Galitskii-1992 (1185113), страница 107
Текст из файла (страница 107)
В противном случае в интеграле матричного элемента Рта существенную роль будет играть область расстояний гб г (в случае йг ) 1 это связано с быстрыми осцнлляциями е~~"), в которой волновые функции %'ч! и %'~а ! уже эавнсат от конкретного вида потенциала и замена его потенциалом нулевого радиуса ие оправдана. 4) Рассматриваемое состояние в периодическом во времени поле волны, строго говоря, является уже квазиэлергегичзскил, см.
6 5 главы 6. Соответственно по формуле (8) нз 842 можно рассчитать его квазизнергию, мнимая часть которой определяет ширину этого КЭС, связанную с вероятностью иоиизации (5) соотношением Г = дю, см. в связи с этим 11.66. Отметим, наконец, что в последнее время интенсивно исследовалось поведение атомных систем в поле сильной волны, см. монографию [21). !1.64. Задача решается аналогично предыдущей. Ввиду слабосвязанного характера рассматриваемого состояния, кюгз « 1, и предполагаемого ограничения на частоту волны дюк:йгтгэ, в матричном элементе возмущения (т)ед'а[п) (ось з направлена вдоль вектора 6' (Г)) существенную роль играет область больших расстояний ") г Л> гз, на которых для волновой функции исходного состояния Ч'л еиЧ'„! ! ж можно воспользоваться выра!о! жением ( 1 ) из задачи 1 1.37.
Вол новую функцию конечного состояния, как и в 1 1.63, можно взять в виде плоской волны (это связано с тем, что вылетающая частица являет- м) Сравнить со случаем статического электрического поля в условиях задачи 11.37. 616 ся медленной, йгз ~ 1, и соответственно малы фазовые сдвиги б! -(згэ) ~, см. (ХП1.15), определяющие прн г а га отличие радиальных в.ф.
от случая свободной частицы). С учетом этих замечаний и выражения У, (и) = а~(лг)х/г для шаровой функции, см. 3,41, матричный элемент возмущения можно преобразовать к виду (й ( ео ах ( и1щ) = о (щ) — — ~ г +зе ' «Кз!з(кзг) г!р, (1) г причем з -» О (з > О; сразу полагать е = О нельзя из-за возникновения «искусственной» расходимости интеграла, которая устраняется после дифференцирования по й~).
Интеграл здесь после выполнения интегрирования по углам в сферических координатах с полярной осью, направленной вдоль вектора )г, принимает внд — 5!п йг ' Кз!з (хсг) Ф 4я ( — !!зее о (2) см. (ЗЗ, с. 761), где Р— гипергеометрическая функция: Р (а, (), у, х) = 1+ — — + а () я а(а+1) р(()+1) я' у 1! у(7+1) 2! — +" (я! < 1. Замечая, что при е-«-О о Р (у + е, в, у, г) ян 1 + а ~ — = 1 — е 1п (1 — а) л э=! и Г(з) ян е-', интеграл в выражении (1) согласно (2) можно записать в виде / .' Рйэ+мэ~ В(мо е) — »~/ — 1п ~ з мо "о Первое слагаемое злесь, расходящееся о» 1(з при а -ь О, не зависит от й и поэтому ке вносит вклада н значение матричного элемента (1).
бру Теперь, учитыная приведенную выше связь сп(т) с у1 (п), находим значение выражения ас (т) — )п (й + хо) = д д г г дйз дйг — 4йсояй.уип( — )+21 Ч)/ 4 (й +мэ)ба Э (йг+ мго)г определяющего фактически матричный элемент возмущения (1), и получаем угловое распределение вылетающей при ионнэапии частицы дв е~доС~~! (/в аэ ~ / 3 — '~/ айг э + НЯ 2Ьлае ц/аз ~ 4п +2!(а — в,).
ЕУ11 ® ~', (4) сравнить с выводом формулы (4) из 11.63. Обсудим полученный результат (4). При ионизации из состояний с проекцией момента !, = ~1, угловое распределение вылетающей частицы описывается выражением — оз соз'8 э1пг 8 со ( У 1 )', г(гэ дй г что соответствует частице, имеющей момент 1= 2 и 1, = ~1.
При этом на пороге ионизации, т. е, при а-ьаз —— Пк /2т, г имеем да(п!! оо(в — а,)э~", как и следует (сойгг+ ) при моменте ! = 2; сравнить с предыдущей задачей. В случае значения 1, = 0 у связанной частицы угловое распределение (4) описывает интерференцию з- и д-волн; при этом на пороге доминирует з-волна и 0в/дЯ с~ (в — в,)фг при в -ьа,. Выполнив в выражении (4) интегрирование по углам, накодим полную вероятность ионизации в единицу времени. Для частицы, имеющей в исходном состоянии момент ! = 1 и его проекцию 1, = ~1, получаем 2егСг жг(в — а )Щ~ бала' т/вэ 618 а для частицы с 1 =! и 1, = О е С~~ йто '1> ы ыо (Ую 4ыыо + 12ы~) з 10тйю«о>о 11.66.
Как и в двух предыдущих задачах, расчет вероятности иоиизации выполним по формуле (1) из 11.63 Теперь, однако, „,>о>, „ /27 -и и >з ')/ Р гоо (Р +)ьй ) Чг>о> т (используем атомные единицы), ио по-прежнему (2п)-3!з гаг Матричный элемент возмущения 1.>2» 6. г о — гаг()> ( )тл )о-хг,>У 4 Ч/2 пзы д 1 1/22» д'о Угловое распределение имеет такой же вид, как и в условиях задачи 11,63, см.
формулу (4) этой задачи и связанный с ней комментарий. Интегрирование выражения (1) по углам дает полную ве. роятность ионизации атома (иона) в единицу времени: 64(1+из) г а26 '>зг'ю цо>з ш (ы) = здесь мы перешли к обычной системе единиц, озо = те«/дз. 11.66. Динамическая полярязуемость 6„(го) определяет изменение коазизиергии (ее квадратичной по полю части) системы, находящейся в монохроматнческом однородном электрическом поле, в квазиэнергетическом состоянии %' .
В случае линейно «л поляризованной волны, т. е. электрического поля вида Ю(Г) = = д'о соз ый КЭС характеризуются определенным значением 619 (под интегралом операторы р",г, перенеся их действие «налево», можно заменить на йк „, после чего он легко вычисляется в сферических координатах с полярной осью вдоль й> в приведенном выражении учтено, что й яа ~/2ы ~ Я). Соответственно вероят ность ионизации в единицу времени с заданным направлением вылета электрона оказывается равной тз«о 2 — з1ц'6 (соз' о + Ьз з>оо ф). ~(1) >/2 пюз>з проекции момента на навравленне поля (выбираемое вдоль осн г), так что для нх рассмотрения можно воспользоваться развитой в 8.42 теорией для невырождениых (в отсутствие возмущения) уровней. Отметим, что для состояний с отличным от нуля моментом в поле эллнптически поляризованной волны возникают ,осложнения, связанные с отысканием правильных функпий нулевого приближения.
Однако для нсходных состояний с моментом 1 = О нх нет, при этом изменение квазнэиергии описывается выражением з 4 (1+~ )Рз( ) з' где ь — степень эллиптичиости. Итак, исходным для вычисления (),(ы) является выражение (8) из 8.42, которое теперь принимает вид В.(.) =2 (1) ыаз — ы — ту здесь у > Π— бесконечно малая величина, волновые функции %' и %'а такие же, как и в 11.63, Ео = — хо(2 — энергия рассмат- 2! риваемого невозмущеиного состояния, Еэ — — й г2 н ы 2/ щ /2 2~! = (й + нз))2, при этом используем систему единиц е = й = лг = = 1. Матричный элемент координаты г в выражении (1) был вычислен в 11.63.
Его угловая часть оойа=йсозй, и после элементарного интегрирования по углам (озй = йзойг(О) выражение (1) оказывается равным 32хо йз ой Зх ) (ха+ йз)з ~(на+ йз)з — 4 з — гу) Входящий сюда интеграл вычисляется с помощью вычетов замыканием контура интегрирования, например, з верхнюю полу- плоскость комплексного переменного й. Вычисления можно несколько упростить, если предварительно выполнить простые алгебраические преобразования н записать сначала подынтегральиую функцию в выражении (2) в виде 4юз(ива+ йз) ( (ха+ йз)з (х~~+ йз)з — 4вз — (у 1' При этом интеграл от первого слагаемого в скобке вычисляется элементарно (и особенно просто, если записать в ием (г + йз) 620 е и хо как ~та(и+ йа) /Ыи и вынести дифференцкрование по г за знак интеграла).
Оно дает вклад в Во(в), равный — 1(вэ. Далее, записав слагаемое, отвечающее второму члену в скобке выражения (3), в виде йа / 2 1 1 2в ), хсз+ /г~ но+ й — 2в — гу хо+ да+ 2в + гу ) 3 (4) (в ) 0)„легко приходим к окончательному результату Во (в) = Сне ( э ° + — о (хо — 2в) + + хс (не+ 2в)згз1 (5) Здесь мы ввели множитель Снз (квадрат асилпготического коэффициента), что соответствует обычному обобщению результата, полученного для потенциала нулевого радиуса, иа случай слабосвязанного состояния частицы с моментом 1 = 0 в короткодействующем потенциале Уз(г), сравнять с 11.36 и 11.63. Отметим ряд свойств выражения (5) для динамической поляризуемости.
1) Для малых частот, в < но, имеем у эч 1 з Вз(в) ~ Вс(1+ —, где Вз «С,в, (6) 6хс ) 4нс при этом Во воспроизводит значение статической поляризуемости из 1!.36. 2) При значениях частоты в) ие~/2 (выше порога ионнзапни) у В,(в) появляется мнимая часть, определяющая ширину Г рассматриваемого состояния, Ез 1 = — ЛŠ— гГ12, Ф 1/2 (! 1 гоз) ~ хз «312 Г(в) = 3в« а нз Оч 2) н Сз йгз ( в — — о), (у) Наличие ширины квазиэнергетического уровня отражает возможность ионизации системы, вероятность которой в единицу времени в = Г (так как й = 1) совпадает, естественно, с результатом из 11.63. 3) В случае потенциала нулевого радиуса С„э — — 1 и нз 3 выражения (5) имеем Во(в) яи — 1/вз при в-ооо в согласии с общим результатом, см.
6.40. Для потенциала же конечного радиуса г, формула (5) применима лишь для ие слишком больших частот в «К гэ з, см. по поводу этого ограничения 11.63. 621 11.67. Наиболее существенный, экспоиенциальиый множитель в искомой вероятности определяется проницаемостыо электростатического барьера (г -ай'и и равен (ниже е = 3 = т = 1) ь з) о 1 1 Г 1 1 2ко1 ш — 1) — ехр — 2 ~ л(/из з— 2о а бз ви — ехр ) — — ~. Здесь Ь = ко)20' — правая точка поворота, левая точка поворота 2~ а — гз, где гз — радиус потенциала и положено кзгз ~ 1 (слабо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
