Galitskii-1992 (1185113), страница 117
Текст из файла (страница 117)
(2) В случае Ф Л> 1 величина (0л(ц)(з особенно велика при выделенных значениях ц = ц, таких, что ') ЬОИ = 2нз, где з = = О, ~1, ~2, ... Поэтому частицы рзссеиааются в основном лишь в определенных направлениях, для которых соз !)г ю йэ)/Ьз + 2пз/Ьйм где О,— угол между векторами й и ! (заметим, что ц) = й)— — йо)). В точках максимума (0э!з = Уэ. Максимумы очень резкие: их ширина Щ со!/Ч/Л~. Сечение рассеяния в такой интервал углов Х Для остальных углов рассеяния (0э(з 1. Отмеченные результаты могут быть наглядно получены нл основе следующего преобразования выражения для (0л)з при й/ ~ 1.
Имея в виду соотношение (см. 11, 4 42) ) з!пз ай! 1пп, = б (а) л паэХ н разлагая з1п(ЬО)/2) з выражении (2) в окрестности векторов ц*, находим (0~(ц)(' = — ~ц' Ь(й) й,) 2пз) (О) Такой подход допускает простое обобщение и нз случай сири. сталлического» расположения рассеивающих центров.
В честности, для системы центров а(„1 — — л,Ь, + л Ь + и Ь с и = О, 1... л! — 1, имеем з) з ') Ограничение на )з) ,„ определяется импульсом рассеиваемых частиц. В случае Ь ( и/Ь возможно только значение з = О; при этом Л = О, так что когергнгиое рассеяние отсутствует. ') При этом использовано соотношение з П б (ОЬз — 2пзл) = б (ц — 2пт). 1 ЬЬЬ а ! буб где й( М!)Узй)з- общее число рассеивающих цеатров, , т з,а, +ззаз+зьав за=О.
~1 1 1 аз — — — [ЬОЬ!), аз — [ЬОЬз), 3! = (Ь! [ЬОЬО[) Ь ' 8 1 а, = — [Ь,ЬО) й! (прн этом а,Ь! — — аОЬ2 аьЬО 1) Фигурирующие в выражении (4) б-функцнониые слагаемые определяют направления, Ь = ЬО+ 2хт, упругого рассеяния частицы в кристаллах (условие Вульфа — Брзгга). 13.9. В условиях задачи потенциал взаимодействия частиц оп. ределяется известной формулой электростатики О Г Г Р! !,~!) 92 1~2) „г ()!г )) ~г+г! — 22~ где г = г! — г„а гг,з — радиусы-векторы центров масс сталкивающихся частиц.
Имея в виду соотношение 1чг 4 е 'Л' 'т гЩ (г' ОО1, ) г+ г! — гг( дь согласно формуле (ХП!.6) получаем ) (у)- — д,, Р (у)ВО(у) в (Оп — приведеннаи масса частиц), здесь ~ г-гагр! 2(г) ДУ е Оао! г — г'1 1 Сь (г — г'> е 2 2 2 [г — г'[ 2п ~ х — йо — 1э (е ) О, в-О-О), приходим к уравнению Лнппмана — Швиигера О(Ь ЬО) 2 П(Ь ЬО)+) 2 2 !1х '(1) Г 0(12 — х))(х, ЬО), 1 О „2 1 2х' (хз — йо — 1е) Подчеркнем, что для реального упругого рассеяния й йр 2 2 2пОЕ)й~. Уравнение же (1) связывает амплитуды и при значе- 676 являются формфакторами соответствующих распределений электрического заряда.
При 4 = 0 имеем )гг,ь(0) = еО,Π— заряды частиц. Ряд свойств формфакторов состаииых частиц рассмотрен в задачах 13.80 и 13.84. 13.!О. Подставив в формулу (ХИ1.5) выражение (ХП1.4) и воспользовавшись импульсным представлением для функции Грина свободной частицы явях й чело (кэк говорят в твкнх случвях: вне энергетической поверхности; «выход» с энергетической поверхности осуществляетсв соглэсио формуле (ХШ.
5)). С помощью урввнеиия (!) легко уствновнть рекуррентное соотношение для членов рвзложеиия !(К,!го) ~ )!"», ямплнтуды по степеням крвтиостн взвнмодействия н получить для них яв. ные вырэжеяия (ц = )о — )ао): У (Я) = ~ е ачгУ (г) Ю! (2) (!'! (й, йо) = (н (ц) = — — „й (а)), 2кйа !"" (й, (ао) = ( ~" ~ ~1й, 2к (к — ! ло ге У (к, — !го) а)ак, 2к '(к! ло !з) (здесь учтено, что У (ц) У'( — ц)).
Отсюда следует ша 1ш1~~)(ко, ко) = 3 алз ') ' г г г г (й(к — йо)!'о('к. (2) Замечая, что') з)к(ха+ еа) = 5(х) (при бесконечно малом е ) а ) 0), и записав к=кп, Рк = — ка)кодРп, выражение (2) 2 ') Действительно, этв функция отлична от нуля лишь при (х(~~/в -ь0, э интеграл от нее в бесконечных пределах равен единице, кэк н требуется для б-функции. (о приложениях полученных результатов см. 13.15 и !3.50). 13.11. Борновское приближение является первым, линейным членом рззложення эмплнтуды рассеяния в ряд по степеням кратности взаимодействия (точнее, по одному из пзрэметрое, приведенных в (ХП1.7)).
Подобное разложение для сечения рассеяния нэчинэется с членов второго порядка малости, тэк кэк и оо ( ! !а. Поэтому в соотношении 4к !ш )(Е, 0) = йо(Е) в левой части, квк и в правой, не должно быть линейного по по. теициэлу слагаемого. Отсюда с необходимостью следует, что 1ш )о(6 = О) = О. Во втором порядке теории возмущений амплитуда рвссеяння описывэется вырзжением (2) из предыдущей задачи. В частности, для рассеяния вперед (О = О, (о = (оа) оио дает Г ! й (и — 2.) Р з )"'(йм !г,) - айа 1 (1) легко преобразовать к виду 1щ)"'(йе, й)-,б„,„, ~~(П(кп — йо)(тхб(х'-й,',),укт (()„- из йа 2 !бхзйз ) 1(~ (Лзп йз)! ьЯа 4 )! 1 (й йз)1 зз(зл или 1ш)тз~(Е, 0 О) = йпз(Е)/4к, что отРажает оптическУю теорему во втором порядке теории возмущений, 13.12. Для потенциала Юкавы 2шзазЯз ~ хт 34 з!зк Г ! + К'(йе — х)з) [! + Яз (й — х) Ч (х' — йо — ге) (2) Воспользовавшись здесь соотношением (А~ = 4~) 1 1 ! + я' (йз — х)з 1 + яз (й — х)з ! з($ е (1 -1- йзЕз -1- хз)сз — 2Язх [й 3 + (1 — 3) й!)з ' в выражении (2) легко выполнить интегрироваяие по углам (Фк = х'оке(И) и получить ! (и, 1сз) =, 1 1, „з К(й, з), х, 3)Икд3,(3) о где К ((1+йзКз )„з зКз)з 4 зКз (йз 3 (! зь) тз))- (4) н, с учетом четности подынтегральиой функции, интегрирование по переменной х распространено на всю ось.
Выражение (4) для К удобно преобразовать к виду К ! (хЯ вЂ” а~) (кЯ вЂ” а,) (хЯ вЂ” аз) (кЯ вЂ” аз) ' Эта функция, рассматриваемая как фуякцня комплексного переменного х, являетса (как н подыитегральное выражение в фор- бУВ д'(! + дзЛз) ' и согласно формуле (2) из 13.10 во втором порядке теории возмущений имеем Р!(й, 3.) = муле (3) в целом) мероморфноб и имеет только простые полюсы в точках и„= ссч/Й; при зтом Рис. 47 полюсов показано на рис. 47. Вклад в интеграл выражения (3) от полюса в точке н = /г+ /в составляет /ий 1+ 4йз/(а+ 4йзцзК~3 (1 — $) Эта часть интеграла — чисто мнимая. Суммарный же вклад полюсов, расположенных в точках и = ц~/Я и к = и~/)7, является вещественным и равен /з (1) 2/7 ц/1 + цз/7'3 Н вЂ” и (1 + 4/ з/7з (1 + цз/7 3 (1 — 3)П Наконец, выполняя интегрирование по переменной 3 в формуле ! 4тзаз/(' /1з1 ((Ь й ) = ' /,/' ~ (/ а+ /.
а)) а, о приходим к окончательному выражению для амплитуды рассея- ния яа потенциале Юкавы во втором порядке теории возмуще- ний: 2тзазрсз ~ 2 агс12 (црг/2 ц//г (й, о) ) 3' дй ц/б (й, д) + ч//з (/г, д) + йццз )г 1п (3) /3(ь /7) „Д(й ) ь /(а у' /1г> (й 679 (так как 0 < в ~ 1 и дз < 4й', то оба радикала здесь вещественны и положительны) и аз = сс", гсз = — сс, сз, = — гз'. Теперь в выражении (3) легко иыполяить интегрирование по к с помощью вычетов, замыкая контур интегрирования в верхнюю полуплоскость комплексного переменного и, Расположение где /г(й 4) ! 1 йзЯг(4-! >)зЯз) Обсуднм яеноторые следствия полученных результатов.
Прежде всего отметим, что, вычислив мнимую часть амплитуды второго поридка теории возмущений прн 0* 0 (при этом также и с = 0) и воспользовавшись оптической теоремой (ХП1. 11), можно найти полипе сечение рассеяния в борновском приближении. Получающийся результат совпадает, естественно, с вычислением сечения по Формуле ан — — ~ (/н) Н(), см. 13.!а).
Интересно сравнить !ш/м> и Ве/>з> друг с другом и с амплитудой первого приближения при различных значениях энергии и угла рассеяния. В случае медленных частиц, когда /гь' с!, согласно выражениим (5) и (1) получаем 1ш /(2>/((е /(2> йй)! с ! /!2>//!» >ппЯ/дз Имея в виду оптичесную теорему, можно заключить, что малость отношении 1ш/'з>/Ке/'з> является общим результатом для достаточно произвольных короткодействующих потенциалов. Малость же отношения />з>//»> предполагает выполнение условия тиЦйз ~ 1, обеспечивающего применимость борновского приближения, см.
(ХП1,7) (для потенциала Юкавы (/о >х/Я). Приведенные оценки сохраняются и для частиц «умеренной» энергии, й)! 1; теперь 1ш/м> и Ке/>з> являются величинами одного порядиа при произвольном угле рассеяния. Рассмотрим случай быстрых частиц, йй 2» 1. При малых углах рассеяния, когда ойя,! (эта область вносит доминирующий вклад в полное сечение рассеянна), находим 1ш /1~>/йе /!з> йй Л 1, ) /(~>//!'> ) — та/Нзй.
Малость Ве/м> по сравнению с !ш/м> является общим результатом (см. 13.14) а условие )/м>//м>) ~ 1, как и следовало ожидать, предполагает выполнение условия применимости борновского приближения дли быстрых частиц — второго из условий (Х!11.7). Приведенные опенки сохраняются н при увеличении значения 4/! (при этом проявляются характерные для юкавского потенциала, как потенциала со степенным убыванием (/(д) при >/ — со, закономерности; сравнить с результатом следующей задачи). 13.13. Фурье-компонента потенциала (/ И) = э! (/э ехр !ч — !йг — —,г! >(У = пл Уз)1 е г' Х Гз з -ч~уа )(ау и согласно формуле (2) из !3.10 амплитуда рассеяния во вто- ром порядке теории возмущений описывается выражением )42>(й й ) — ш ! ~(й ) (> (и "4),(з 8>г й .1 >4 — йо — !е ( ..= —,,~ 2(>2)(В ехр ~ — — >42 ~и — — (й + йз)) 8п84 3 и — 22 — >е Доминирующую роль в интеграле играет область значений и, в которой ( к — (К + йз)/2 ( )! ~~ 1 (ние этой области подыитегральная функции экспоиенциально мала).
Прн высоких энергиях, М » 1, и больших переданных импульсах, дЛ » 1, в этой области знаменатель подыитегральной функции в выражении (!) измеияется незиачительио и его можио вынести за знак интеграла в точке н = (8+ 2,)/2, После этого простое интегрирование дает (л~ ФВ~)> ,> 2> ~/2и т'(>ВО>!~ )1~> (й, йз) иа йе !1~> иэ — ехр ~ — — дзг(2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
