Galitskii-1992 (1185113), страница 116
Текст из файла (страница 116)
е. 2, что и требовалось доказать. 12.42. Так как Т« = О, то в смысле изоспина дейтрон в рассматриваемых реакциях вграет роль «катализатора» в процессе «днссоцнацни» протона на нуклон и пион: р —. Х (Т = 1/2) + я (Т = 1). В начальной стадии процесса Т = 1/2, Тз !/2 н в силу сохранения нзоспнна такие же значения Т и Тз имеет яМ.система в конечном состоянии. По условию отбора сечений обе рассматриваемые реакции совершенно одинаковы в смысле координатных н сливовых степеней свободы, так что в силу нзотопической ннварнантностн отношение нх сечений равно отношению «весов» зарядовых состояний и+п и и'р в пион-нуклонной системе с Т = = 1/2 и Т, = !/2.
Последнее отношение равно 2 (сравнить с 12АО н 12.36), что и доказывает утверждение задачи. 12.43. Поскольку по условию рассматриваемые реакции идут только через состояние с нзоспнном Т = 3/2 н совершенно одинаковы в смысле координатных и спиновых степеней свободы, то нх сечения пропорциональны вероятностям («весам») требуемого нзотопнческого состояния с Т 3/2 как в начальных, так и в конечных состояниях пнон-нуклонной системы оо сю ш (Т = 3/2) ° ш! (Т = 3/2). Требуемые вероятности были вычислены в 12.36 (см.также 12.39) н равны: ! — для и+рч 2/3 — для я«п- н 1/3 — для м-р-систем. Отсюда непосредственно следует соотношенне (2) йт (1): Ло (П): На (РП) = 9: 2: 1 между сечениями рассматриваемых реакций (заметим, что доминирующая роль взаимодействия с Т = 3/2 в пг)-системе проявляется в окрестности Ь-резонанса).
12.44. Реакции п-( р ьр+р-(-п, р+п-»и+и+и Глава 13 СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ 13Л. Вычисления амплитуды рассеяния в борновском приближении по формулам (Х)П. б, 8) н полного сечения рассеяния согласно я зтп!л о(Е) ~(/)зб()=йн~(/Рз)пОЫО= — ~ /з(у)бо» (1) яйз 2тЕ (д 23 а(п (О/2)) приводят к следующим результатам. 2щоЕ» / щ«Е» тз ~е-«( (2) При конечном значеняи Е сечение рассеяния имеет также конечную величину. Однако при Е-ьсо рассматриваемый короткодействующяй потенциал Юкавы переходит в дальнодействующнй кулоновский потенциал У = а/г. При этом дифференциальное сечение Ыа/о() 4тзи»/й'4«описывается формулой Резерфорда, а полное сечение рассеяния — бесконечно. 2щаЕ» з!п дР б) /= — — —, 3» д)( т/ешь'/А' 4плю»Е» Г з)пз х о (Е) бх.
х з (3) В предельных случаях отсюда имеем: 1би (лщЕ»)з ища»Е» 8тЕЕ» (»), ~») нее " ' и+ (прн Е-» ао интеграл в (3) расходится; для вычисления его расходящейся части следует заменить осциллирующнй множитель явля1отся «зеркальным» отражевяем друг друга в яэовростраистве. Поэтому в силу изотопнчеспой ипввриаитностн дифференциальные сечения этик реающй при одинаковых импульсах я спинах соотеетствуюшвх «зеркальных» частиц (р н п, и+ и и-) совпадают.
Подчеркнем, что аамеиа честиц их «зеркальнммн» язотопическимн партнерами должна производиться на обеих ста. лиях процесса — начальной я конечной. Это означает, что имвульеные н спииовые характеристики протона и нейтрона в начальцых состояниях рассматриваемых реакций должны быть взаимно заменены. в1п'х средним значеивем, равным 112).
4шур)(ь '= — ~~а(о ~ *г йишн Уо Г 1 гэт ! В 41 еэ~вг ) мша мша Яго 2Язй з!и (О/2) (4) (6) Полное сечение рассеяния бесконечно, что связано с достаточно медленным убыванием потенциала иа больших расстояниях; о рассеянии иа потенциале У = айв см. также 13.19. 2шУ.Е Г и!п о)1 ~ д) — 1-! — ~сов ОР— — ), Яд дЕ ) з!и'2ЯЙ 1 (ййй)ч 3 (О) В предельных случаях имеем 16нвг Уой а(Е) ят — ОЯЯТ вЂ”, и+о ншУгй4 а (Е) я ь„Я~Е (случай Е-ь се см.
также в 13.2). 4мтУой' ч1яу4 2яг 2 2 4 а(Е) — т- (1 — е > ). и лгУо)1 -ввпд' л' 4Я Е гв(й) = г 0(й), 0(й) = ~ е гчгУ(г) в'(г существенно отлична от нуля лишь при уй~! Я вЂ” радиус потенциала), так как при д)1 ~ 1 интеграл мал нэ.за быстрых осцилляций подынтегральной фуи!щии, связанных с множителем ° ч' Так как дг= 232(1 — созО), то из условий М Э ! и Ввиду экспоненциального убывания )(д) борнозское приближение неприменимо при достаточно больших значениях дг (см. 13.13). Соответственно н учет в выражении для о(Е) при больших значениях Е экспоиенциально малого слагаемого является превышением точности.
13.2. В борновском приближенны амплитуда рассеяния )з(й), см. (ХП1. 6), как и фурье-компонента потенциала У(й), нЯа~! следует известный факт, что рассеяние быстрых частиц происходит в основном под малымн углами 8 1/йР ~ 1, при этом д м 68 )2-д Лля дальнейших преобразований разложим вектор Ч на две составляющие: ч = чг+ йх, где вектор г)! направлен вдоль йз Рис. 46 (импульса частицы до рассеяния), а йх.1.йз, рис. 46. Прн 8 ~ ! имеем 1 — й(1 соз8) — Й8, 4 йз(пйягй8 2 так что дал д!. При этом й из йд и й(й) О(й,) — ~~~ '~ У(р,а)пя узр. (1) далее, величина йети (~я — элемент телесного угла, заключающий направления импульсов рассеянных частиц) представляет элемент площади сферы радиуса й. Часть сферы вблизи полярной оси, направленной вдоль йь можно рассматривать как плоскую поверхностьь перпендикулярную йо, я поэтому Йзо!) = = оЗ = ~!о лд „= дзд .
Соответственно (г Воспользовавшись здесь выражением (1), имеем о(Е) --6 .здзЕ ~~ ~~~~ а У(р,а)ллп Р~Х Х[~~~ и(р', ') б 'л'р'~6'д„. После выполнения интегрирования по ч„: ~ ехр( — !Чх (р — р')1 Л'чх — — (2м)'6 (р — р'), (2) благодаря 6-функции сразу можно проинтегрировать по р' н получить (з)= —,Ц~( ь*> (з) и ь 26зЕ ,> — Ю 670 для потенциалов У = У,екр( — га/)(а) и прямоугольяой' ямы (барьера) по формуле (3) получаем и пгУо)г мжУао)4~ п(Е)= — дгом- и о(Е) =— 46 дзЕ соответственно, сравнить с 13.1д, е.
Аналогичным образом можно найти энергетическую эависи. масть при Е -ь со транспортного сечения ом (Е) = ~ (1 — соз 8) Ыо -8 8здгйТ ~ ~ дзь ! 0 (йх) !т Н бх. Теперь вместо (2) появляется интеграл вида ~ д е гчгд 4 = — (2м) й„ьб (р). После несложных преобразований для случая центрального по. тенпнала получаем ОЭ 2 ""'= АЙ!1(!4+" 1" Это выражение не содержит постоянной Планка и совпадает с оо для быстрых частиц, Е Ф У, в классической механике. Такое совпадение связано с тем, что формула (4) остается справедливой и в (квазнклассическом) эйкональном приближении (ХШ. 18); сравнить со статусом формулы Резерфорла. 13.3. Заменив в формулах (ХП. 4,5) У4г+ь, на У б„Ч.'~+, 'К~+„(г) иа ега'г и учтя вид оператора У б„, находим ~обн(йе' й) (оба( ) 2лЬГ ~ е 'У( )Н', (1) здесь А = й+ йн при этом Лз = 23'(1+соз8). Таким образом, )и (Е 8) (в (Е гг — 8) где (а(Е, 8) — амплитуда рассеяния обычным центральным потенциалом У(г). Как видно, в случае обменного потенциала рассеяние быстрых частиц, И.В 1, происходит в основном назад, под углами и — 8~(М) '.
В связи с рассеянием на обменном потенциале см. также !З.бб. 13.4. В условиях задачи рассенваюгцнй потенциал имеет вид ЗГ! 1Ч -Зг)ен У(г) = -е ~ — + — )е ан 871 ааг. 4,6. Согласно формуле (Х111. 6) получаем . 2 (8+ йгав) (ч)= ( г г)2 ав. Полное сечение упругого рассеяния (2/() = лй-зада): 7+ 9йгагн + 384аан 1 7лагв 12 (1+ йг гн)з [ 3(йов)2 (2) и воспользовавшись известной формулой [1, 5 139) Иа 4 [2 — Г" (О))з 4,2 находим дифференциальное и полное сечения упругого рассеяния электрона атомом гелия: 4ЬЭ л Ч ао о = — 1 — Идз йг аь) о 4лаг уйзаз+188'а'+ 12йгаг 28лаг (1+ й а ) 3(йав) " ан (йав л 1; полное сечение отличаегся от сечения рассеяния атомом водорода множителем 4(16/27)г нг 1,40). !3.6. Взаимодействие рассеиваемого электрона с нейтральным атомом в приближении Томаса — Ферми н в пренебрежении поляризацией атома имеет вид (/ (Г) = — ф (.) - — — 2 (Гг!/'/Ь), я Г где у(х) — универсальная функция модели Томаса — Ферми, см.
(х1.3) (используем атомную систему единиц е = й = ог. 1). здесь учтено, что условие пряменимостн борновского приближения (ХП1.7) принимает зид Ааз .м 1. Несколько иной способ расчета сечения, связанный с вычислением формфактора, см. з следующей задаче. В связи с данной задачей см. также 13.77 в !3.78, 13.5. В прнблнжевии задачи 11.6 средняя плотность злеитронов в основном состояние атома гелия н — е ', где а = 2 гг/д ,таз = аз/Я е 16аз/27. Вычислив формфактор Амплитуда рассеяния в бориовском приближении описывается выражением ['(г, 4)- — 2~ и(г) ""рг гл.=гьзФ(4,21)з] (П Ч з где новая универсальная (олинаковая для всех атомов) функция Ф(х) равна (2) Ф (х) = — ! )( ! — ) з!и (ху) пр.
=х] [Ь/ о Отметим, что при к — ь со н интеграле (2) существенная область лищь малых у вблизи иижнего предела. Учитывая при этом, что 7,(0) = 1 и ~ з)п у г(у = 1 (для вычисления интеграла следует о ввести «обрезающийз множитель з — ел с а ь 0 и в окончательном выражеиии положить сг О), находим Ф(х) яз 2/хз при х-ьсс. Соответствепво при з ~ Яыз согласно (1) имеем [е яз 22/лз, что, как и следовало ожидать, описывает амплитуду резерфордовского рассеяиия электрона иа атомном ядре, так как при больших переданных импульсах несущественно экраиирующее действие атомиых электронов, При к — ь0 функция Ф(х) принимает конечное значение.
Формулы (1), (2) определяют дифференциальное сечение упругого рассеяния; при этом полное сечение рассеяния «Ь' ([В ( ))2 1 з,~ ~ ~ фз( (20з) Л42 Г з б где С =7,14 [22). !3.7. Амплитуда рассеяния иа двух центрах [з„ (0) = — †„, ~ е ч" [(7 (г) + (7 ([ г — а [ )] др [зв (Ч) 11 + е гчв] (1) а дифференциальное сечение рассеяния г(пзд=2(1+ сов па) [[з (о)) п(), (2) Возможиосчь применеиив соотношеиий (1), (2) к рассеянию быстрых электровоз двухатомной молекулой [при этом [з описывает рассеяиие иа изолированном атоме ) связана с тем, что 673 В. м.
Галнпкнз и лр. прн образовании молекулы существенно язменяются состояния лишь внешних, валентных электронов атомов. Поэтому в случае не сляшком легких атомов их взаимодействие с налетающим электроном пря этом существенно не изменяется н потенциал имеет приведенный в условии задачи внд, где теперь а определяет расстояние между карами молекулы.
Выражение (2) следует усредннть по возможным положениям вектора а, Так как амплитуда колебаний ядер мала, см. 11.25, то !а) яа сопя! и все сводится к усреднению по ориентациям а. Для изотропного распределения, г)ш = Ф!1„/4л (здесь Н!1„ — элемент телесного угла, заключающий направления вектора а = ап), находим — 1 Г з)п да соз Па — з! соз па д()л 4я З цп (для вычисления интеграла удобно направить полярную ось вдоль вектора П) я соответственно получаем Как видно, соотношение между «атомным» и «молекулярным» сечениями непосредственно определиется межьядерным расстоянием а (подобные соотношения возникают и в случае многоатом. ных молекул, причем и с различными атомами; они лежат в осионе дифракционных методов исследования молекулярных струитур). Обсудим связь между полными сечениями рассеяния.
В случае яа « 1 также н 4а « 1, при этом )зця, 2)с и сечение раса в сеяния на двух центрах в четыре раза больше одиоцеитрового. В случае М(1 и а » )! имеем яа » 1, и поэтому величина Па заметно изменяется уже при небольшом изменении угла рассеяния. Соответственно при интегрировании по углам выражения (2) слагаемое с быстро осциллируюшим множителем созда даст вклад, много меньший вклзда первого слагаемого, так что в этом случае сечение рассеянии на двух центрах больше одно- центрового в дза раза. !3.8. В бориовском приближении амплитуда рассеяния описывается выражением (сравнить с предыдущей задачей) Подчеркнем, что множитель 0»(й) зависит только от взаимного расположения центров и вектора П (но ие от вида взаимодействия частицы с отдельным центром), БУ4 В случае, упорядоченного расположения рассеивающих центров вдоль прямой с ортом ) имеем а„Ь(л — 1)); при этом 0 =~~~~ ехр( — !Ь(п — 1)ОИ = 1 — ехр (- /ьй/ц)) л 1 — ехр ( — /Ьц)) э-! ( 0 (~) ( - ~ "" (Ь ц)/ ) ~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
