.5, — изоспии двух иуклонов Т = 0 (при этом аналогичные состояния в системе из двух одинаковых иуклонов — двух протонов илц двух нейтрояов, соответствующие Т = 1, запрещены принципом Паули, см. 10.9). 3) Иэоспиновая часть волновой функции дейтрона, имеющего Т = О, описывается функцией Чгао из выраженвй (1). 12.7. В состояниях 'Р и 'Р протон-нейтронная система имеет различные значения иэоспина, соответственно Т = 1 и О, см. предыдущую задачу.
Это означает, что взаимодействие, приводящее к состоянию в виде суперпоэиции 'Р(+'Рь ие сохраняет изоспин, т. е. не является изоскаляром. Так как в рассматриваемом состоянии суммарный спин (обычный) также не имеет определенного значения, то обсуждаемое взаимодействие ие сохраняет и спин. В качестве примера такого взаимодействия можно указать У = (г(г) (й(290 + н Ф)з)) 1 — )г(г) (н„— и„) ! . т. е.
кратны единичному оператору, а степени оператора линейно выражаются через 1 и с| та, так как 3 1 (тт)* — — — ( т), !е г сравнить с 5.12. Соответствеяно, наиболее общий вид искомого оператора в изопростраистве есть (( = 7! + Рз (т1тз), (1) где газ — уже не зависящее от изоспииа операторы в координатном и спинозом пространствах, симметричные относительно перестановин нуклоиов.
1 - 3 Так как т,тз = — Тз — —, где Т вЂ” оператор суммарного 2 4' изоспина двунуклониой системы, то согласно соотношению (1) для взаимодействия в состояниях с определенным значением Т получаем 3 1 (У(Т = 0) !г~ — — (гз, У(Т = 1) Р~+ — Рз. (2) 4 4 Отсюда можно выразить )'ьз через (Г(Т) и записать взаимодействие (Ц в виде й — (О + ей ) + ((Г, — (Т) т т, 4 (3) где Ос, ~ (Г(Т= 0, 1). 2) В двухнуклонной системе кулоновское взаимодействие отлично от нуля лишь в случае, когда оба иунлона находятся в протонном зарядовом состоянии.
Так как оператор заряда нуклона ~л 2 (1 +гтз)' то оператор кулоновского взаимодействия нуклонов имеет вид Отметим, что кулоновское взаимодействие нарушает как изотопическую ннварнаитность, так и зарядовую независимость ядерных сил, сравнить с предыдущими задачами. !2ЛО. Если бы изотопическая симметрия была строгим законом природы, то свойства ядер трития и гелия зНе (как и любой пары зеркальных ядер) — нх массы, энергетические уровни н их квантовые числа — были бы одинаковыми и б-распад был бы запрещен законом сохранения энергии (фактически в данной Еаб задаче речь идет о более низкой форме свине!рви взанмодействия нуклонов — зарадовой независимости ядерных сил). Нарушение зарядовой независимости ядерных сил, проявляющееся и в различии масс ядер 'Н и оНе, а соответственно и в энергиях покоя Мсо ядер, связано с электромагнитным взаимодействием. Это различие определяется, в основном '), двумя факторами: разницей масс т,, „ протона и нейтрона, а также энергией кулоновского взаимодействия протонов в ядре 'Не; прн этом Г ео !М (оН) М (зНе)) с' (тп — тр) сэ — 1 — ) Чг )о бт, где Ч" — в, ф.
ядра 'Не, а г = го — го — расстояние между про. тонами. Отсюда, с учетом соотношения торо+ ео — — (М ('Н) — М (оНе)) со, находим гэ 1 (7 =( — ) (тп тр — то)со — еопа! 5тосояо0,77 Мэв, г что позволяет получить оценку среднего расстояния между ну- клонами н размера )7 рассматриваемых ядер: — ! Я (г) [( — )] рэ 1,9 ° 10' 'З см (напомним, что о'/ао = 27 эВ, оо по 0,53 1О-' см). !2.1!. Имея в виду соображения о разности масс зеркальных ядер, высказанные в предыдущей задаче, н учитывая значение У„ = 3(Ее)о/5!7 электростатической энергии равномерно заряженного шара с зарядом Ее и радиусом !7, находим 3(22+!) е' ео = — (тп — тр) со + 5(23+ 1)!)зг где последнее слагаемое прййставляет разность электростатических энергий для двух шаров радиуса о7 = гоА"о с зарядами (Е + 1)е и Ее соответстиенио, прн этом А = 2Я + 1.
Отсюда ео 3 (23+ 1) го 5 (23+ 1)па (ео+ Ь) ') Прн этом пренебрегается как взаимодействием магнитных моментов иуклонов в ядре (оио много меньше кулоиовского взаииодействия), так и влиянием электромагнитного взаимодействия непосредственно на ядерный потенциал. где Ь (лг,— гла)с'ю 1,29 МэВ, и иэ данных, Основанных иа (3-распаде ядра атб!, получаем гз ю 1,6 10-'з см, 12.12. Задача определения одиочастнчных энергетических уровней н соответствующих им собственных функций из уран. пения Шредингера — — Ь вЂ” Ою+ — щю г ~Ч'7г Еггуг,„ яз з з( 27л 2 фактически была решена ранее, см. 4.4. Прн этом Ел — — — (ге+ йю ( Н+ — ~; Н = 2л +1= О, 1, 2...
Зч Каждому уровню с данным значением Н отвечают одночастичные состояния Ч.'е пи с орбитальными момеитамн 1= Н, ее Н вЂ” 2, ..., 1(0); кратность вырождения уровня б(Н) = (Н+ + 1) (Н+ 2)/2 (без учета спина иуклоиа). л Ргзг р Зд дбгр,гг' И Х Рр,гг 1Р . 11 лЮ Лгщ ге 7Я зг 77г 5Р 7У гр рр гг гр з Хдгг,'ф 3 бч11 Щ г — йлд р 1 . 1р Р га Рнс. 42 г(а рис. 42 изображен спектр одночастичных уровней для рассмзтрнваемого потенциала. Справа указаны следующие числа: 6(Н) — кратность вырождения уровня; л(Н) = йгг(Н) — иаксимальное число иуклонов каждого зарядового состояния (т. е.
как протонов, так и иейтроноз), которме могутнаходитьсяиасоответствующем уровне (удвоение значения 0(Н) связано со спииом нунлоиа); М(Н) — максимальное число иуклонои каждого зарядового состояния, которые могут быть размещены по всем уровням, начиная с нижнего н кончая рассматриваемым, при этом М(Н+ 1) М(Н) +л(Н+ 1). Найденные числа М(Н), равные 2, 8, 20, 40, 70, ..., представляют значения магических чисел для рассматриваемой модели Специфической особенностью осцилляториого потенциала является случайное вырождение уровней. Если слегка изменить иа 6У(г) этот потенциал, то случайное вырождение снимется, что приведет к расщеплепщо каждого уровня иа столько подуровней, сколько разлнчиых значений 1 ему отвечаета). Это обстоятельство иллюстрируется рис.
43, иа котором схематически изображена картина расщепления уровней с М = 3 и 4. Предсказания значений полных моментов (спиноз) 1 ядер в рассматриваемой модели носят весьма неопределенный характер (исключая легчайшие н дважды магические ядра) ввиду большой кратности вырождения уровней по 1. Однако предсказания л-4 Ф Х ЕФ «,1д (я пп 77 си 1к 'ау,ЕОУХ Ю гг — 1д Рис. 43 шала (Мшал) =- йю (2Мшал + 3). Отсюда, учитывая оценку М, „= (ЗА(2) 17а, следующую из условия А = ~~~ 46 (М) ял ~~~ 2Ма ж — Мз ал У~мы ~~ ~ Пюал (сумму можно заменить интегралом), находим йш ял 2Мамл~м(тгоАча м 60А ца МзВ.
12.13. Энергетические уровни частицы со снином в централь. ном потенциале не зависят от ее спинового состояния и опреде. ') Порядок расположеяия подуровней по 1 зависит от кон. кретного вида возмущения ЬУ(г). Заметим также, что характерное для осцилляторного потенциала случайное вырождение и порядок следования уровней с разлнчиыми значениями 1 в квазиклассическом приближении справедливы и для достаточно произвольных потенциалов, см. правила квантования из 9.7.
четностей основных состояний ядер — вполне определенные, что связано с одинаковой четностью, равной Р ч ( — 1)' = ( — 1)" всех одиочастичных состояний, отвечающих уровню с данным значением М, и с тем обстоятельством, что четиость является мультнпликативиым квантовым числом. Так, для основного состояния ядра ~~зС модель предсказывает отрицательную четность, для ядра зΠ— положительную и т. д. !7 Оценку значения параметра Дш для ядер с А 2Е Л 1 можно получить, отождествив размер ядра )7 = гаАыа, где га = 1,2 1Олы см, с «радиусома Н(Мм„) квазиклассической орбиты яуклоиа на верхнем из заполненных уровней, определяемым из соотношения где спин-орбитальные функции Ч' ! обсуждались в 5.24 (впрочем, нх явный вид для дальнейшего не существен). Так как оператор 1и= )» — 11 — 3/4 в состояниях частицы с определенными значениями квантовых чисел / и ! также имеет определенное значение в состоянии с / = 1 + 1/2, в состаянии с ! ! — 1/2, ( — ! — 1, то рассматриваемое спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению и сдвигу иа а(!+1), /= ! — 1/2, ДЕ!= — а1, / = 1 + 1/2 невозмущенного уровня Е„! независимо от конкретного вида Г центрального потенциала У(г), Соответственно энергетические уровни для рассматриваемой модели описываются выражением Е„!! = — (/о+ йы (2пг + 1+ 2 ) + бЕ!и (2) Зч Как видно, ширина расщепления уровни ЬЕ! = Е! ! ,!т ! — Е ! ,!т ! — †(2! + 1) а, 1 „-ь О возрастает с ростом !.
Для вырожденных уровней осциллятора максимальное значение орбитального момента !,„= У, так что для них полное расщепление составляет ЛЕл —— (2д!+ Ц а, й/) 1. Отметим также, что среднее значение смещения уровней с учетом их статистичесхих весов, равных 2/+1, обращается в нуль, так как ~ (2/+ 1) ЬЕ = О. ! лаются лишь квантовыми числами и„1 (но не !„з,). При наличии спин-орбитального взаимодействия уровень частицы со спииом з.= 1/2 с даяиым значением ! расщепляется на два подуровня, отвечающие значениям ! = 1~ 1/2 полного момента (за нснлючением з-уровней) В этом случае «хорошими» квантовыми числами являются: полный момент /, его проекция !, и четность Р = ( — 1)! (хотя вектор 1 не сохраняется, его квадрат яо-прежнему является интегралом движения: оператор !' коммутирует с гамильтонианом).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
