Galitskii-1992 (1185113), страница 120
Текст из файла (страница 120)
987]. .1 м( Значения коэффициентов Вь определнются из условия, что разность 9«» — е содержит на больших расстояниях лишь рас+ Их ходящиеся, со е' э. волны для каждого члена суммы по т. Записав аснмптотику радиальной функции в виде ") 13.24. Гамильтовнаи поперечного движения заряженной ча. стицы в магнитном поле /т (р — еА/с)э/йр, для рассматриваемого случая в полярных координатах принимает вид") Я' г ! д д ! г, д дз 1 Н = — — — — р — + — !Лэ+ 2/Л вЂ” — — ~, (1) 2р ( р др др р'! д)р дмэ~ где Л=еФ /йпбс. Так как оператор Й коммутирует с !и, то развитая в предыдущей задаче фазовая теория рассеянвя для двумерного случая применима н в данной; теперь, однако, фазовый сдвиг б„зависит от знака т.
Радиальные функцив в рассматриваемой задаче, как и в случае свободного движения, выражаются через функции Бесселя /э(йр], но уже с индексом т = )т — Л!. Используя их асимптотиху, находим бэ) = — — ( ) т — Л ! — ( т ! ). 2 При этом амплитуда рассеяния (см. формулу (5) нз предыду- щей задачи) оказывается равной / (й, )р) = ~ (е'и ! ! ! ! — ! ) э' . (2) ! )' Ч/2пй Обозначив через тэ минимальное из значений т. которые еще больше Л, и разбив сумму на две; со значениями т ) тэ и с т э- тэ — ! соответственно, находим значения последних (представляющих суммы геометрических прогрессий), что позволяет получить замкнутые выражения для амплитуды и дифференциального сечения рассеяния: ехр [г(тэ — !/2) ф] э!и яЛ Ч/2пй ып (Ч)/2) дп з)п (еФа/2бс) )) ))2) Интересной особенностью полученного результата является бесконечное значение полного сечения рассеяния, т.
е. рассеяние частиц происходит даже при сколь угодно большом прицельном параметре. С точки зрения классической теории это обстоятельство представляется удивительным; магнитное поле н сила Ло- ") Свободное двнжеине вдоль поля не представляет интереса. Отметим, что при расписывании гамильтониана учтен вид азимутальиой компоненты градиента: (/ = д/р д)р. в ренца отличны от нуля лишь на оси н поэтому вообще ие оказывают никакого влиииия на движение частиц! Дело атом, что этот аффект Аарокова — Бема является чисто квантовым и исчезает прн переходе к классической механике; при 6-» О также й-л ~ й/р -ь О и рассеяние действительно отсутствует, В квантовой механике взаимодействие заряженной частицы с магнитным полем характеризуется векторным потенциалом: именно он входит в гамильтоииан м).
В данной задаче, несмотря на то, что вне оси «в = О, векторный потенциал никаким калибровочным преобразованием не может быть обращен в нуль (так как $ А г(1 = Фа), а его медленное,о 1/р, убывание на больших расстояниях объясняет бесконечность сечения рассеяния. 13.25. При больших энергиях применимо, вообще говоря, бориовское приближение и для фазовых сдвигов можно воспользоваться выражением (Х1П.
12). В нем при й-» о» во всей обла. сти интегрирования, исключая узкую область малых значений г, аргумент фуякции Бесселя х = йг» 1. Воспользовавшись нзвест. иой асимптотикой /в(х), получаем 2ш 1, г я!ч бг(й) — 2 ) (/(г) 2!пз ~йг — — ) г(г йзй ) ~ 2 ) о (быстро осциллирующий множитель з!пт(х — я!/2) заменен его среднем значением, равным 1/2). Этот результат справедлив в случае а), когда г(/(г) — О при г - О. Для более сингулярных при г †» О потенциалов формула (1) неприменима ввиду расходимости в ней интеграла. Такая расходимость означает, что теперь область малых г играет доминирующую роль и в ней нельзя заменять Уя(х) ее асимптотикой, Разбив область интегрирования по г в выражении (ХП!.12) на две: от г = О до некоторого малого, но конечного /т н от г = гт до бесконечности, замечаем, что вклад второго из этих интегралов в значение бь как н в (Ц, пропорционален й-'.
Доминирующим же является вклад первого из интегралов, в котором можно м) См. в связи с этим интересное обсуждение вопроса о «реальности» векторного потенциала в «Фейнмаиовских лекциях по физике», т. б, гл. 15. 694 положить (/ а/гч и, сделав подстановку х = Фг, получить пта ~ Угч !/з (х) ох 2 б, = — — й'-' о лспО Г (ч — 1) Г (! + (3 ч)/2) ч-2 т-з й 2т 'Г (ч/2) Г(1+ (ч+ 1)/2) 1 < ч ~ (2. Здесь для указанных значений ы) ч верхний предел интегрирования, равный й/7, при й -»-оа заменен на со. При ч = 1 такая замена не оправдана ввиду расходимости интеграла (на верхнем пределе). Воспользовавшись асимптотикой У„ (х) при х-» оо, легко вычислить его расходяшуюся часть и получить б! м — — (п й/7, ч = 1 та йзд (3) (зта формула имеет логарифмическую точность в соответствии с неопределенностью в значении Р).
Отметим, что установленная различная зависимость от значения ч закона убывания б~(й) при й †».оо отражается иа рассеянии частиц лишь с большим изменением их импульса, Это связано с тем, что /~ о»(/ (о) при больших значениях о определяется особенностями потенциала (/(г) как функции г Для сингулярных при г-»О потенциалов уяиа/гч имеем уо»дч Зо»й~ при о -» оо. На величину же полного сечения рассеяния, по» 1/Е, определяемого моментами 1- й/7 » 1, такое различие в энергетической зависимости фаз с фиксированным значением ! не влияет. 13.28. В выражении (Х1П.
12) прн значениях ! й/7 » 1 (/7 — радиус потенциала) разобьем область интегрирования на две: от г = 0 до г = гз»-=(1+ 1/2)/й и от г = гз до г = оо. Во втором нз получающихся интегралов воспользуемся приближением гангенсаяи для функции Бесселя, т. е. асимптотикой /ч ( — ) яи ~/ соз (ч12() — ()ч — — ), ч>>1. (1) При этом т = ! + 1/2, а ч/соз р = йг, так что ч 12 р = й» /гз — гз.
") При т = 2 независимость фазового сдвига от Д имеет место при любых значениях а и /, даже когда борновское приближение непрнменнмо, см. 13.19. Значение интеграла в выражении (2) см. н [33, с. 703). Отметим также, что для ч) 2 бориовспое приближение неприменимо. 695 После замены быстро осциллирующего множителя созе(...) под интегралом его средним значением, равным 1/2, получаем (2) д И /гз гя 64ы ограничились здесь вкладом в 61 лишь второго из указан- в ных выше интегралов, так как вклад первого пренебрежимо мал.
Его малость связана с тем, что при» Ф 1 функция У»(х) быстра (экспонеициальиа) убывает с уменьшением х от значения х = », Такое убывание У» (х) — проявление обычного убывания квазиклассической функции в глубь барьера (в данном случае— центробежного барьера; непосредственно оио видно из аналогичной (1) асимптотики, но уже при х «»). По форме (2) совпадает с известным квазиклассическим выражением (Х111.
14) для фазового сдвига в случае )(/(г)( « «Е (в то время как использование барновского приближения предполагает выполнение более жесткого условия (У(г) ( «Ьо/г, при этом ~ 6~1 ! «1). Согласно (2) зависимость фазового сдвига от / и И (в наиболее существенной области этих параметров) определяется выражением 6~ (И) я (5)/И, 3 = (/ + 1/2)/И, (3) где функция д(з) зависит от конкретного вида потенциала. При этом в условиях применимости борновского приближения по формуле (Х111.9), заменяя в ней суммирование по / интегрированием, приходим к известному результату а ьэ1/Е при Е-+со (для короткодействующих потенциалов). 13.27.
Для потенциалов с рассматриваемым поведением на больших расстояниях борновская амплитуда при значениях д-~- О расходится. Так нак д = 2И з(п(О/2), то при Е -ь О в борновском приближении будет расходиться и полное сечение рассеяния (прн этом д -ьб для всех углов рассеяния). Расходимость сечения рассеяния означает, что в задаче становятся существенными большие расстояния, на которых выполнены условия (Х1П.7), так что использование борновского приближения действительно оправдано. При этом согласно (Х!11.
12) имеем 2гпп ( Шп х / (и) ю — 1 — Нх «зоз-» )» ! чя (ограничиваясь рассмотрением лишь расходящихся частей ампли. туды и полного сечения рассеяния, вклад конечных расстояний воспользовавшись значением интеграла 5!п х и» и з!п (и»/2) лх = 1 (2 — '») 5!и х» 2 Г(» — 1) з!п и» о При этом полное сечение рассеяния (дз = 2Яэ(1 — сов О)) яз Хз-» а = 2п ~ /~ з!пй !(О еи 2пСз ~ — ) 'ч4те,г з (! х)з-» с — ! 1 со — -ь со. (3) Ез-» Для случая» = 3 заменять нижний предел интегрирования в (1) нулем нельзя из-за расходимости интеграла. Так как з!ох пе х при х-ьО, то расходящаяся часть интеграла равна !п(1/д/г), так что / яи — !п г/Гг, 2та яз (4) а полное сечение рассеяния Г 4тза' 1бпт'а' о= /'г(()т ~ — г — 1и'Мг(()= 1п'~И-ьсо (5) Я Я' (при вычислении расходящейся, о !пай, части сечения можно положить 1п ОР яа 1п И; неопределенность в значении /! характеризует логарифмическую точность формул (4) и (5)).
\3.23. При Я-ьО аргумент х = Яг функции Бесселя в выражении (ХП1. 12) мал и, вообще говора, можно воспользоваться известным разложением Уп (х) прн х — ьО. Оставляя лишь первые два члена разложения "), получаем бв(я) язг+!Гд ГБ яз+ ~ з!+! м) Описываемые ореобразоваиия справедливы и прн фиксированном конечном значении Я, ио 1 ~ (Я/!)з, что позволяет сделать заключение о фазовых сдвигах для больших значеннй момента: б! со (Яа/!)~~+~'.
г~/т, иа которых потенциал не описывается своей асимптотнкой, ие обсуждаем). При» ( 3 в выражении (1) можно положить нижний пре. дел интегрироваияя д т = О и получить С и д~ » Я Г(» — 1)соз(п»/2) здесь 40 2 3 о СЮ А! сг~ У(г)г + й' о а с! = - пт/2~~ "Г'(!+3/2) й'. Имея в виду разложение эффективного радиуса (ХП!. 15) и учитывая малость фазового сдвига в борновском приближении, находим ц = — Аг, г! — — — 2ВгА! з. В в (3) ") При этом зависимость 6 а» йз е' справедлива и для «сильных» потенциалов, к которым бориовское приближение неприменимо.
Одним иэ условий применимости полученных результатов является достаточно быстрое убывание потенциала на больших расстояниях, обеспечивающее сходимасть интегралов в выражениях (2). При экспоненциальном убывании потенциала ие возникает никаких ограничений для всех значений ") !. Для потенциалов со степенным убыванием, 0 яиц/гт, ситуация иная. Для значений ! ( (т — 5)/2 интегралы в (2) сходятся на верхнем пределе и понятия длины рассеяния а~ и эффективного радиуса г~ по.прежнему определены. В случае (т — 5)/2 ( ! ( (т— — 3)/2 второй из интегралов (2) расходится. При этом разложение эффективного радиуса (ХШ, ! 5) уже несправедливо, однако понятие длины рассеянна и зависимость б~ — оМ»ею для т — 3 медленных частиц сохраняются.
Наконец, для значений 1)— нарушается и зависимость 6! чай ' при й- О. Низкаэнергетнг!+ ! ческое рассеяние с произвольным моментом ! в потенциалах са степенным «хвостом» рассмотрено в двух следующих задачах, см. также 13.27. !3.29. Для значений ! ( (т — 3)/2, как обычно (1, $ 132), б~ = А~я»ьы В борновском приближении коэффициент А~ в втой зависимости получен в предыдущей задаче. В случае ! ) (т— — 3)/2 заменять в формуле (ХП1. !2) функцию Бесселя Уп(х) ее первым, х", членом разложения, приводящим к зависимости 6! й +!, нельзя ввиду возникновения расходимости интегг+! грала.
Теперь, разбив область интегрирования в (Х1П. !2) на две: от г = О до г = Р и от г = Р до г = а» (значеиие Р та. ково, что при г ) /! для потенциала можно использовать его асимптотическое выражение), замечаем, что вклад первой нз об- пастей, пропорциональный йа!+г, менее существен, чем вклад второй области. Таким образом находим Ю 6! яа — — йч ~ — „, /~г,! (х)с(». (1) ! йз т-! +!3 При значениях ! ) (ч — 3)/2 здесь можно заменить нижний предел интегрирования нулем и получить (интеграл см. в [33, с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
